Eşkenar Dörtgenin Köşegen Uzunluğu
Eşkenar Dörtgen
Tüm kenarlarının uzunlukları birbirine eşit olan paralelkenarlara eşkenar dörtgen denir.
Eşkenar dörtgenler aynı zamanda birer paralelkenar oldukları için, dörtgen ve paralelkenar bölümünde bahsettiğimiz özellikler eşkenar dörtgenler için de geçerlidir.
Eşkenar Dörtgenin Kenar ve Köşegen Özellikleri
Eşkenar dörtgenin tüm kenarlarının uzunlukları birbirine eşittir ve karşılıklı kenarları birbirine paraleldir.
\( \abs{AB} = \abs{BC} = \abs{CD} = \abs{DA} = a \)
\( \abs{AB} \parallel \abs{DC} \) ve \( \abs{AD} \parallel \abs{BC} \)
Eşkenar dörtgenin köşegenleri birbirini ortalar ve dik keser.
\( \abs{AK} = \abs{KC} \) ve \( \abs{DK} = \abs{KB} \)
\( \abs{AC} \perp \abs{BD} \)
İSPATI GÖSTER
Aşağıda eşkenar üçgenin açı özellikleri bölümünde ispatını yapacağımız üzere, eşkenar üçgenin köşegenleri aynı zamanda birer açıortaydır.
\( m(\hat{A}) = x \) ise,
\( m(\widehat{DAK}) = m(\widehat{KAB}) = \dfrac{x}{2} \)
\( m(\hat{D}) = y \) ise,
\( m(\widehat{CDK}) = m(\widehat{KDA}) = \dfrac{y}{2} \)
Eşkenar dörtgenin karşılıklı kenarları paralel olduğu için \( \hat{A} \) ve \( \hat{D} \) bütünler açılardır.
\( x + y = ° \)
\( \dfrac{x}{2} + \dfrac{y}{2} = 90° \)
Buna göre \( DAK \) üçgeninin üçüncü açısı olan \( \widehat{DKA} \) açısının ölçüsü 90° olur.
İspatta hata bildirin
Eşkenar dörtgenin köşegen uzunlukları birbirine eşit değildir.
Eşkenar Dörtgenin Açı Özellikleri
Tüm dörtgenlerde olduğu gibi, eşkenar dörtgenin iç açıları toplamı da, dış açıları toplamı da \( ° \)'dir.
Paralelkenarlarda olduğu gibi, eşkenar dörtgende aynı kenar üzerindeki iki açı karşı durumlu açılar oldukları için toplamları \( ° \)'dir. Ayrıca, karşılıklı köşelerin açıları iç ters açılar oldukları için birbirine eşittir.
\( x + y = ° \)
\( m(\widehat{A}) = m(\widehat{C}) = x \)
\( m(\widehat{B}) = m(\widehat{D}) = y \)
Eşkenar dörtgenin köşegenleri aynı zamanda birer açıortaydır.
\( [AC] \) köşegeni eşkenar dörtgenin birbirine paralel iki kenarını kestiği için, aşağıdaki iki açı iç ters açılardır ve ölçüleri eşittir:
\( m(\widehat{BAC}) = m(\widehat{DCA}) \)
Eşkenar dörtgenin kenar uzunlukları eşit olduğu için, \( ABC \) üçgeni ikizkenardır, dolayısıyla aşağıdaki iki açının ölçüsü de eşittir.
\( m(\widehat{BAC}) = m(\widehat{BCA}) \)
Dolayısıyla, aşağıdaki iki açının ölçülerinin eşit olduğunu, yani köşegenin aynı zamanda açıortay olduğunu göstermiş olduk.
\( m(\widehat{DCA}) = m(\widehat{BCA}) \)
İspatta hata bildirin
Eşkenar Dörtgenin Çevresi ve Alanı
Eşkenar dörtgenin çevresi bir kenarının uzunluğunun dört katıdır.
Eşkenar dörtgenin alanı bir kenarının uzunluğu ile o kenara ait yüksekliğin çarpımına eşittir.
\( A(ABCD) = a \cdot h \)
Eşkenar dörtgenin alanı aynı zamanda köşegenlerinin uzunluklarının çarpımının yarısına eşittir.
\( A(ABCD) = \dfrac{\abs{AC} \cdot \abs{BD}}{2} \)
İSPATI GÖSTER
Dörtgenlerin alan formüllerinden biri olan aşağıdaki formüle göre, dörtgenin alanı köşegenlerinin uzunlukları ve birbiriyle yaptıkları açının sinüs değerinin çarpımının yarısına eşittir (bu formülün ispati dörtgenlere giriş bölümünde verilmiştir).
\( A(ABCD) = \dfrac{1}{2} \cdot \abs{AC} \cdot \abs{BD} \cdot \sin{x} \)
Köşegenleri dik kesişen dörtgenlerde (eşkenar dörtgen, kare, deltoid) bu açı 90° olduğu için bu alan formülü aşağıdaki şekilde sadeleşir.
\( \sin{90°} = 1 \)
\( A(ABCD) = \dfrac{\abs{AC} \cdot \abs{BD}}{2} \)
İspatta hata bildirin
Paralelkenarlarda olduğu gibi, köşegenler eşkenar dörtgenin alanını dört eşit parçaya böler.
| Wikimedia Commons'ta Rhombi ile ilgili ortam dosyaları bulunmaktadır. |