Logaritma Kuralları

logaritma kuralları

Logaritma Kuralları Logaritma Formülleri

Logaritma Kuralları bölümüne geçmeden önce Logaritma tanımı gereği üstel fonksiyonun tersi olduğunu daha önce “Logaritma Nedir?” yazımızda açıklamıştık.

Kısaca Logaritma üstel fonksiyonun tersidir derken 2⁵ = 32 olduğu için log₂³² ise 5 olacaktır demek istiyoruz.

Logaritma Genel Kuralları

Logaritma üstel fonksiyonun tersidir. Yani y = log_a^x ⇔ x = a^y olur.
log_a^x logaritma a tabanında x diye okunur.
Logaritmanın tabanı pozitif olmak zorundadır. Yani a > 0 olur. (Negatif olamaz)
Logaritmanın tabanı 1 olamaz. Yani a ≠ 1 olur.
Logaritmanın üssü de pozitif olmak zorundadır. Yani x > 1 olur.

Soru: log_a^b ifadesi için a aşağıdakilerden hangisi olamaz?

A) 5
B) 1,2
C) -3
D) 3,2
E) 10

Çözüm: Logaritmanın tabanı negatif olamayacağından dolayı cevap C şıkkı olacaktır.

Logaritmanın tanım aralığı bulunurken tabanın pozitif ve birden farklı olmasına, üssün de pozitif olmasına dikkat edilmelidir.

Logaritma İşlem Kuralları (Formülleri)

Logaritmada işlem yaparken şu kurallar takip edilmelidir:

log_a(x.y) = log_ax + log_ay
log_a(x/y) = log_ax – log_ay
log_aa = 1 olur.
log_a1 = 0 olur.
a^log_bc = c^log_ba a ile c yer değiştiriyor. (Önemli bir Kural)
a^log_ax = x^log_aa = 1 olur. (Üstteki kuralların birleşimi)
log_ab = 1 / log_ba (taban ve üs yer değiştirmesine dikkat edin)

Bayağı Logaritma ve Doğal Logaritma (In)

Bayağı Logaritma Nedir : Logaritmanın tabanı 10 olursa buna bayağı logaritma denir. Bayağı logaritmalarda genellikle taban yazılmaz.

Örneğin log7 demek log₁₀7 demektir.

Bayağı Logaritma Örnekleri

log10 = 1,
log100 =log10² = 2
log1000 =log10³ = 3
log10000 =log10⁴ = 4

Doğal Logaritma Nedir : Logaritmanın tabanı e ise buna da doğal logaritma denir. Burada e sabit bir sayıdır.

log_ex = lnx şeklinde yazıldığından dolayı öğrenciler arasında ln logaritma olarak da adlandırılmaktadır.

Logaritma Taban Değiştirme Kuralları

Bazı logaritma sorularını daha kolay çözebilmek için logaritmanın tabanını değiştirmemiz gerekmektedir. Bu tarz soruların olduğu durumlarda logaritmanın taban değiştirme kuralını kullanarak çözüme rahatlık ile ulaşabiliriz.

log_ax logaritmasını b tabanında yazmak istersek log_bx / log_ba yazabiliriz. (/ işareti bölme işaretidir )

Logaritma Taban Değiştirme Kuralı Örnek Sorular

log₃8 logaritmasını 5 tabanında yazmak istersek log₃8 = log₅8 / log₅3 şeklinde yazabiliriz.
Tabanı 10 ile değiştirip bayağı logaritma elde edeceksek log_ab = logb / loga yazabiliriz.
(ikisinin de tabanını 10 yaptık)

En sık karşılaşacağımız tabanlar $2,3,5,10$ gibi üslerine daha önceden alışık olduğumuz sayılar olacak. Üslü sayılarda çarpma yaparken tabanlar eşitken üsler toplanıyordu. Bunun doğal bir uzantısı logaritmada şudur:
\[ \log_b x\cdot y = \log_b x + \log_b y \]
Örneğin $ \log_2 2^8=8$ dir. Ancak içeriyi şöyle parçalayalım:
\[ \log_2 2^3 \cdot 2^5= \log_2 2^3 + \log_2 2^5 = 3+5=8\]
İçerideki çarpanların ayrı ayrı logaritmalarını alıp toplayabiliriz. Ancak özellik şu değil \[ {\log x \cdot \log y = \log (x+y)}\]
Bu arada yukarıda taban yazmadık, eğer taban yazılmazsa $10$ dur, $10$ tabanında logaritma basit ya da adi logaritma adıyla anılır. $\log 3$ yazılmışsa $\log_{10} 3$ yazılmıştır. Logaritma içindeki çarpanların ayrı logaritmaların toplamı haline getirilmesinden şu kural da çıkar: \[ \log_b x^y = y \log_b x\]
Logaritma içindeki sayının üssü, dışarı çarpan olarak düşer, diyebiliriz. İki sayı bölme halinde ise bunlar da çıkarma şeklinde iki logaritmaya dağıtılabilir:
\[ \log_b \frac{x}{y} = \log_b x - \log_b y \]
Tabanın üssü dışarı bölme olarak düşer: \[ \log_{b^n} x = \frac{1}{n} \log_b x \]
Bu özellikleri kullanan en tipik ve temel sorulardan bir kaç tane çözelim.

Aşağıdaki ifadeleri hesaplayınız.

$\log_2 32 $

$\log_4 8$

$\log_{16} 4$

$\log \sqrt{10}$

$\log_{\sqrt{3}} \frac{1}{9}$

$\log_{\frac{1}{\sqrt{5}}} 25$

$\log_2 32 = \log_2 2^5 = 5$

$\log_4 8=\log_{2^2}2^3 = \frac{3}{2}\log_2 2 =\frac{3}{2}$

$\log_{16} 4 = \log_{2^4} 2^2 = \frac{2}{4} \log_2 2 = \frac{1}{2}$

$\log \sqrt{10} = \log 10^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}\log 10 =
\frac{1}{2}$

$\log_{\sqrt{3}} \frac{1}{9} = \log_{3^{\frac{1}{2}}}{3^{-2}} =
\frac{-2}{\frac{1}{2}} \log_3 3 = -4$

$\log_{\frac{1}{\sqrt{5}}} 25 = \log_{5^{\frac{-1}{2}}} 5^2
= \frac{2}{\frac{-1}{2}}=-4$

$\log 2= a$ ve $\log 3 =b$ ise $\log 72$ nin $a$ ve $b$ türünden değeri nedir?

$72$ yi çarpanlarına ayıralım ve çarpanların ayrı logaritmalara dağıtarak üsleri dışarı çarpan olarak düşürelim: \[ \log 72 = \log 2^3 \cdot 3^2 = \log 2^3
+ \log 3^2 = 3 \log 2 + 2 \log 3 = 3a+2b \]

$\log 2 = a$ ise $\log 25$ in $a$ cinsinden değeri nedir?

Burada ileride de gerekecek bir çıkarım yapacağız. $\log 2 $ verilmişse $2$ yi tabana eşitleyen çarpan da yani $\log 5$ de verilmiştir [note1]Taban yazılmadığında $10$ idi.[/note]
Başka bir tabanda örnek verirsek $\log_{14} 7 = a$ verilmişse $\log_{14} 2$ yi de $a$ cinsinden bulabiliriz. Taban ve içerisi eşit olduğunda cevap $1$ idi, $\log 10 = 1$.
\[ \log 10 = \log 2 \cdot 5 = \log 2 + \log 5 = 1\]
Dolayısıyla $\log 2 = a $ ise $\log 5 = 1-a$ olur. Soruda $\log 25$ soruluyor:
\[ \log 25= \log 5^2 = 2\log 5 = 2(1-a) \]

Logaritmanın üstel fonksiyona dönüştürülmesi ile çözülecek basit bir örnek de şudur:

\begin{align*}
a &= \log_2 3\\ b &= \log_5 26 \\ c &= \log_3 2
\end{align*}
ise $a,b,c$ yi büyükten küçüğe sıralayınız.

Logaritmayı tanımlarken şu özdeşliğe dikkat çekmiştik: \[ \log_b a = c
\Rightarrow b^c = a\]
Bu durumda
\begin{align*}
a &=\log_2 3 \Rightarrow 2^a = 3 & 1 \lt &a \lt 2 \\
b &=\log_5 26 \Rightarrow 5^b = 26 & 2 \lt &b \lt 3 \\
c &=\log_3 2 \Rightarrow 3^c = 2 & 0 \lt &c \lt 1
\end{align*}
$b \gt a \gt c$

Logaritma

Temel Kural ve Hesaplamalar

Grafikler

Bir Reel Sayının Logaritması

Temel denklemler

Logaritmalı eşitsizlikler

Logaritma Kuralları ve Özellikleri

Logaritma kuralları ve özellikleri:

Logaritma çarpım kuralı

X ve y'nin çarpımının logaritması, x'in logaritması ile y'nin logaritmasının toplamıdır.

log _b ( x ∙ y ) = log _b ( x ) + log _b ( y )

Örneğin:

kütük _b (3 ∙ 7) = kütük _b (3) + kütük _b (7)

Ürün kuralı, toplama işlemi kullanılarak hızlı çarpma hesaplaması için kullanılabilir.

X'in y ile çarpımının çarpımı, log _b ( x ) ve log _b ( y ) toplamının ters logaritmasıdır :

x ∙ y = günlük ^-1 (günlük _b ( x ) + günlük _b ( y ))

Logaritma bölüm kuralı

X ve y'nin bir bölümünün logaritması, x'in logaritması ile y'nin logaritmasının farkıdır.

günlük _b ( x / y ) = günlük _b ( x ) - günlük _b ( y )

Örneğin:

log _b (3 / 7) = log _b (3) - log _b (7)

Bölüm kuralı, çıkarma işlemi kullanılarak hızlı bölme hesaplaması için kullanılabilir.

X'in y'ye bölünmesi, log _b ( x ) ve log _b ( y ) çıkarılmasının ters logaritmasıdır :

x / y = günlük ^-1 (günlük _b ( x ) - günlük _b ( y ))

Logaritma kuvvet kuralı

X'in üssünün y'nin kuvvetine yükseltilmiş logaritması, y çarpı x'in logaritmasıdır.

günlük _b ( x ^y ) = y ∙ log _b ( x )

Örneğin:

günlük _b (2 ⁸ ) = 8 ∙ günlük _b (2)

Kuvvet kuralı, çarpma işlemi kullanılarak hızlı üs hesaplaması için kullanılabilir.

Y'nin kuvvetine yükseltilen x'in üssü, y ve log _b ( x ) çarpımının ters logaritmasına eşittir :

x ^y = log ^-1 ( y ∙ log _b ( x ))

Logaritma taban anahtarı

C'nin temel b logaritması 1 bölü b'nin c tabanlı logaritmasıdır.

log _b ( c ) = 1 / log _c ( b )

Örneğin:

günlük ₂ (8) = 1 / günlük ₈ (2)

Logaritma baz değişikliği

X'in temel b logaritması, x'in taban c logaritmasının b'nin temel c logaritmasına bölünmesiyle elde edilir.

log _b ( x ) = log _c ( x ) / log _c ( b )

0'ın logaritması

Sıfırın temel b logaritması tanımsızdır:

günlük _b (0) tanımsız

0'a yakın sınır eksi sonsuzdur:

$\ lim_ {x \ ila 0 ^ +} \ textup {log} _b (x) = - \ infty$

1'in logaritması

Birin temel b logaritması sıfırdır:

günlük _b (1) = 0

Örneğin:

günlük ₂ (1) = 0

Tabanın logaritması

B'nin temel b logaritması birdir:

günlük _b ( b ) = 1

Örneğin:

günlük ₂ (2) = 1

Logaritma türevi

Ne zaman

f ( x ) = günlük _b ( x )

Sonra f (x) 'in türevi:

f ' ( x ) = 1 / ( x ln ( b ))

Örneğin:

Ne zaman

f ( x ) = günlük ₂ ( x )

Sonra f (x) 'in türevi:

f ' ( x ) = 1 / ( x ln (2))

Logaritma integrali

X'in logaritmasının integrali:

∫ kütük _b ( x ) dx = x ∙ (kütük _b ( x ) - 1 / ln ( b ) ) + C

Örneğin:

∫ kütük ₂ ( x ) dx = x ∙ (kütük ₂ ( x ) - 1 / ln (2) ) + C

Logaritma yaklaşımı

günlük ₂ ( x ) ≈ n + ( x / 2 ⁿ - 1),

Sıfırın logaritması ►

Ayrıca bakınız

nest...

67861 67862 67863 67864 67865