Asimptotlar Ve Grafik Çizimi

asimptotlar ve grafik çizimi

Fonksiyonların Grafik Gösterimi

Bir fonksiyonun girdi ve çıktı değerleri arasındaki ilişki ve fonksiyonun davranışı hakkında en detaylı yorumları fonksiyonun grafiğini inceleyerek yapabiliriz.

Fonksiyon Grafiğini Okuma

Bir \( f \) fonksiyonunun analitik düzlemdeki grafiği ile ilgili önemli bazı noktalar şunlardır:

Fonksiyonun tanım kümesi olan \( A \) kümesinin elemanları \( x \) eksenine karşılık gelir.
Fonksiyonun değer kümesi olan \( B \) kümesinin elemanları \( y \) eksenine karşılık gelir.
\( a \in A \) olmak üzere, bir \( a \) elemanının ve \( B \) kümesindeki görüntüsünün oluşturduğu \( (a, f(a)) \) sıralı ikilisi, analitik düzlemde apsisi \( a \) ve ordinatı \( f(a) \) olan noktaya karşılık gelir.
\( A \) kümesinin tüm elemanları için yazılacak bu sıralı ikililerin oluşturduğu noktalar kümesi fonksiyonun grafiğini oluşturur.

Bir fonksiyonun \( a \) noktasındaki değeri, fonksiyon tanımında \( x = a \) konduğunda bulunan \( f(a) \) değeridir. Bir fonksiyonun \( x = a \) noktasındaki değerini (eşlendiği elemanı) grafik üzerinde bulmak için \( x \) ekseni üzerinde \( a \) noktasından \( x \) eksenine dik bir doğru çizilir ve doğrunun fonksiyon grafiğini kestiği noktanın ordinat değeri bulunur.

Yukarıdaki grafiğe göre, \( x = 10 \) için fonksiyonun değeri dikey kesikli mavi doğrunun grafiği kestiği noktanın ordinatı olan \( y = 8 \)'dir.

Görüntüsü belirli bir değer olan tanım kümesi elemanlarını bulmak için, \( y \) ekseni üzerinde ordinatı bu değer olan noktadan \( y \) eksenine dik bir doğru çizilir ve doğrunun fonksiyon grafiğini kestiği noktanın/noktaların apsis değeri/değerleri bulunur.

Yukarıdaki grafiğe göre, fonksiyonun \( y = 4 \) değerini aldığı noktalar yatay kırmızı kesikli doğrunun grafiği kestiği noktaların apsis değerleri olan \( x \in \{ 2, 6, 9 \} \) değerleridir.

\( f(2) = f(6) = f(9) = 4 \)

Fonksiyon Grafiğini Yorumlama

Bir fonksiyonun grafiğini çizmek veya farklı açılardan yorumlamak oldukça kapsamlı bir bakış açısı gerektirir. Aşağıda bazı bileşenlerini listelediğimiz ve matematiğin farklı başlıkları altında incelenen bu konudaki bilgi düzeyimiz, denklemi verilen bir fonksiyonun grafiğini ve davranışını farklı açılardan yorumlamamızı kolaylaştıracaktır.

Temel fonksiyonların grafik özellikleri (doğrusal, kuvvet, kök, mutlak değer, polinom, trigonometri, üstel, logaritma, rasyonel, parçalı vb.)
Grafiklerin eksenleri kestikleri noktalar
Tanımsız noktalar
Grafiklerin dönüşümü (öteleme, daralma, genişleme)
Simetri (tek ve çift fonksiyonlar)
Artan, azalan ve sabit aralıklar
Minimum ve maksimum noktaları
Büküm noktaları
Konveks ve konkav aralıklar
Grafiklerin sürekliliği
Grafiklerin \( x \) sonsuza giderkenki davranışı
Yatay ve dikey asimptotlar
Grafiklerin periyodu

Değer Tablosu ile Fonksiyon Grafiği Çizme

Bir fonksiyonun detaylı davranışı hakkında fikir vermese de, bir fonksiyonun grafiğini en kolay şekilde bir değer tablosu oluşturarak çizebiliriz.

Aşağıdaki fonksiyonun grafiğini bir değer tablosu yardımıyla çizelim.

\( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \)

\( f(x) = (x - 3)^2 - 4 \)

Önce bir değer tablosu oluşturarak bazı \( x \) değerleri için fonksiyon değerlerini hesaplayalım ve fonksiyon grafiğindeki noktalara karşılık gelecek olan \( (x, f(x)) \) sıralı ikililerini bulalım.

\( x \)	\( y = f(x) \)	Nokta \( (x, f(x)) \)
\( -1 \)	\( f(-1) = (-1 - 3)^2 - 4 = 12 \)	\( (-1, 12) \)
\( 0 \)	\( f(0) = (0 - 3)^2 - 4 = 5 \)	\( (0, 5) \)
\( 1 \)	\( f(1) = (1 - 3)^2 - 4 = 0 \)	\( (1, 0) \)
\( 2 \)	\( f(2) = (2 - 3)^2 - 4 = -3 \)	\( (2, -3) \)
\( 3 \)	\( f(3) = (3 - 3)^2 - 4 = -4 \)	\( (3, -4) \)
\( 4 \)	\( f(4) = (4 - 3)^2 - 4 = -3 \)	\( (4, -3) \)
\( 5 \)	\( f(5) = (5 - 3)^2 - 4 = 0 \)	\( (5, 0) \)
\( 6 \)	\( f(6) = (6 - 3)^2 - 4 = 5 \)	\( (6, 5) \)
\( 7 \)	\( f(7) = (7 - 3)^2 - 4 = 12 \)	\( (7, 12) \)

Bulduğumuz bu noktaları analitik düzlemde işaretlediğimizde aşağıdaki kırmızı noktaları elde ederiz. Bu noktaları birleştirdiğimizde aşağıdaki parabol grafiğini elde ederiz.

Dikey Doğru Testi

Fonksiyon tanımını yaparken bir bağıntının fonksiyon olma kuralı olarak iki koşuldan bahsetmiştik. Bir bağıntının bu koşulları sağlayıp sağlamadığını bağıntının grafiğinden de anlayabiliriz.

Grafiği verilen bir bağıntının fonksiyon olup olmadığını anlamak için, \( x \) ekseni üzerinde bağıntının tanımlı olduğu aralıktaki (eksen üzerinde kırmızı doğru ile gösterilen aralık) tüm noktalardan \( x \) eksenine dik doğrular çizilir. Dikey doğru testi adı verilen bu yöntemde doğruların tümü grafiği sadece bir noktada kesiyorsa bu bağıntı bir fonksiyondur.

Aşağıda fonksiyon olma koşullarını, dolayısıyla dikey doğru testini sağlayan iki bağıntının grafiği verilmiştir. Bu grafiklerde dikey doğrular grafiği sadece bir noktada kestikleri için (yani \( A \) kümesinin her elemanı \( B \) kümesinde sadece bir elemanla eşlendiği için) bu bağıntılar birer fonksiyondur.

Fonksiyon olma koşullarını sağlayan grafik

Aşağıda ikinci fonksiyon olma koşulunu, dolayısıyla dikey doğru testini sağlamayan iki bağıntının grafiği verilmiştir. Bu grafiklerde grafiği birden fazla noktada kesen dikey doğrular bulunduğu için (yani \( A \) kümesinin bazı elemanları \( B \) kümesinde birden fazla elemanla eşlendiği için) bu bağıntılar birer fonksiyon değildir.

2. fonksiyon olma koşulunu sağlamayan grafik

Aşağıda birinci fonksiyon olma koşulunu, dolayısıyla dikey doğru testini sağlamayan tüm reel sayılarda tanımlı bir bağıntının grafiği verilmiştir. Bu grafikte \( x = 1 \) noktasında bağıntının bir görüntüsü olmadığı için (yani nokta \( B \) kümesinde hiçbir elemanla eşlenmediği için) dikey doğru bu noktada grafiği hiçbir noktada kesmemektedir.

1. fonksiyon olma koşulunu sağlamayan grafik

SORU 1:

\( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \)

\( f(x) = x^2 - 3ax + 5 - b \) fonksiyonunun grafiği \( (2, 3) \) ve \( (-1, -2) \) noktalarından geçtiğine göre, \( a \cdot b \) kaçtır?

Çözümü Göster

Bir fonksiyonun grafiği belirli bir noktadan geçiyorsa o noktanın koordinatları fonksiyon tanımını sağlar.

\( f(2) = 2^2 - 3a(2) + 5 - b = 3 \)

\( 6a + b = 6 \)

\( f(-1) = (-1)^2 - 3a(-1) + 5 - b = -2 \)

\( 3a - b = -8 \)

İki denklemi ortak çözelim.

\( a = -\dfrac{2}{9} \)

Bu değeri denklemlerden birinde yerine koyarak \( b \) değerini bulalım.

\( b = \dfrac{22}{3} \)

\( a \cdot b = -\dfrac{2}{9} \cdot \dfrac{22}{3} = -\dfrac{44}{27} \) bulunur.

Soru sorun Soruda hata bildirin

SORU 2:

\( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \)

\( f(x) = \abs{\abs{x - 3} - a} \) fonksiyonu veriliyor.

Fonksiyon \( x \) eksenini \( -2 \) apsis değerli noktada kestiğine göre, \( a \) kaçtır?

Çözümü Göster

Fonksiyon \( x \) eksenini \( -2 \) apsis değerli noktada kesiyorsa grafik \( (-2, 0) \) noktasından geçiyordur.

Bir fonksiyonun grafiği belirli bir noktadan geçiyorsa o noktanın koordinatları fonksiyon tanımını sağlar.

\( f(-2) = \abs{\abs{-2 - 3} - a} = 0 \)

\( \abs{5 - a} = 0 \)

\( a = 5 \) bulunur.

Soru sorun Soruda hata bildirin

SORU 3:

Aşağıdaki \( y = f(x) \) grafiğine göre,

\( \dfrac{f(4) + f(-3)}{f(3) + f(7)} \) değeri kaçtır?

Çözümü Göster

Soruda verilen ifadedeki fonksiyon değerlerini bulalım.

\( f(4) = 4 \)

\( f(-3) = -7 \)

\( f(3) = 0 \)

\( f(7) = 6 \)

Bu değerleri yerine koyalım.

\( \dfrac{f(4) + f(-3)}{f(3) + f(7)} = \dfrac{4 + (-7)}{0 + 6} \)

\( = -\dfrac{1}{2} \) bulunur.

Soru sorun Soruda hata bildirin

SORU 4:

Aşağıdaki \( y = f(x) \) fonksiyon grafiğine göre, verilen aralıkta \( f(x) \le 0 \) koşulunu sağlayan kaç \( x \) tam sayısı vardır?

Çözümü Göster

\( f \) fonksiyonu verilen aralıkta -5, -2, 4 ve 7 apsis değerli noktalarda sıfır olur, \( (-5, -2) \) ve \( (4, 7) \) aralıklarında negatif değer alır.

Buna göre \( f(x) \le 0 \) koşulunu sağlayan \( x \) tam sayı değerleri 8 tanedir.

\( x \in \{ -5, -4, -3, -2, 4, 5, 6, 7\} \)

Soru sorun Soruda hata bildirin

SORU 5:

Yukarıdaki grafiğe göre, \( a \in (1, 2) \) olmak üzere,

\( f(a) = b \)

\( g(b) = c \)

\( h(c) = d \)

olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi ya da hangileri doğrudur?

I. \( b \gt a \)

II. \( b \gt d \)

III. \( a \gt c \)

Çözümü Göster

\( a \in (1, 2) \) olduğu biliniyor.

\( f(a) = b \) olduğuna göre \( b \in (3, 4) \) olur.

\( g(b) = c \) olduğuna göre \( c \in (2, 3) \) olur.

\( h(c) = d \) olduğuna göre \( d \in (2, 3) \) olur.

Buna göre I. ve II. öncüller doğrudur.

Soru sorun Soruda hata bildirin

SORU 6:

Yukarıda \( y = f(x)\) polinom fonksiyonunun grafiği verilmiştir.

\( \abs{f(a) - 2} = 5 \) eşitliğini sağlayan kaç farklı \( a \) reel sayısı vardır?

Çözümü Göster

\( \abs{f(a) - 2} = 5 \) ise,

\( f(a) - 2 = 5 \) veya \( f(a) - 2 = -5 \)

\( f(a) = 7 \) veya \( f(a) = -3 \)

Bu eşitlikleri sağlayan \( a \) değerleri görüntüleri 7 veya -3 olan \( x \) değerleridir.

Görüntüsü 7 olan \( x \) değerlerini bulmak için fonksiyon grafiği ile \( y = 7 \) doğrusunun kesişim noktalarını bulmalıyız.

Benzer şekilde görüntüsü -3 olan \( x \) değerlerini bulmak için fonksiyon grafiği ile \( y = -3 \) doğrusunun kesişim noktalarını bulmalıyız.

\( f(x) \) fonksiyonu \( y = 7 \) doğrusu ile 3 noktada, \( y = -3 \) doğrusu ile 1 noktada kesişir.

Bu kesişim noktaları aşağıdaki şekilde gösterilmiştir.

Buna göre verilen eşitliği sağlayan 4 farklı \( a \) reel sayısı vardır.

Soru sorun Soruda hata bildirin

Türevle Grafik Çizimi

Etiketler : asimptotgrafik çizimimatematiktürev

Fonksiyonların grafiğini çizebilmek için aşağıdaki temel adımlar uygulanır. Burada anlatılanlar, her türlü fonksiyonun grafiğini el yordamıyla çizmek için genel şartları içerir. Daha üst fonksiyonların çiziminde çeşitli matematik yazılımları kullanılabilir. Bir fonksiyonun grafiğini çizmek o fonksiyonun fotoğrafını çekmek gibi olduğundan bize fonksiyon hakkında kısa ve net bir şekilde görsel bir bilgi verir.

1) Fonksiyonun tanım kümesi bulunur. Bulunan tanım kümesi çizim yapılırken dikkate alınır.

2) Fonksiyon periyodik bir fonksiyon ise periyodu bulunur. (Trigonometrik Fonksiyonlar gibi)

3) Varsa Yatay ve düşey asimptotları bulunur. (Eğer eğik-eğri asimptotu varsa ayrıca belirlenir)

4) x ve y eksenlerini kestiği noktalar bulunur. x=0 için y eksenini kesen nokta, y=0 için x eksenini kesen nokta bulunur. x ve y eksenini kesmeyen fonksiyonlar ayrıca belirlenir.

5) Fonksiyonun birinci türevi alınır. Ekstremum noktaları bulunur. Maksimum ve minimum olduğu yerler ile artan ve azalan olduğu durumlar belirlenir.

6) Fonksiyonun ikinci türevi alınarak büküm(dönüm) noktası varsa bulunur.

7) Fonksiyonun birinci ve ikinci türevine göre işaret tablosu yapılarak grafiğin artan azalan olduğu aralıklar ile çukurluk ve tümseklik (konveks ve konkav) aralıkları bulunur.

8) Bütün bu veriler ışığında fonksiyonun grafiği çizilir.

Bütün bu adımları incelemek test sınavlarda biraz zaman alabileceğinden özellikle asimptot değerleri, x ve y eksenini kesen noktaların bulunması ve birinci türevin işaret incelemesinin yapılması grafik çizimi için hemen hemen her zaman yeterli olabilmektedir. Ayrıca düşey asimptotu bulurken paydanın köklerinden tek katlı olanların kelebek şeklinde grafiğinin olması ve çift katlı köklerde de baca şeklinde grafik görünümünün olması bize soru çözümlerinde zaman kazandıracaktır.

Bir test sorusu üzerinde kuralı verilen bir fonksiyonun grafiğinin nasıl bulunabileceğini gösterelim. Bu tip soruların çözümünde düşey ve yatay asimptotlar bulunduktan sonra eksenleri kesen noktalara göre şıklardan eleme usulü ile doğru cevaba ulaşılabilir.

Konuyu kavramaya yardımcı olmak amacıyla bazı fonksiyonların grafikleri çizilerek aşağıda verilmiştir. Burada çizilen fonksiyonların grafiklerinde baca ve kelebek şekli olma durumları ile asimptotların yerlerini dikkatle inceleyiniz.

nest...

112836 112837 112838 112839 112840