Bugün ulaştığımız uygarlık seviyesinde Pisagor’un rolünü inkar edemeyiz. Ancak elbette onun en önemli mirası, adıyla anılan o meşhur Pisagor Teoremidir. Bu teorem bir dik üçgende kenarların karelerinin toplamının hipotenüsün karesine eşit olduğunu söyler ve cebirsel olarak a ve b kenarlar olmak üzere, a2 + b2 = c2 biçiminde gösterilir. Teorem Pisagor’un adını taşısa da aslında bu teoremi kendisi bulmamıştır. MÖ yıllarından kalma dört Babil tabletinde de bu teoreme rastlanmaktadır.
Pisagor‘un hayatının belli bir döneminde düşüncelerini geliştirmek için yolculuklar yaptığını biliyoruz. Kendisinin bu teorem ile bu esnada tanışmış olması muhtemeldir.
Öyle görülüyor ki sadece bir içgüdü ile doğruluğu önceden kabul edilen bu kural, yüzyıllar boyunca uygarlıktan uygarlığa dolaşmış ve sonunda Pisagor’un karşısına çıkmıştır. Pisagor teoremi bir çok antik uygarlık tarafından Pisagor’dan önce bilinir olsa da bunun ilk pratik uygulaması Mısır’da karşımıza çıkar.
MÖ ’li yıllarda geometrinin doğduğu topraklarda yaşayan Mısırlılar üçgenler ve piramitler hakkında bazı geometrik fikirlere sahiptiler. Ancak bunları yazılı olmaktan ziyade pratik biçimde uygulamaya koydular. Örneğin İp germe, piramitler gibi yapıların inşasında dik üçgen elde etmek için kullanılan bir yöntemdi. Zaten Hipotenüs kelimesi de Yunanca ‘karşılıklı gerilen’ kelimesinden gelmektedir.
Mısırlılar bunun için uzunluğu 12 birim olan düğümlü bir ip kullanırlardı. Bu tür iplerle kenarları birim olan dik üçgenler yaptılar. Sonra da bu ipler yardımıyla arazileri ölçtüler. İp germe mirasından dolayı, oranındaki dik üçgen Mısır üçgeni olarak da bilinir.
Pisagor teoremine evrensel çekiciliğini veren şey kuşkusuz ki yüzyıllar boyunca önerilen çok sayıda ispatıdır. Bu teoremini ispat etmek için trigonometri veya analitik geometri kullanılamaz. Zira, onların da oluşumları zaten Pisagor eşitliğine bağlıdır.
Amerikalı matematikçi Elisha Scott Loomis, bir çok matematik kitabı yazmıştır. Ancak bunlar içinde en dikkat çekeni iki bölüm halinde yayınlanan The Pythagorean Proposition ( Pisagorcu Önermeler) isimli kitabı olmuştur.
Kitapta cebirsel ispat ve geometrik ispat olmak üzere toplam ispat bulunmaktadır. (Ayrıca 4 kuaterniyonik ve 2 dinamik ispat vardır, toplamda yapar). İspatların bazıları üçgenlerin benzerliği, bazıları parçalara ayrılıp incelenmesi, bazıları cebirsel formülleri çok azı da vektörlerin kullanımına dayanır. Bu ispatlardan üçünü aşağıda görebilirsiniz.
Dokümanlara dayanılarak bilinen ilk tam geometrik çözümün, Euclid tarafından verildiğini kabul etmek durumundayız. Bütün klâsik geometri kitaplarında bugün, tarihi değeri bakımından, sadece Euclid’in verdiği çözüm öğretilmektedir. Pisagor’un bu teorem için yaptığı bir ispat olup olmadığı bilinmemekte ancak olmadığı düşünülmektedir.
ABC, BAC açısı dik açı olan bir dik açılı üçgen olsun. BC kenarı üzerine BDEC karesini, BA ve AC kenarları üzerine de GB ve HC karelerini çiz. AL doğru parçasını BD veya CE ye paralel olacak şekilde çiz. AD ile FC yi çiz.
BAC ve BAG dik açılardır. BA doğru parçası A noktasında AC ve AG kenarları ile yapmış oldukları komşu açıların toplamları iki dik açıya eşit olduğundan CA ve AG doğru parçaları aynı doğrultudadır. Aynı sebepten BA ile AH da aynı doğrultudadır. DBC ve FBA açıları birbirine eşit olan dik açılardır. Her birine ABC açısını ekleyelim. Bu durumda DBA açısı da FBC açısına eşit olur.
DB kenarı BC kenarına, FB kenarı BA kenarına eşittir. AB ve BD kenarları, sırasıyla FB ve BC kenarlarına eşit ve ABD açısı FBC açısına eşit olduğundan AD kenarı da FC kenarına eşittir ve ABD ile FBC üçgenleri ile eştir.
Aynı BD ve AL paralel kenarlar altında aynı BD tabanına sahip olduklarından dolayı BL paralelkenarının alanı ABD üçgeninin alanının iki katıdır, Yine aynı FB ve GC paralel kenarlar altında aynı FB tabanına sahip olduklarından dolayı GB karesinin alanı FBC üçgeninin alanının iki katıdır.
Bu durumda BL paralelkenarının alanı GB karesinin alanına eşittir. Benzer olarak AE ve BK kenarları çizilirse, CL paralelkenarının alanı HC karesinin alanına eşittir. BDEC karesinin alanı GB ve HC karelerinin alanları toplamına eşittir.
BDEC karesi BC kenarı üzerine, GB ve HC kareleri BA ve AC üzerlerine kuruludur. Buradan BC kenarının karesi BA ve AC kenarlarının kareleri toplamına eşittir. Bu yüzden bir dik üçgende dik açının karşısındaki kenarın karesi dik açıya komşu olan kenarların karelerinin toplamına eşittir. Q.E.D
Bir başka ilginç ispat ise Ann Condit adlı Amerikalı bir genç kızın yaptığıdır. Henüz 16 yaşında bir lise öğrencisi iken yılında yaptığı ispatta kullandığı geometrik çizimi, hiçbir ünlü matematikçi tarafından daha önce düşünülmemiştir.
Amerika Birleşik Devletleri’nin Başkanı James Garfield bile Pisagor teoreminin ispatlarından birini gerçekleştirmiştir. Tüm ispatlar arasında Garfield’in yaklaşımı en basit ve anlaşılması en kolay olanlardan biridir.
Pisagor teoremi sadece ilgi çekici bir matematiksel alıştırma değildir. İnşaat ve imalattan navigasyona kadar çok çeşitli alanlarda kullanılmaktadır. Ayrıca dağlar gibi standart yollardan ölçülmesi mümkün olmayan yükseklikleri ölçmek için de haritacılar Pisagor teoreminden yararlanır.
Tek tek listelemeye gerek yok. Açılarınız olduğunda ve ölçümlere ihtiyacınız duyduğunuzda hangi konu ile ilgilenirseniz ilgilenin bu teoreme ihtiyacınız vardır. Bir daha ki sefere karşınıza bir Pisagor teoremi çıktığında uğruna verilen bunca çabayı hatırlamanız dileğimizle. Ayrıca göz atmak isterseniz: Ezber Yapmadan Pisagor Üçlüleri Nasıl Bulunur?
Kaynaklar ve ileri okumalar için:
Matematiksel
Pisagor teoremi geometride en fazla kullanılan teoremlerden biridir. Bu teorem her ne kadar antik Yunan filozoflarından Pisagor ile özdeşleştirilse de hala bu teoremin ilk olarak kim tarafından ispatlandığı tartışma konusudur. Pisagor'dan çok önceki tarihlerde Babil, Hint, Çin, Mısır ve Mezopotamya'da bulunan kayıtlarda bu teoremin kullanıldığı ve bazı özel durumlar için ispatlandığı görülmüştür. Teorem geçmişten günümüze farklı yöntemler ile sayısız kere ispat edilmiştir. Bu makalemde Pisagor teoreminin en basit iki ispat yönteminden bahsetmek istiyorum.
Şu konuya da değinmeden geçemeyeceğim; çoğu kişi bu teoremi "bir dik üçgende hipotenüsün karesi, diğer kenarların karelerinin toplamına eşittir" olarak bilse de, teoremin bir başka tanımı da "birbirinden farklı üç kare, bir dik üçgen oluşturacak şekilde bir araya gelebiliyorsa, büyük karenin alanı, diğer karelerin alanlarının toplamına eşittir" şeklindedir. Konu sonundaki videoda bu tanımın deneyini izleyebilirsiniz.
1 - Pisagor'un İspatı
Pisagor'un ispat yöntemine "yeniden düzenleme" adı verilmiş ve farklı teorem ispatlarında kullanılmıştır. Pisagor birbirinin aynısı 4 dik üçgen oluşturmuş ve bu üçgenleri birleştirerek aşağıdaki resimde görülen şekli elde etmiştir. Resimdeki a + b kenarlı büyük karenin alanı, 4 üçgen alanı ve c kenarlı küçük karenin alanlarının toplamına eşittir. Yani büyük karenin alanı, 4 üçgen alanı + c2 'dir.
Üçgenleri aşağıdaki resimdeki gibi ok yönlerinde hareket ettirdiğimizde aynı alana sahip, farklı bir şekil elde ederiz. Oluşan yeni şekil, 2 küçük kare ve 4 üçgenden oluşmaktadır.
Yeni düzenleme ile a + b kenarlı karenin alanı, 4 üçgen alanı ile 2 küçük karenin alanlarının toplamına eşittir.
Böylece büyük karenin alanını iki farklı formül ile ifade edebildik. Bu formüller birbirine eşit olduğundan
Aşağıdaki Pisagor'un yeniden düzenleme yönteminin anlatıldığı videoyu izleyebilirsiniz.
2 - Üçgen Benzerliği İspatı
Bir dik üçgende, dik kenardan hipotenüse bir dikme indirildiğinde birbirine benzer üç üçgen elde edilir. Üçgenler arasındaki benzerlik oranları yazılırsa,
bağıntıları oluşturulur. Bağıntılar matematiksel olarak içler dışlar çarpımı yapılıp toplanırsa,
eşitliği bulunur. Böylece pisagor bağıntısını iki basit yöntem ile ispatlamış oluyoruz. Aşağıdaki videoda Pisagor teoreminin ispatı için yapılmış su deneyini görebilirsiniz.
En yaygın olarak karşılaşılan örneklerden biri "" üçgenidir.
Bu, komşu kenarları sırasıyla 3 birim, 4 birim ve karşı kenarı 5 birim olan bir dik üçgeni temsil eder.
Diğer örnekleri ise
183524 183525 183526 183527 183528
çamaşır makinesi ses çıkarması topuz modelleri kapalı huawei hoparlör cızırtı hususi otomobil fiat doblo kurbağalıdere parkı ecele sitem melih gokcek jelibon 9 sınıf 2 dönem 2 yazılı almanca 150 rakı fiyatı 2020 parkour 2d en iyi uçlu kalem markası hangisi doğduğun gün ayın görüntüsü hey ram vasundhara das istanbul anadolu 20 icra dairesi iletişim silifke anamur otobüs grinin 50 tonu türkçe altyazılı bir peri masalı 6. bölüm izle sarayönü imsakiye hamile birinin ruyada bebek emzirdigini gormek eşkiya dünyaya hükümdar olmaz 29 bölüm atv emirgan sahili bordo bereli vs sat akbulut inşaat pendik satılık daire atlas park avm mağazalar bursa erenler hava durumu galleria avm kuaför bandırma edirne arası kaç km prof dr ali akyüz kimdir venom zehirli öfke türkçe dublaj izle 2018 indir a101 cafex kahve beyazlatıcı rize 3 asliye hukuk mahkemesi münazara hakkında bilgi 120 milyon doz diyanet mahrem açıklaması honda cr v modifiye aksesuarları ören örtur evleri iyi akşamlar elle abiye ayakkabı ekmek paparası nasıl yapılır tekirdağ çerkezköy 3 zırhlı tugay dört elle sarılmak anlamı sarayhan çiftehan otel bolu ocakbaşı iletişim kumaş ne ile yapışır başak kar maydonoz destesiyem mp3 indir eklips 3 in 1 fırça seti prof cüneyt özek istanbul kütahya yol güzergahı aski memnu soundtrack selçuk psikoloji taban puanları senfonilerle ilahiler adana mut otobüs gülben ergen hürrem rüyada sakız görmek diyanet pupui petek dinçöz mat ruj tenvin harfleri istanbul kocaeli haritası kolay starbucks kurabiyesi 10 sınıf polinom test pdf arçelik tezgah üstü su arıtma cihazı fiyatları şafi mezhebi cuma namazı nasıl kılınır ruhsal bozukluk için dua pvc iç kapı fiyatları işcep kartsız para çekme vga scart çevirici duyarsızlık sözleri samsung whatsapp konuşarak yazma palio şanzıman arızası