SORU 1:
\( -1 - 2 - 3 - \ldots - 49 \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü Göster
Tüm işlemi \( -1 \) parantezine alalım.
\( -(1 + 2 + 3 + \ldots + 49) \)
\( \text{Terimler toplamı} = (\text{İlk terim} + \text{Son terim}) \) \( \cdot \dfrac{\text{Terim sayısı}}{2} \)
\( = -(49 + 1) \cdot \dfrac{49}{2} \)
\( = \cdot \dfrac{49}{2} = \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 2:
\( a \), \( b \) ve \( c \) ardışık doğal sayılar ve \( a \lt b \lt c \) olduğuna göre,
\( \dfrac{(b - a)(c - a)}{c - b} \) ifadesinin değerini bulalım.
Çözümü Göster
\( a \), \( b \) ve \( c \) ardışık doğal sayılar olduğu için, aralarında aşağıdaki eşitlikleri kurabiliriz.
\( b = a + 1, \quad c = b + 1 = a + 2 \)
Sorulan ifadedeki tüm değişkenleri \( a \) cinsinden yazalım.
\( \dfrac{(a + 1 - a)(a + 2 - a)}{a + 2 - (a + 1)} \)
\( = \dfrac{1 \cdot 2}{1} = 2 \)
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 3:
\( a \) ve \( b \) ardışık iki tek sayı ve \( a \lt b \) olmak üzere,
\( 2a + 3b = 41 \) ise, \( a + b \) toplamının değerini bulalım.
Çözümü Göster
İki sayı ardışık tek sayılar olduğu için aralarındaki fark 2'dir. \( a \lt b \) olduğuna göre, \( b = a + 2 \) yazabiliriz.
\( 2a + 3b = 41 \)
\( 2a + 3(a + 2) = 41 \)
\( 5a + 6 = 41 \)
\( a = 7, \quad b = 9 \quad a + b = 16 \)
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 4:
Üçün katı ardışık dört tam sayıdan en büyüğü ile en küçüğünün toplamı 39 ise, bu sayıların toplamını bulalım.
Çözümü Göster
Sayılara \( a \), \( a + 3 \), \( a + 6 \) ve \( a + 9 \) diyelim.
En küçük ve en büyük sayıların toplamı:
\( a + (a + 9) = 39 \)
\( a = 15 \)
Bu durumda dört sayının toplamı aşağıdaki gibi olur:
\( 15 + 18 + 21 + 24 = 78 \)
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 5:
\( 2a + 5 \) ve \( 4a - 11 \) birer ardışık tek sayı ise, \( a \)'nın alabileceği değerler toplamını bulalım.
Çözümü Göster
Sayılardan hangisinin büyük olduğu verilmediği için, ikisinin de diğerinden büyük olduğu durumu dikkate almamız gerekir.
\( 2a + 5 \lt 4a - 11 \) ise,
\( 2a + 5 + 2 = 4a - 11 \)
\( a = 9 \)
\( 2a + 5 \gt 4a - 11 \) ise,
\( 2a + 5 = 4a - 11 + 2 \)
\( a = 7 \)
\( a \)'nın alabileceği değerler toplamı bu durumda \( 9 + 7 = 16 \) olur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 6:
Ardışık 9 doğal sayının toplamı 99 ise, bu sayılardan en büyüğünü bulalım.
Çözümü Göster
Terim sayısı \( = 9 \)
İlk terim \( = a \)
Son terim \( = a + 8 \)
Terimler toplamı \( = (\text{İlk terim} + \text{Son terim}) \cdot \dfrac{\text{Terim sayısı}}{2} \)
Terimler toplamı \( = (a + a + 8) \cdot \dfrac{9}{2} \)
\( = 9(a + 4) = 99 \)
\( a = 7 \)
En küçük sayı \( a = 7 \) olduğuna göre, en büyük sayı \( a + 8 = 15 \) olur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 7:
Ardışık 7 doğal sayının toplamı \( A \) ise, bu sayılardan ortanca olanının \( A \) cinsinden değerini bulalım.
Çözümü Göster
Terim sayısı \( = 7 \)
İlk terim \( = a \)
Son terim \( = a + 6 \)
Ortanca terim \( = \dfrac{a + a + 6}{2} = a + 3 \)
Terimler toplamı \( = A = (\text{İlk terim} + \text{Son terim}) \cdot \dfrac{\text{Terim sayısı}}{2} \)
Terimler toplamı \( = (a + a + 6) \cdot \dfrac{7}{2} \)
\( = 7(a + 3) = A \)
Buna göre, ortanca terim olan \( a + 3 = \dfrac{A}{7} \) olur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 8:
\( A = 1 \cdot 3 + 3 \cdot 5 + 5 \cdot 7 + + 17 \cdot 19 \) ise,
\( B = 2 \cdot 3 + 4 \cdot 5 + 6 \cdot 7 + + 18 \cdot 19 \) toplamının değerini \( A \) cinsinden bulalım.
Çözümü Göster
\( A = 1 \cdot 3 + 3 \cdot 5 + 5 \cdot 7 + + 17 \cdot 19 \)
\( B = 2 \cdot 3 + 4 \cdot 5 + 6 \cdot 7 + + 18 \cdot 19 \)
İkinci ifadeden birinciyi çıkaralım.
\( B - A = 3 + 5 + 7 + + 19 \)
Eşitliğin sağ tarafındaki ardışık sayıların toplamını bulalım.
Terim sayısı \( = \dfrac{\text{Son terim} - \text{İlk terim}}{\text{Ortak fark}} + 1 \)
Terim sayısı \( = \dfrac{19 - 3}{2} + 1 = 9 \)
İlk terim \( = 3 \)
Son terim \( = 19 \)
Terimler toplamı \( = (3 + 19) \cdot \dfrac{9}{2} = 99 \)
\( B - A = 99 \)
\( B = A + 99 \)
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 9:
Başlangıçta sayfa olan bir kitabın herhangi bir bölümünden ardışık 4 yaprak koparılıyor.
Geriye kalan yapraklardaki sayfa numaralarının toplamı \( \cdot 62 \) olduğuna göre, koparılan yapraklardaki sayfa numaralarının en küçüğü kaçtır?
Çözümü Göster
İlk durumdaki sayfa numaralarının toplamını bulalım.
Sayfa sayısı \( = \dfrac{n(n + 1)}{2} \)
\( = \dfrac{ \cdot }{2} = \cdot 62 \)
Koparılan yapraklardaki sayfa numaralarının toplamını bulalım.
\( \cdot 62 - \cdot 62 = ( - ) \cdot 62 \)
\( = 62 \cdot 6 = \)
Koparılan 4 sayfadaki 8 sayfanın numaraları \( a, a + 1, a + 2 , a + 3, a + 4, a + 5, a + 6, a + 7 \) şeklindedir.
Bu sayıların toplamı 'dir.
\( \text{Terimler toplamı} = (\text{İlk terim} + \text{Son terim}) \) \( \cdot \dfrac{\text{Terim sayısı}}{2} \)
\( (a + 7 + a) \cdot \dfrac{8}{2} = \)
\( (2a + 7) \cdot 4 = \)
\( 2a + 7 = 93 \)
\( a = 43 \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU
5 tane iki basamaklı ardışık doğal sayının toplamı bir sayma sayısının 3. kuvvetine eşittir.
Buna göre ardışık sayıların en büyüğü kaçtır?
Çözümü Göster
5 iki basamaklı ardışık sayıyı yazalım.
\( (ab), (ab) + 1, \ldots, (ab) + 4 \)
Bu sayıların toplamı bir \( x \) sayma sayısının 3. kuvvetine eşittir.
\( 5(ab) + 10 = x^3 \)
\( 5(ab) = x^3 - 10 \)
Bir sayma sayısının üçüncü kuvveti aşağıdakilerden biri olabilir.
1, 8, 27, 64, , , ,
Bu sayıların 10 eksiği aşağıdakilerden biri olabilir.
-9, -2, 17, 54, , , ,
İki basamaklı ardışık 5 sayı en küçük arası olabilir, bu durumda toplamları 60 olur.
İki basamaklı ardışık 5 sayı en büyük arası olabilir, bu durumda toplamları olur.
Buna göre \( x^3 - 10 \) ifadesi 60 ile arasında ve 5'in katı bir sayı olmalıdır.
Yukarıdaki listede bu koşulu sağlayan sayı 'tir.
\( 5(ab) = x^3 - 10 = \)
\( (ab) = 23 \)
Sayıların en büyüğü \( (ab) + 4 = 27 \) olur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU
Ceyda sınava hazırlanmak için ilk gün 10 soru çözmüştür, sonraki günlerde her gün soru sayısını birer artırarak devam etmiştir.
Buna göre Ceyda sorusunu kaçıncı günde çözer?
Çözümü Göster
Ceyda'nın çözdüğü soru sayısı 1. gün 10, 2. gün 11, 3. gün 12, \( n \). gün \( n + 9 \) olur.
Ceyda'nın \( n \) günde çözeceği toplam soru sayısını bulalım.
\( \text{Terimler toplamı} = (\text{İlk terim} + \text{Son terim}) \) \( \cdot \dfrac{\text{Terim sayısı}}{2} \)
\( = (10 + n + 9) \cdot \dfrac{n}{2} \)
\( = \dfrac{(n + 19) \cdot n}{2} \)
Ceyda'nın hangi gün soruyu çözdüğünü bulmak için \( n \)'ye değer verelim.
\( n = 10 \Longrightarrow \dfrac{(10 + 19) \cdot 10}{2} = \)
\( n = 11 \Longrightarrow \dfrac{(11 + 19) \cdot 11}{2} = \)
\( n = 12 \Longrightarrow \dfrac{(12 + 19) \cdot 12}{2} = \)
\( n = 13 \Longrightarrow \dfrac{(13 + 19) \cdot 13}{2} = \)
Buna göre Ceyda sorusunu günde çözer.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU
Kareli bir kağıdın 1. satırında 1 kare, 2. satırında 2 kare olacak şekilde her satırında satır numarası kadar kare boyanacaktır.
Buna göre 63 karenin boyanması için en az kaç satırda bu işlem yapılmalıdır?
Çözümü Göster
1. satırda 1, 2. satırda 2, \( n \). satırda \( n \) kare boyanıyor.
Buna göre boyanan toplam kare sayısını aşağıdaki formülle bulabiliriz.
\( \dfrac{n \cdot (n + 1)}{2} \)
Bu sayının en az 63 olacağı \( n \) değerini bulalım.
\( \dfrac{n \cdot (n + 1)}{2} \ge 63 \)
\( n \cdot (n + 1) \ge \)
\( n = 10 \Longrightarrow 10 \cdot (10 + 1) = \not\ge \)
\( n = 11 \Longrightarrow 11 \cdot (11 + 1) = \ge \)
Buna göre en az 11 satır boyanmalıdır.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU
İki basamaklı tek sayıların toplamı \( a \), iki basamaklı çift sayıların toplamı \( b \) ise \( a - b \) farkı kaçtır?
Çözümü Göster
İki basamaklı tek sayıların toplamını bulalım.
\( 11, 13, 15, \ldots, 99 \)
\( \text{Terimler toplamı} = (\text{İlk terim} + \text{Son terim}) \) \( \cdot \dfrac{\text{Terim sayısı}}{2} \)
\( \text{Terim sayısı} = \dfrac{\text{Son terim} - \text{İlk terim}}{\text{Ortak fark}} + 1 \)
\( a = (99 + 11) \cdot \dfrac{\frac{99 - 11}{2} + 1}{2} \)
\( = \cdot \dfrac{45}{2} = 55 \cdot 45 \)
Aynı şekilde iki basamaklı çift sayıların toplamını bulalım.
\( 10, 12, 14, \ldots, 98 \)
\( b = (98 + 10) \cdot \dfrac{\frac{98 - 10}{2} + 1}{2} \)
\( = \cdot \dfrac{45}{2} = 54 \cdot 45 \)
İki sayının farkını bulalım.
\( a - b = 55 \cdot 45 - 54 \cdot 45 \)
\( = 45 \cdot (55 - 54) = 45 \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU
\( 2 - 5 + 8 - 11 + \ldots + - + \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü Göster
Terimleri ikişerli grupladığımızda son terim hariç her çıkarma işleminin sonucunun -3 olduğunu görürüz.
\( (2 - 5) + (8 - 11) + \ldots + ( - ) + \)
\( = (-3) + (-3) + \ldots + (-3) + \)
2'den 'e kadar 3'er 3'er saydığımızda kaç sayı olduğunu bulalım.
Terim sayısı \( = \dfrac{ - 2}{3} + 1 = 38 \)
Terimler ikişerli toplandığı için terim sayısının yarısı kadar -3 vardır.
\( = \dfrac{38}{2} \cdot (-3) + \)
\( + = 59 \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU
\( A = 2 \cdot 5 + 3 \cdot 6 + 4 \cdot 7 + \ldots + 16 \cdot 19 \)
toplamında her terimin ilk çarpanı 3 artırılıp ikinci çarpanı 2 azaltılırsa toplam nasıl değişir?
Çözümü Göster
Yeni oluşan sayıya \( B \) diyelim.
\( B = 5 \cdot 3 + 6 \cdot 4 + 7 \cdot 5 + \ldots + 19 \cdot 17 \)
\( A \) ve \( B \) ifadelerinin terimlerini birebir karşılaştırırsak, \( A \) sayısında birinci terimde 2 tane 5 varken \( B \) sayısında 3 tane 5 vardır. \( A \) sayısında ikinci terimde 3 tane 6 varken \( B \) sayısında 4 tane 6 vardır.
Buna göre iki ifadenin farkını aldığımızda ardışık sayıların toplamını elde ederiz.
\( B - A = 5 + 6 + 7 + \ldots + 19 \)
\( \text{Terimler toplamı} = (\text{İlk terim} + \text{Son terim}) \) \( \cdot \dfrac{\text{Terim sayısı}}{2} \)
\( \text{Terim sayısı} = \dfrac{\text{Son terim} - \text{İlk terim}}{\text{Ortak fark}} + 1 \)
\( B - A = (19 + 5) \cdot \dfrac{15}{2} \)
\( = 24 \cdot \dfrac{15}{2} = \)
Buna göre toplam artar.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU
\( 1 + 2 + \ldots + 99 \) toplamının sonucu sayıların ortanca teriminin kaç katıdır?
Çözümü Göster
\( \text{Terimler toplamı} = (\text{İlk terim} + \text{Son terim}) \) \( \cdot \dfrac{\text{Terim sayısı}}{2} \)
\( = (1 + 99) \cdot \dfrac{99}{2} = 50 \cdot 99 \)
Ortanca terimi bulalım.
\( \text{Ortanca terim} = \dfrac{\text{İlk terim} + \text{Son terim}}{2} \)
\( = \dfrac{1 + 99}{2} = 50 \)
Buna göre terimler toplamı ortanca terimin 99 katıdır.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU
\( A = 4 + 9 + 14 + \ldots + 99 \)
\( B = 4 + 8 + 12 + \ldots + 80 \)
olduğuna göre \( A - B \) kaçtır?
Çözümü Göster
İki ifadenin farkını alalım.
\( A - B = (4 - 4) + (9 - 8) + (14 - 12) + \ldots + (99 - 80) \)
\( = 0 + 1 + 2 + \ldots + 19 \)
\( \text{Terimler toplamı} = (\text{İlk terim} + \text{Son terim}) \) \( \cdot \dfrac{\text{Terim sayısı}}{2} \)
\( = (19 + 0) \cdot \dfrac{20}{2} \)
\( = 19 \cdot 10 = \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU
Bir yönetici ofisindeki çalışanlara 1. çalışana 2 adet, 2. çalışana 4 adet, 3. çalışana 6 adet ve \( n \). çalışana \( 2n \) adet olacak şekilde kalem dağıtıyor.
Bu dağıtım işlemi sonucunda tüm kalemler bitmiştir.
Yönetici daha sonra tüm kalemleri toplayıp bu sefer herkese eşit sayıda olacak şekilde dağıtmıştır. Bu durumda \( n \). çalışanın aldığı kalem sayısı ilk durumdan 10 eksik olduğuna göre, toplam dağıtılan kalem sayısı kaçtır?
Çözümü Göster
İlk seferde dağıtılan kalem sayısını ardışık sayıların toplam formülü ile aşağıdaki şekilde hesaplayabiliriz.
\( \text{Terimler toplamı} = (\text{İlk terim} + \text{Son terim}) \) \( \cdot \dfrac{\text{Terim sayısı}}{2} \)
\( = (2 + 2n) \cdot \dfrac{n}{2} = n \cdot (n + 1) \)
Kalem sayısını toplam kişi sayısına bölelim.
\( \dfrac{n \cdot (n + 1)}{n} = n + 1 \)
Bu sayı aynı zamanda ilk durumda \( n \). kişinin aldığı kalem sayısının 10 eksiğine eşittir.
\( n + 1 = 2n - 10 \)
\( n = 11 \)
Buna göre toplam kalem sayısı \( 11 \cdot 12 = \) olarak bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU
Bir gezi grubundaki 17 öğrencinin 9'unun yaşlarının ardışık çift sayı ve diğer 9'unun yaşlarının aynı olduğu biliniyor. Bu öğrencilerin yaşlarının aritmetik ortalaması 17 olduğuna göre, doğum tarihleri aynı olan öğrencilerin yaşı en çok kaçtır?
Çözümü Göster
Yaşları ardışık çift sayı olan öğrencilerin yaşlarına değer verelim.
\( a , a + 2 , \ldots , a + 16 \)
Bu öğrencilerin yaşları toplamını ardışık sayıların toplam formülü ile bulalım.
\( \text{Terimler toplamı} = (\text{İlk terim} + \text{Son terim}) \) \( \cdot \dfrac{\text{Terim sayısı}}{2} \)
\( = (a + a + 16) \cdot \dfrac{9}{2} = 9a + 72 \)
Yaşları aynı olan öğrencilerin yaşları toplamını bulalım.
Bir öğrencinin yaşına \( b \) dersek yaşları toplamı \( 9b \) olur.
Tüm öğrencilerin yaş ortalaması 17'dir.
\( \dfrac{9a + 72 + 9b}{18} = 17 \)
\( 9a + 72 + 9b = \)
\( a + b = 26 \)
\( b \) en büyük değeri olan 25'i aldığında \( a = 1 \) olur, ancak bu durumda ilk gruptaki öğrencilerin yaşları çift sayı olmaz.
Bu yüzden \( b = 24 \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU
Kayra'nın oturduğu binada zemin katta 3 daire, sonraki her katta 4'er daire vardır. Daire numaraları zeminden itibaren 1 ile başlayan ardışık numaralardır. Binadaki daire numaralarının aritmetik ortalaması 38'dir.
Buna göre, Kayra zemin kat dahil olmak üzere kaç katlı bir binada oturmaktadır?
Çözümü Göster
Binadaki zemin kat dahil kat sayısına \( k \) dersek toplam daire sayısı \( 3 + 4(k - 1) = 4k - 1 \) olur.
Daire numaralarının toplamını ardışık sayıların toplam formülü ile bulalım.
\( \text{Terimler toplamı} = (\text{İlk terim} + \text{Son terim}) \) \( \cdot \dfrac{\text{Terim sayısı}}{2} \)
\( = (1 + 4k - 1) \cdot \dfrac{4k - 1}{2} \)
\( = 2k \cdot (4k - 1) \)
Bu toplamın daire sayısına bölümü bize aritmetik ortalamayı verir.
\( \dfrac{2k \cdot (4k - 1)}{4k - 1} = 38 \)
\( k = 19 \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU
Aldığı şiir kitabını okumaya başlayan Elif 1. şiiri okuyup 2. şiiri atlıyor. Sonra 3. ve 4. şiirleri okuyup, 5. ve 6. şiirleri atlıyor. Daha sonra 7., 8., 9. şiirleri okuyup , , şiirleri atlıyor. Bu şekilde her seferinde okunan ve atlanan şiir sayısı 1 artarak devam ediyor.
Son şiiri de okuyup kitabı bitiren Elif'in okuduğu şiir sayısı atladığı şiir sayısından 17 fazladır. Buna göre bu kitapta toplam kaç şiir vardır?
Çözümü Göster
Elif 1 şiir okuyor, 1 şiir atlıyor, 2 şiir okuyor, 2 şiir atlıyor, , \( n \) şiir okuyor, \( n \) şiir atlıyor, en sonunda \( n + 1 \) şiir okuyup kitabı bitiriyor.
Elif'in okuduğu şiir sayısını ardışık sayıların toplam formülü ile bulalım.
\( 1 + 2 + \ldots + (n + 1) = \dfrac{(n + 1) \cdot (n + 2)}{2} \)
Elif'in atladığı şiir sayısını da aynı formülle bulalım.
\( 1 + 2 + \ldots + n = \dfrac{n \cdot (n + 1)}{2} \)
Elif'in okuduğu ve atladığı şiir sayılarının farkını bulalım.
\( \dfrac{(n + 1) \cdot (n + 2)}{2} - \dfrac{n \cdot (n + 1)}{2} = 17 \)
\( \dfrac{n^2 + 3n + 2 - n^2 - n}{2} = 17 \)
\( n + 1 = 17 \Longrightarrow n = 16 \)
Elif'in okuduğu ve atladığı toplam şiir sayısını bulalım.
\( \dfrac{(n + 1) \cdot (n + 2)}{2} = \dfrac{17 \cdot 18}{2} + \dfrac{16 \cdot 17}{2} \)
\( = \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU
11 ardışık tam sayının toplamı \( A \)'dır. Sayılar küçükten büyüğe sıralandığında altıncı sıradaki sayının \( A \) cinsinden değerini bulunuz.
Çözümü Göster
Birinci sayıya \( b \) diyelim. Bu durumda ikinci sayı \( b + 1 \) olur.
Ardışık sayıların toplamını alalım.
\( b + (b + 1) + (b + 2) + \ldots + (b + 10) = A \)
Sabit sayıların toplamı 1'den 10'a kadar olan ardışık sayıların toplamıdır.
1'den n'ye kadar olan doğal sayıların toplamı: \( \frac{n(n + 1)}{2} \)
\( 11b + \dfrac{10 \cdot 11}{2} = A \)
\( 11b + 55 = A \)
Altıncı sıradaki sayı \( b + 5 \) olur.
\( 11(b + 5) = A \)
\( b + 5 = \dfrac{A}{11} \) olarak bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin