Ardışık sayıların toplamı $ t \cdot o$ olarak özetlenebilir. Yani Terim sayısı (t) ve orta terimin (o) çarpımı. Basitten başlayıp genel kuralı anlayacağız. Örneğin birden yüze kadar olan şu toplamın değerini hemen nasıl bulabiliriz?
\[ 1+ 2+ 3+ \cdots + = ? \]
Bu dizinin altına aynısını yazalım ancak bu sefer yüzden bire doğru gidelim ve altalta gelen sayıların toplamının hep aynı ve $$ olduğuna dikkat edelim.
| 1 | + | 2 | + | 3 | + | $\cdots$ | + | |
| | + | 99 | + | 98 | + | $\cdots$ | + | 1 |
Altalta gelen sayıların toplamı hep olduğuna göre ve burada tane oluşacağı çok açık olduğuna göre toplam $ \cdot $ olur. Ancak bizim istediğimiz toplam bunun yarısı çünkü toplamını bulmak istediğimiz dizinin aynısını altına yazdık. Birden yüze kadar olan sayıların toplamı \[ \frac{ \cdot }{2} = \]
Burada ilk olarak şunu anlayabiliriz. Sayılar birer birer gitmek zorunda değil. Örneğin 3 er 3 er gitseler de alta aynı diziyi tersten yazdığımızda terimler de 3 er 3 er azalacağından toplam gene aynı kalacaktır. Şu diziyi düşünelim: \[ 3 + 6 + 9 + \cdots + \]
| 3 | + | 6 | + | 9 | + | $\cdots$ | + | |
| | + | | + | | + | $\cdots$ | + | 3 |
| $ = $ | $ = $ | $ = $ | $\cdots$ | $=$ |
Burada da $$ ler oluştu, ancak şimdi bir sorunumuz var. Bu dizi 3 er 3 er gittiğinden kaç sayı var ilk örnek kadar açık değil. Genel bir terim sayısı formülü vermeden önce şunu deneyebiliriz. $3,6,9, \cdots $ dizisinde her sayıyı $3$ e bölsek sayılar $1,2,3 \cdots 68$ e dönüşür ve $68$ terim olduğunu buluruz. Bu durumda toplam \[ 3 + 6 + 9 + \cdots + = \frac{ \cdot 68}{2} \]
Buna bir de şöyle bakalım. Çok basit bir dizi düşünelim:
\[ 1 + 3 + 5 + 7 + 9\]
Orta terim $5$ ve 5 ten bir sağa gidersek 2 büyüyor bir sola gidersek iki küçülüyor. Benzer şekilde iki sağa gidersek 4 büyüyor iki sola gidersek dört küçülüyor. Örneğin $7$ fazla olan ikisini $3$ e verse ikisi de 5 e dönüşecek. $9$ fazla olan dördünü $1$ e verse ikisi de $5$ e dönüşecek. Aslında burada $5$ tane $5$ var yani toplam $25$!
Bu aritmetik ortalamanın da anafikridir. Örneğin sınavlarında 50,60,70 alan bir öğrencinin ortalaması $60$ tır ve bunun anlamı her sınavdan eşit puan alsaydı kaç alacaktı onu bulmaktır.
Orta terim verilen dizi de olmak zorunda bile değil şu diziyi düşünelim:
\[ 2 + 4 + 6+ 8 \] Orta terim $5$ tir.
Demek ki bu toplam da aslında dört tane $5$ var.
Herhangi bir terimde orta terimi (O) bulmak için ilk(i) ve son(s) terimleri toplayıp ikiye bölmemiz yeterli
\[ O = \frac{i + s}{2} \]
Bunu terim sayısı ile çarparsak da toplamı bulmuş oluyoruz. Şimdi de terim sayısını nasıl bulacağız ona bakalım
Ardışık sayılarda terim sayısını(t) bulmak için son terimden(s) ilk terim(i) çıkarılıp ortak farka(f) bölünür ve buna $1$ eklenir.
\[ t = \frac{s - i}{f} + 1 \]
Örneğin \[ 4,7,10, \cdots, 46 \]
Burada son terimden ilki çıkaralım $ = 42$ sonra ortak fark $3$ e bölelim $42 \div 3 = 14$ ve $1$ ekleyelim ve $15$ terim var
\[ \frac{}{3} + 1 = 15 \]
Peki neden böyle? bütün terimlerden ilk terimi çıkarırsak sayı dizisi
\[ 0,3,6 \cdots 42 \]
Bütün terimleri ortak fark $3$ e bölersek
\[ 0,1,2, \cdots 14 \]
Bütün terimlere $1$ eklersek
\[ 1,2,3, \cdots 15 \]
Böylece verilen sayı dizisini sayma sayıları ile eşlemiş olduk. Son terimin geldiği hal bize zaten kaç sayı olduğunu direk gösteriyor. Formül aslında son terimin başına gelenler.
Önce birden $n$ e kadar olan sayıların toplamını çıkaralım. Orta terim $\frac{n+1}{2}$ ve terim sayısı da $n$ olacağından
\[ 1 + 2+ 3 + \cdots + n = \frac{n \cdot (n+1)}{2} \]
Çift sayıları düşünelim
\[ 2 + 4 + 6 + \cdots + 2n \]
Terimleri $2$ ortak parantezine alırsak zaten $1$ den $n$ e kadar sayılar toplamına dönüşüyor
\[ 2 + 4 + 6 + \cdots + 2n = 2(1+2+3 + \cdots +n) = 2 \cdot \frac{n \cdot (n+1)}{2} = n(n+1) \]
Örneğin \[ 2+4+6+8+ \cdots + \]
Bu toplamda $2n = $ den $n=$ ve çift sayıların toplam formülünden
\[ n(n+1) = \cdot = \]
Birden başlayan ardışık tek sayıların toplamında da terim sayısı ile orta terimi çarptığımızda ilginç bir formül çıkıyor.
\[ 1 + 3 + 5 + \cdots + 2n-1 \]
Burada terim sayısı formülü uygularsak $n$ buluyoruz ve orta terim için de son ve ilki toplayıp ikiye bölersek $n$ buluyoruz. Buna göre toplam $n^2$ çıkıyor.
\[ 1 + 3 + 5 + \cdots + 2n-1 = n^2 \]
Örneğin şu toplamda son terimi $2n-1$ e eşitleyip $n$ yi bulmamız yeterli
\[ 1 + 3+ 5 + \cdots + 97 \]
$2n-1 = 97 \to n = 49$ ve toplam $n^2 = 49^2$
\[ 3+8+13+ \cdots + 73 \] toplamının değeri nedir?
Toplamın değeri orta terim ve terim sayısının çarpımıdır. Orta terim için ilk ve sonu toplayıp ikiye bölüyoruz ve terim sayısı için de sondan ilki çıkarıyoruz ortak farka bölüp bir ekliyoruz
Orta terim
\[ \frac{3+73}{2} = 38 \]
Terim sayısı
\[ \frac{}{5} + 1 = 15 \]
Toplam
\[ 38 \cdot 15 = \]
1 den e kadar olan tamsayılardan 4 ile bölünenlerin toplamı nedir?
$4$ e bölünen sayılar $4,8,12 \cdots $ şeklinde gider. $$ e kadar demek $$ dahil demektir. $$ de dörde bölündüğüne göre son terim bu ve sorulan toplam
\[ 4 + 8 + 12 + \cdots + = ? \]
Orta terim $ \frac{4 + }{2} = $ ve terim sayısı gene son eksi ilki ortak farka bölüp bir ekleyerek
\[ \frac{ - 4}{4} = 50\]
Toplam
\[ \cdot 50 = \]
\[ 1 \cdot 2 + 2\cdot 3 + 3 \cdot 4 + \cdots + 99 \cdot \] toplamında her terimin ikinci çarpanına 3 eklenirse toplam kaç artar?
Bu önemli ve tipik bir soru çünkü her yerde görebileceğiniz bir soru. Önce bu toplamı incelediğimiz yöntemle bulamayacağımızı anlayalım, çünkü terimler arası fark sabit değil. İlk terim $2$ ikinci terim $6$ ve üçüncü terim $12$ ve artış aynı değil. Ancak söylenen şey yapıldığında yani her terimin ikinci çarpanına $3$ eklendiğinde her terimdeki artışa bakalım
\begin{align}
1 \cdot 2 &+ 2\cdot 3 + 3 \cdot 4 + \cdots + 99 \cdot \\
1 \cdot 5 &+ 2\cdot 6 + 3 \cdot 7 + \cdots + 99 \cdot
\end{align}
İlk terim $1\cdot 2 = 2 $ idi ve $ 1 \cdot 5 = 5$ e dönüştü ve $3$ arttı, ikinci terim $6$ idi ve $12$ ye dönüştü ve $6$ arttı, son terim $99 \cdot $ idi ve $3\cdot 99$ arttı, artışlar şu şekilde
\[ 3 \cdot 1 + 3 \cdot 2 + \cdots 3 \cdot 99 \]
$3$ parantezine alırsak sadece $1$ den $99$ a kadar olan ardışık tamsayıların toplamını bulmamız yetecek
\begin{align}
3 \cdot 1 + 3 \cdot 2 + \cdots 3 \cdot 99 &= 3 (1 + 2 + \cdots + 99) \\
&= 3 \cdot (50 \cdot 99)
\end{align}