Öz Alt Küme Sayısı

Kümeler deyince akıllara, ilkokul sıralarından itibaren neredeyse bütün öğrencilerin öğrendiği matematik dersinde ki kümeler dersi gelir. Kümeler konusunda işlenen ve sınavlarda öğrencilerin tabi tutulduğu alt konulardan olan alt küme, öz alt küme konularının da sınavlarda ve derslerde başarılı olmak adına mutlaka öğrenilmesi gerekir. Alt küme ve özellikleri nelerdir? İşte detaylar...

Alt Küme Ve Özellikleri Nedir?

Matematikte farklı nesnelerin (elemanların) bir araya gelerek oluşturduğu gruba küme denir. Kümelerden birisinin elemanları diğer bir kümenin de elemanları içinde de yer alıyorsa ilk küme diğerinin alt kümesi olmuş olur. Bunu örnekle açıklayalım;

A kümesi: ( 1,3,5,7,9 )

B kümesi: ( 1,3,5,6,7,8,9 )

Örnekte gözüktüğü üzere, A kümesinin elemanları aynı zamanda B kümesinin de birer elemanıdır. Bu durumda A kümesi B kümesinin alt kümesidir. Alt küme özelliklerini ise şöyle sıralayabiliriz;

• Boş küme her kümenin alt kümesidir.
• Her küme kendisinin alt kümesidir.
• A⊂B ve B⊂A durumunda A ve B eşit kümelerdir.

Öz Alt Küme Nedir, Nasıl Bulunur?

Öz alt küme, bir kümenin kendisi dışında sahip olduğu bütün alt kümelerin genel adıdır. Öz alt kümenin bulunabilmesi için var olan formül çok iyi öğrenilmelidir, bu formül 2n-1 formülüdür.

Alt Küme, özalt küme ve evrensel küme nedir? Alt kümenin ve özalt kümenin özellikleri nelerdir? Alt küme, evrensel küme ile ilgili formüller ve örnekler.

ALT KÜME

A ve B herhangi iki küme A’nın her elemanı B’ninde bir elemanı ise A kümesine B’nin alt kümesi denir ve A⊂ B şeklinde gösterilir.

ÖRNEK:

• A= {x I -1 ≤ x < 5, x ∈ Z}
• B= {x I -2 ≤ x ≤ 5, x ∈ Z}
• A ve B’yi liste yöntemi ile yazarsak:
• A= {-1,0,1,2,3,4}
• B= {-2, -1,0,1,2,3,4,5}

A’nın her elemanının B’nin bir elemanı olduğu görülür. A ⊂ B dir.

Not: Boş küme her kümenin alt kümesidir.

ÖZALT KÜME

Bir kümenin kendisinden farklı her bir alt kümesine öz alt küme denir.

Not: Eleman sayısı n olan bir kümenin
Alt küme sayısı: 2ⁿ
Öz alt küme sayısı: 2ⁿ -1
r elemanlı alt kümelerin sayısı:

formülleri ile bulunur.

ÖRNEK:

Altı elemanlı bir kümenin:

a) Alt küme sayısını
b) Öz alt küme sayısını
c) Üçten az elemanlı alt küme sayısını bulunuz.

ÇÖZÜM:

• Alt küme sayısı: 2⁶ = 64
• Öz alt küme sayısı: 64 -1 = 63
• İki elemanlı alt küme sayısı :
• 
• Bir elemanlı alt küme sayısı :
• 
• Sıfır elemanlı alt küme sayısı:
• 
• 3ten az elemanlı alt küme sayısı:
• 15 + 6 + 1 = 22’dir.

Alt Kümenin Özellikleri

Boş küme A kümesinin alt kümesidir

A kümesi kendisinin alt kümesidir

A kümesi B kümesinin alt kümesi ve B kümesi de A kümesinin alt kümesi ise, bu durumda A ve B kümeleri birbirine eşittir.

A kümesi B kümesinin alt kümesi ve B kümesi de C kümesinin alt kümesi ise bu durumda A kümesi C kümesinin alt kümesidir.

• * n elemanlı bir kümenin alt kümeleri sayısı 2ⁿ dir
• * Bir kümenin kendisi hariç diğer alt kümelerine bu kümelerin özalt kümeleri denir. n elemanlı bir kümenin özalt kümeleri sayısı 2ⁿ – 1 dir.
• * n elemanlı bir kümenin r elemanlı (r ≤ n) alt kümeleri sayısı;

Evrensel Küme

Evrensel Küme: çözülecek probleme göre düşünülen en geniş kümeye evrensel küme denir. Tümleme:

Evrensel kümenin elemanı olupta A kümesinde bulunmayan elemanların oluşturduğu kümeye A’nın tümleyeni denir ve (A’) ile gösterilir.

• A’ = {x I x ∈ E ve x ∉ A}
• Şema ile gösterilirse: