Ö.S.S. MATEMATĐK II SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ 1 x = 3 olduğuna göre, x kaçtır? 1. 1 1+ x 1− A) −3 B) −2 C) −1 D) x −1 x =3 x +1 x ⇒ −1 2 E) −3 2 Çözüm 1 1 x =3 1 1+ x 1− ⇒ x −1 x =3 . x x +1 ⇒ x −1 = 3 ⇒ x – 1 = 3x + 3 x +1 ⇒ x x− y x x+ : 2. − − x x− y x x+ y hangisidir? A) 1 B) x C) y D) x = -2 y ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi aşağıdakilerden x+ y x− y E) x− y x+ y Çözüm 2 x x− y x x + y x.x − ( x + y ).( x − y ) x.x − ( x − y ).( x + y ) : = : − − x.( x + y ) x.( x − y ) x x− y x x+ y 1 x.( x − y ) x− y x.( x + y ) = = = 1 x.( x + y ) x+ y x.( x − y ) 3. x = A) 6 1 1 olduğuna göre, y + yx + 2x - + 3 ifadesinin değeri kaçtır? y+2 x B) 5 C) 4 D) 3 E) 2 Çözüm 3 x= 1 y+2 ⇒ xy + 2x = 1 y + yx + 2x - 1 1 1 +3=y+1- +3 =y+4=yx x x 1 + 4 = y – (y + 2) + 4 = 2 1 y+2 4. -3 ≤ a ≤ 1 olduğuna göre, a²+b³ ifadesinin değeri hangi aralıktadır? -2 ≤ b ≤ 2 A) [−17, 17] B) [−13, 8] C) [− 8, 17] D) [−7, 7] E) [− 7, 1] Çözüm 4 -3 ≤ a ≤ 1 , a = {-3,-2,-1,0,1} ⇒ 0 ≤ a² ≤ 9 , a² = {0,1,4,9} -2 ≤ b ≤ 2 , b = {-2,-1,0,1,2} ⇒ -8 ≤ b³ ≤ 8 , b³ = {-8,-1,0,1,8} (0 - 8) ≤ a² + b³ ≤ (9 + 8) ⇒ -8 ≤ a² + b³ ≤ 17 ⇒ [-8,17] 5. Pozitif x gerçel sayıları için x − 1 < k olması, x − 1 < 0,1 olmasını gerektiriyorsa k nin alabileceği en büyük değer kaçtır? A) 0,11 B) 0,19 C) 0,25 D) 0,29 E) 0,31 Çözüm 5 x − 1 < 0,1 ⇒ -0,1 < ⇒ (0,9)² < x < (1,1)² x – 1 < 0,1 ⇒ 1 – 0,1 < x < 0,1 + 1 ⇒ 0,9 < x < 1,1 ⇒ 0,81 < x < 1,21 x − 1 < k ⇒ -k < x – 1 < k ⇒ 1 - k < x < k + 1 1 - k ≥ 0,81 ⇒ k ≤ 0,19 (k nin alabileceği en büyük değer = 0,19) 6. z1 ve z2 karmaşık sayıları z² = i denkleminin kökleridir. Karmaşık düzlemde z1 ve z2 noktaları arasındaki uzaklık kaç birimdir? A) 1 4 1 2 B) C) 1 D) 2 E) 4 Çözüm 6 z² = i ⇒ z1 = = cos( z2 = - z² = 0 + 1.i = 1.(cos i = (i) π 1 . 2 2 1 2 ) + sin( i = - (i) = - [cos( = (0 + 1.i) 1 2 π 1 . 2 2 1 2 π 2 + sin π 2 .i ) = cos = [ 0² + 1² .( cos ).i = cos = - (0 + 1.i) 1 2 π 4 + sin π 4 π 2 .i = π 2 + sin + sin π 2 π 2 .i 1 .i)] 2 = [1.( cos = - [ 0² + 1² .(cos π 2 + sin π 2 .i)] 1 2 = - [1.( cos π 1 π π 2 2 . ) + sin( . ).i] = -cos - sin .i = i − 2 2 2 2 4 4 2 2 ( 2 2 2 2 − (− − (− ))² + ( ))² = 2 2 2 2 2 + sin π 2 1 .i)] 2 2 2 + i 2 2 π 1 z1 . z2 = π 2+2 = 4 =2 π 2 + sin π 2 .i)] 1 2 Not : Karmaşık sayıları arasındaki uzaklık ⇒ z1 = a + bi ve z2 = c + di z1 . z2 = (a − c)² + (b − d )² Not : Karmaşık sayının mutlak değeri (modülü) z = a + b.i ⇒ z = a ² + b² Not : Bir karmaşık sayının kuvveti (de moivre formülü) Z = z.(cosx + funduszeue.info) ⇒ zn = zn.(cos(n.x) + funduszeue.info(n.x)) 8 7. n pozitif tam sayı olduğuna göre, [n! + ∑ (n + k)!.(n + k ) ] toplamı aşağıdakilerden hangisine k =0 eşittir? A) (n + 7)! B) (n + 8)! C) (n + 9)! D) (2n + 8)! E) (2n + 10)! Çözüm 7 [n! + 8 8 8 k =0 k =0 k =0 ∑ (n + k)!.(n + k ) ] = [n! + ∑ (n + k)!.(n + k + 1 − 1) ] = [n! + ∑ (n + k)!.[(n + k + 1) − 1] ] 8 = [n! + 8 ∑ (n + k)!.(n + k + 1) − (n + k )! ] = [n! + ∑ (n + k + 1)!−(n + k )!] k =0 k =0 k = 0 için, (n+1)! - n! k = 1 için, (n+2)! - (n+1)! k = 2 için, (n+3)! - (n+2)! k = 3 için, (n+4)! - (n+3)! ……………………………. ……………………………. k = 7 için, (n+8)! - (n+7)! k = 8 için, (n+9)! - (n+8)! (topla) 8 (n+9)! - n! = ∑ (n + k + 1)!−(n + k )! k =0 8 [n! + ∑ (n + k)!.(n + k ) ] = [n! + k =0 8 ∑ (n + k + 1)!−(n + k )!] = n! + (n+9)! - n! = (n+9)! k =0 8. { e, a, b, c, d} kümesi üzerinde • işlemi aşağıdaki tablo ile verilmiştir. Bu işlemin birleşme özeliği bulunduğu bilindiğine göre, d23 = d•d•. . . •d ne olur? 23 tane A) a B) b C) c D) d E) e Çözüm 8 { e, a, b, c, d} kümesi üzerinde • işleminde, Etkisiz eleman = e olur. d=d d•d=c d•d•d=c•d=b d•d•d•d=b•d=a d•d•d•d•d=a•d=e d5 = e ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ d¹ = d d² = c d³ = b d4 = a d5 = e (e etkisiz eleman) d23 = d20+3 = (d5)4+3 = (d5)4.d³ = e4.d³ = e.b = b elde edilir. 9. Aşağıda A = {a1 , a2 , a3} ve B = {b1 , b2 , b3 , b4 , b5} kümeleri verilmiştir. A dan B ye f(a2) = b4 olacak biçimde kaç tane birebir f fonksiyonu tanımlanabilir? A) 24 B) 20 C) 16 D) 12 E) 10 Çözüm 9 a2 → b4 a1 → {b1 , b2 , b3 , b5} ⇒ 5–1=4 = 12 tane birebir f fonksiyonu tanımlanabilir. a3 → {………} ⇒ 4–1=3 1 x² − ax + 16 = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 dir. A) 10 B) 12 C) 14 D) 15 x1 + x 2 = 5 olduğuna göre, a kaçtır? E) 17 Çözüm 10 x² − ax + 16 = 0 ⇒ x1.x2 = 16 1 x1 + x2 = 5 ⇒ 1 + 4 = 5 x1 ⇒ 1 + x 2 . x1 x1 ⇒ 5 x1 = 5 x² − ax + 16 = 0 , x1 = 1 =5 ⇒ ⇒ 1 + x 2 .x1 x1 x1 = 1 ⇒ 1 – a.1 + 16 = 0 =5 ⇒ 1 + 16 = 5 x1 ⇒ x1 = 1 ⇒ a = 17 elde edilir. log 4 9 + log 2 (a − 3) < 4 eşitsizliğini sağlayan kaç tane a tam sayısı vardır? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 Çözüm 11 log 4 9 + log 2 (a − 3) < 4 ⇒ log 2² 3² + log 2 (a − 3) < 4 ⇒ log 2 (3.(a − 3)) < 4 ⇒ log 2 3 + log 2 (a − 3) < 4 ⇒ 3a < 25 ⇒ a< 25 3 ((a-3) > 0) ⇒ ⇒ 2 log 2 3 + log 2 (a − 3) < 4 2 ⇒ 3.(a-3) < 24 ⇒ 3a – 9 < 16 a = {4,5,6,7,8} , 5 tane tam sayı bulunur. sin 2x = a , olduğuna göre, (sin x + cos x)² ifadesinin a türünden değeri aşağıdakilerden hangisidir? A) a + 1 B) 2a + 1 C) 2a + 2 D) a² + 1 E) 2a² + 1 Çözüm 12 (sin x + cos x)² = cos²x + funduszeue.info + sin²x = (cos²x + sin²x) + funduszeue.info = 1 + sin2x = 1 + a Not : sin2x = funduszeue.info ve cos²x + sin²x = 1 cos( A) π 2 − 3 3 + x) = sin( B) 3 3 π - x) olduğuna göre, tanx kaçtır? 2 C) −1 D) − 3 E) 3 Çözüm 13 cos( π 2 + x) = sin( π 2 - x) ⇒ -sinx = cosx ⇒ − sin x =1 ⇒ cos x tanx = -1 Yukarıda f (x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Buna göre, lim+ f ( x) + lim− f ( x) + lim+ f ( x) toplamı kaçtır? x→a A) −2 B) −1 x →b C) 0 x →c D) 1 E) 3 Çözüm 14 lim f ( x ) + lim− f ( x) + lim+ f ( x ) = (-4) + 0 + 3 = -1 x→a + x →b x →c lim ( x ² − 4 x − x) limitinin değeri kaçtır? x →∞ A) − 4 B) −2 C) 0 D) 2 E) 4 Çözüm 15 I. Yol x ² − 4 x = 1. ( x − 4 )² = x-2 lim( x ² − 4 x − x ) = lim( x − 2 − x) = -2 elde edilir. x →∞ x →∞ II. Yol lim( x ² − 4 x − x ) = ∞ - ∞ belirsizliği vardır. Pay ve paydayı eşleniği ile çarpıp - bölelim. x →∞ ( x ² − 4 x − x). ( x ² − 4 x + x) ( x ² − 4 x + x) = lim x →∞ 4 x.( (1 − ) + 1) x ( x ² − 4 x + x) x² − 4 x + x x →∞ − 4x ( x ² − 4 x) − x ² − 4x lim( x ² − 4 x − x ) = lim x →∞ = = lim x →∞ = lim x →∞ −4 4 ( (1 − ) + 1) x = = − 4x ( x ² − 4 x + x) − 4x − 4x = lim x →∞ 4 4 x ².(1 − ) + x x. (1 − ) + x x x −4 1− 4 +1 ∞ = −4 1− 0 +1 = −4 −4 = = -2 1+1 2 Not : f(x) = ax ² + bx + c = a . x² + b c x+ a a lim f ( x) = lim g ( x) olur. x→m ∞ g(x) = b a. x + ² = 2a y = 7x − k doğrusu y = a. x + b 2a x4 - x + 2 fonksiyonunun grafiğine teğet olduğuna göre, 4 k kaçtır? A) −9 B) −8 C) −7 x→m ∞ D) 8 E) 10 Çözüm 16 Doğru ile fonksiyonun grafiği teğet olduğuna göre, eğimleri eşittir. x4 y= -x+2 4 4. x 3 ⇒ y’ = - 1 = x³ - 1 (fonksiyonun eğimi) 4 x³ - 1 = 7 ⇒ x=2 y = 7x − k ⇒ md = 7 (doğrunun eğimi) x = 2 için, y = 24 -2+2 4 ⇒ y=4 y = 7x − k doğru denkleminde, (x = 2 ve y = 4) ⇒ π 4 noktasında türevlenebilir bir f fonksiyonu için 2f(x) + f( olduğuna göre, f ’( A) 1 B) 2 π 4 ⇒ 4 = – k π 2 k = 10 bulunur. - x) = tan x ) değeri kaçtır? C) 3 D) 4 E) 5 Çözüm 17 2f(x) + f( π 2 - x) = tan x ⇒ 2f ’(x) + f ‘( ⇒ 2f ’(x) - f ‘( x= π 4 için , 2f ’( π 4 ) - f ‘( π 2 - π 4 π 2 π 2 ) = 1 + tan² - x).(-x)’ = 1 + tan²x - x) = 1 + tan²x π 4 ⇒ 2f ’( ⇒ f ’( π 4 π 4 ) - f ’( π 4 ) = 1 + tan² A) −3 B) −2 C) 4 D) 6 E) 12 4 ) = 1 + 1 = 2 elde edilir. f(x) = 2x³ + ax² + (b + 1)x − 3 fonksiyonunun x = −1 de yerel ekstremum ve x = dönüm (büküm) noktası olduğuna göre, a • b çarpımı kaçtır? π −1 de 12 Çözüm 18 f(x) = 2x³ + ax² + (b + 1)x − 3 ⇒ f ‘(x)= 6x² + 2ax + (b+1) f “( ⇒ f ‘(-1) = 0 (yerel ekstremum noktası) f ‘(-1) = 6.(-1)² + 2a.(-1) + b + 1 = 0 ⇒ 2a – b = 7 −1 ) = 0 (dönüm noktası) ⇒ 12 ⇒ f “( −1 −1 ) = ( ) + 2a = 0 12 12 O halde, a.b = f ”(x) = 12x + 2a ⇒ a= 1 2 ve 2a – b = 7 ⇒ 2. 1 -b=7 2 ⇒ 1 .(-6) = -3 elde edilir. 2 b b > 0 olduğuna göre, ∫ (2 x − x ²)dx integralinin alabileceği en büyük değer kaçtır? 0 A) 1 2 B) 3 2 C) 5 2 D) 1 3 E) 4 3 Çözüm 19 b x³ ∫0 (2 x − x²)dx = ( x² − 3 ) b = [ (b ² − 0 b³ b³ (b > 0) ) − (0) ] = b² − 3 3 ( b² − b³ ) ün en büyük değeri = ? 3 ⇒ ( b² − b³ )’ = 0 3 ⇒ [b.(2 - b)] = 0 , b = 0 veya b = 2 b = 2 için, ( b² − ⇒ 2b – b² = 0 ( b² − b³ )’ = 0 olmalıdır. 3 b³ 2³ 8 4 ) = ( 2² − ) = (4 - ) = bulunur. 3 3 3 3 b = -6 π 2 1 ∫ sin x − 2 dx integralinin değeri kaçtır? 0 π 3− A) 12 −1 3− B) π 6 −1 3− C) π 4 −1 D) 2 3 − π 4 − 3 2 E) 2 3 − π 2 − 1 2 Çözüm 20 sinx - 1 =0 2 0<x< π 6 ⇒ sinx = π ⇒ 6 <x< π sin x − ⇒ 2 1 2 π π 2 6 sin x − ⇒ x= π 6 1 1 = − sin x 2 2 1 1 = sin x − 2 2 π 2 1 1 1 ∫0 sin x − 2 dx = ∫0 ( 2 − sin x)dx + π∫ (sin x − 2 )dx 6 π 1 = x + cos x 2 6 0 π 1 + − cos x − x 2 2 π π 1 = x + cos x 2 6 6 0 π 1 − cos x + x 2 2 π 6 1 π π 1 π 1 π π 1 π ⇒ [( . + cos ) – ( .0 + cos 0 )] - [( cos + . ) - ( cos + . )] 2 6 6 2 2 2 2 6 2 6 ⇒ [( e² π 12 + 3 π 3 π π 3 π 3 π ) - (1)] – [( 0 + ) - ( = + )] = + −1− + + 2 4 2 12 12 2 4 2 12 dx ∫ x.(ln x)² integralinin değeri kaçtır? e A) 1 2 B) 3 2 C) 1 D) 2 E) 4 3− π 12 −1 Çözüm 21 u = lnx ⇒ 2 xdu ∫1 x.(u )² = 1 dx , [(x = e² ⇒ u = lne² = 2lne = 2) , (x = e ⇒ u = lne = 1)] x du = u −2+1 du −2 ∫1 u ² = ∫1 u du = − 2 + 1 2 2 2 1 u −1 = −1 2 1 −1 = u 2 =( 1 −1 −1 −1 1 )= +1 = − 2 1 2 2 Aşağıdaki şekilde, eni 40 m ve boyu m olan dikdörtgen biçiminde bir park, parkın içinden geçen paralelkenar biçiminde iki yol ve bu yollar dışında kalan yamuksal K, L ve üçgensel M yeşil alanları gösterilmiştir. Parkın K ve L bölgelerinin alt kenar uzunlukları sırasıyla 35 m ve 55 m olduğuna göre, toplam yeşil alan kaç m²dir? A) B) C) D) E) Çözüm 22 K ve L alanları arasındaki paralel kenarın bir kenarı x olsun. L ve M alanları arasındaki paralel kenarın bir kenarı y olsun. 35 + x + 55 + y = ⇒ x + y = 10 Yükseklik = 40 alan(K) + alan(L) + alan(M) = (Parkın tamamının alanı) – (paralel kenarların alanı) = – [x + y] = – [(x+y)] = – = – = ABCD bir dikdörtgen [DE] ⊥ [HF] Şekilde birim karelerden oluşan ABCD dikdörtgeni ve bu dikdörtgenin içine yerleştirilmiş olan DHF dik üçgeni verilmiştir. Buna göre, A) 3 3 HF HD B) oranı kaçtır? 3 2 C) 1 2 D) 1 3 E) 1 4 Çözüm 23 DCF üçgeninde, DF² = DC² + CF² DF² = 2² + 2² ⇒ (pisagor) DF = 2 2 DAE üçgeninde, DE² = DA² + AE² (pisagor) DE² = 3² + 1² ⇒ DE = 10 EF köşegenini çizelim. m(BFE) = 45 ve m(CFD) = 45 olacağından, m(DFE) = 90 olur. DFE dik üçgeninde, DF² = DH.DE (öklid) ⇒ (2 2 )² = DH. 10 ⇒ DH = 8 10 DHF dik üçgeninde, DF² = DH² + HF² (pisagor) ⇒ (2 2 )² = ( 4 HF HD = 10 = 8 10 4 10 . 10 1 = elde edilir. 8 2 8 10 )² + HF² ⇒ HF = 4 10 AG = GB BD = DC Şekildeki ABC üçgeninin [AC] kenarı üzerinde FE = 3 cm olacak biçimde E ve F noktaları alınıyor. [FD] ve [GE] doğru parçaları bir K noktasında 2FK = KD olacak biçimde kesiştiğine göre, AC uzunluğu kaç cm dir? A) 9 B) 12 C) 15 D) 18 E) 21 Çözüm 24 FK = a ⇒ KD = 2a G ve D noktalarını birleştirelim. GD // AC KDG ≅ KFE ⇒ 2a DG = a 3 ⇒ DG = 6 BG =GA = x olsun. BGD ≅ BAC ⇒ 6 x = 2 x AC ⇒ AC = 12 Bir ABC dik üçgeni için CA ⊥ AB, CA = 3 cm ve AB = 4 cm olarak veriliyor. Merkezi A, yarıçapı [AC] olan bir çember, üçgenin BC kenarını C ve E noktalarında kesiyor. Buna göre, BE uzunluğu kaç cm dir? A) 5 2 B) 7 3 C) 8 3 D) 7 5 E) 9 5 Çözüm 25 BE.BC = BM.BN BE = x olsun. ⇒ x.BC = BC² = BA² + CA² BC² = 4² + 3² ⇒ BC = 5 ⇒ x.5 = ⇒ x = Not : Çemberde kuvvet bağıntıları Çembere dışındaki bir P noktasından, biri çemberi A ve B noktalarında, diğeri C ve D noktalarında kesen, iki kesen çizilirse, PA.PB = PC.PD olur. ABC bir üçgen m(BAD) = 36° m(DCA) = 36° m(BDA) = 72° BD = p birim AB = k birim Yukarıdaki verilere göre, p•k çarpımı aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) k² − p² B) 2k² − p² C) k² − 2p² D) k² + p² E) 2k² + p² (pisagor) 7 = BE 5 Çözüm 26 BAD üçgeninde, m(ABC) = – (72+36) = 72 AB = AD = k (BAD ikizkenar üçgen) CDA üçgeninde, m(CAD) = 72 – 36 = 36 AD = DC = k (CDA ikizkenar üçgen) ACB üçgeninde, m(BAC) = 36 + 36 = 72 BC = AC = p + k (ACB ikizkenar üçgen) BAC üçgeninde AD açıortay olduğuna göre, p k = k p+k ⇒ p.(p+k) = k.k ⇒ p k (açıortay teoremi) = k p+k p² + p.k = k² ⇒ p.k = k² - p² bulunur. ABCDE bir düzgün beşgen EC = DF = FB m(CBF) = x Yukarıdaki verilere göre, x kaç derecedir? A) 24 B) 30 C) 32 D) 36 E) 40 Çözüm 27 Düzgün beşgenin bir dış açısı = = 72 5 Düzgün beşgenin bir iç açısı = – 72 = DB çizelim. DCB ikizkenar üçgen olduğuna göre, m(DCB) = ⇒ m(BDC) = m(DBC) = 36 EC = DB (düzgün çokgenlerin en kısa köşegenleri eşittir.) ⇒ EC = DF = FB = DB ⇒ DBF eşkenar üçgen olur. m(BFD) = m(FDB) = m(DBF) = 60 ⇒ m(DBF) = 60 = 36 + x ⇒ x = 24 [O2H] ⊥ [AB] Şekildeki O1 ve O2 merkezli çemberler T noktasında dıştan teğettir. O1 den geçen bir doğru O2 merkezli çemberi A ve B noktalarında kesmektedir. O1A = 5 cm , O1B = 9 cm ve O1T = 3 cm olduğuna göre, HO1O2 üçgeninin alanı kaç cm² dir? A) 20 3 B) 23 3 C) 12 2 D) 14 2 E) 17 2 Çözüm 28 O1A = 5 ve O1B = 9 ⇒ AB = 4 AO2B ikizkenar üçgen olduğundan, AH = HB = 2 olur. O2T = r olsun. AHO2 üçgeninde, r² = 2² + HO2² (pisagor) ⇒ HO2² = r² - 4 O1HO2 üçgenide, (3+r)² = (3+2+2)² + HO2² (pisagor) ⇒ ⇒ 9 + 6r + r² = 49 + r² - 4 ⇒ HO2² = r² - 4 = 6² - 4 ⇒ Alan(HO1O2) = O1 H . HO2 2 (3+r)² = 7² + (r² - 4) 6r = 36 ⇒ r = 6 HO2 = 4 2 = (3 + 2 + 2).(4 2 ) 2 28 2 = = = 14 2 2 2 2 Şekilde, O ve M merkezli çemberler T noktasında teğet ve M merkezli çember O dan geçmektedir. O dan geçen bir doğru, büyük çemberi A da, küçük çemberi ise B de kesmektedir. Oluşan AT ve BT yaylarının uzunlukları sırasıyla a cm ve b cm olduğuna göre, a ile b arasındaki bağıntı aşağıdakilerden hangisidir? A) a = b B) a = 3b 2 C) a = 4b 3 D) a = 5b 4 E) a = 5b 3 Çözüm 29 AT yayı = a = 2.π.2r. x a=b BT yayı = b = 2.π.r. 2x Yarıçapı 3 cm olan O merkezli küre içine, ekseni küre merkezinden geçen 1 cm yarıçaplı dik dairesel silindir aşağıdaki gibi yerleştiriliyor. Bu silindirin hacmi kaç cm³ tür? A) 3.π 2 B) 3.π C) 3 3 .π D) 4 2 .π E) 9.π Çözüm 30 3² = 1² + OT² (pisagor) OT² = 9 – 1 = 8 ⇒ OT = 2 2 Vsilindir = π.r².h Vsilindir = π.1².4 2 Adnan ÇAPRAZ [email&#;protected] AMASYA ⇒ Vsilindir = 4 2 .π