Lys Matematik 2010

Lisans Yerleştirme Sınavı – 1 (Lys – 1) / 19 Haziran Matematik Soruları ve Çözümleri 1. (3x − 1)(x + 1) + (3x − 1)(x − 2) = 0 eşitliğini sağlayan x gerçel sayılarının toplamı kaçtır? A) 2 3 B) 3 4 C) 3 5 D) 5 6 E) 7 6 Çözüm 1 (3x − 1)(x + 1) + (3x − 1)(x − 2) = 0 (3x – 1).[(x + 1) + (x – 2)] = 0 (3x – 1)[x + 1 + x – 2] = 0 (3x – 1)(2x – 1) = 0 3x – 1 = 0 ⇒ x= 1 3 2x – 1 = 0 ⇒ x= 1 2 1 1 2+3 5 + = = 3 2 6 x gerçel sayılarının toplamı = veya (3x – 1)(2x – 1) = 0 ⇒ ⇒ 6x² – 5x + 1 = 0 kökler toplamı : x1 + x 2 = − (−5) 5 = 6 6 Not : Đkinci Derece Denkleminin Kökleri ile Katsayıları Arasındaki Bağıntılar ax² + bx + c = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 ise kökler toplamı : x1 + x 2 = − b a 2. f(x) = (1 + x + x ² + x ³).(1 − x)² olduğuna göre, f( 2 ) değeri kaçtır? 1 − x − x² + x³ A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 Çözüm 2 I. Yol [(1 + x) + ( x ² + x ³)].(1 − x)² (1 + x + x ² + x ³).(1 − x)² = (1 − x) − ( x ² − x ³) 1 − x − x² + x³ f(x) = = [(1 + x) + x ².(1 + x)](1 − x)² [(1 + x).(1 + x ²)].(1 − x)² [(1 + x).(1 + x ²)].(1 − x)² = = = 1 + x² (1 − x) − x ².(1 − x) (1 − x).(1 − x ²) (1 − x).(1 − x).(1 + x) f(x) = 1 + x² ⇒ x= 2 olduğuna göre, f( 2 ) = 1 + ( 2 )² = 1 + 2 = 3 elde edilir. II. Yol f(x) = = (1 + x + x ² + x ³).(1 − x)² 1 − x − x² + x³ (1 + x + x ² + x ³).(1 − x).(1 − x) (1 − x 4 ).(1 − x) (1 − x 4 ).(1 − x) (1 − x 4 ) = = = 1 − x − ( x ² − x ³) (1 − x) − x ².(1 − x) (1 − x).(1 − x ²) (1 − x ²) f(x) = 1− x4 1 − x² f( 2 ) = ⇒ x= 1 − ( 2)4 1 − ( 2 )² = 2 olduğuna göre, 1− 4 −3 = = 3 elde edilir. 1− 2 −1 Not : 1 – x4 = (1 – x²).(1 + x²) = (1 – x).(1 + x).(1 + x²) = (1 – x).(x³ + x² + x + 1) 3. (2x − 1)(4x² − 1) < 0 eşitsizliğinin gerçel sayılardaki çözüm kümesi aşağıdaki açık aralıkların hangisidir? −1  A)  − ∞,  2    −1  B)  ,0   2   −1 1  C)  ,   2 2 1 1 D)  ,  4 2 1  E)  , ∞  2  Çözüm 3 (2x − 1)(4x² − 1) < 0 (2x − 1)(2x − 1)(2x + 1) < 0 (2x − 1)².(2x + 1) < 0 2x – 1 = 0 ⇒ x= 1 2 2x + 1 = 0 ⇒ x= −1 2 −1  Çözüm kümesi =  − ∞,  olur. 2   Not : f(x) = A(x).B(x).C(x) biçimindeki ifadelerde; çarpanların her biri ayrı ayrı sıfıra eşitlenip kökler bulunur. A(x) , B(x) , C(x) in en büyük üslüleri alınıp çarpılır. Elde edilen ax n ifadesinde; a nın işaretinin aynı, en sağa (+ ∞ tarafa) yazılır. Sola doğru her köke rastladıkça işaret değiştirilerek tablo işaretlenir. (Çift katlı köke rastlandığında işaret değişmez.) 4. b ve 40 sayılarının en küçük ortak katı ’ dir. Buna göre, kaç farklı b pozitif tam sayısı vardır? A) 6 B) 8 C) 10 D) 12 E) 14 Çözüm 4 I. Yol Okek(b , 40) = = 2³ 40 = 2³.5 b sayısında 3 çarpanı olacağına göre, b=3 b = , b = 2².3 , b = 2³.3 b = , b = , b = 2² , b = 2³ Buna göre, 8 farklı b pozitif tam sayısı vardır. II. Yol Okek(b , 40) = = 2³ 40 = 2³.5 b sayısında 3 çarpanı olacağına göre, b = 3.? = ⇒ 40 = 40 ın pozitif bölenleri sayısı : (3 + 1).(1 + 1) = = 8 Not : Ortak katların en küçüğü (okek) Sayılar asal çarpanlarına ayrılır. Ortak asal çarpanların en büyük üslüleri (üsler eşitse biri) ile ortak olmayanlar alınır ve çarpılır. Not : Bir sayının pozitif bölen sayısını bulmak için o sayı asal çarpanlarına ayrılır ve üslerinin birer fazlası alınıp çarpılır. a , b , c birbirinden farklı asal sayılar olmak üzere A doğal sayısı A = a m .b n .c p biçiminde ise A nın (m + 1).(n + 1).(p + 1) tane pozitif böleni vardır. 5. f(x) = 2 − x + 3 fonksiyonunun tanım aralığı aşağıdakilerden hangisidir? A) 3 ≤ x ≤ 5 B) − 1 ≤ x ≤ 5 C) − 3 ≤ x ≤ 4 D) − 3 ≤ x ≤ 0 E) − 5 ≤ x ≤ − 1 Çözüm 5 2 – x + 3 ≥ 0 ⇒ x + 3 ≤ 2 n Not : n çift olmak üzere ⇒ –2≤x+3≤2 ⇒ –5≤x≤–1 a ifadesinin tanımlı olması için a ≥ 0 olmalıdır. 6. Gerçel sayılardan gerçel sayıların bir K alt kümesine tanımlı –x+8, x < 3 ise x+2, x ≥ 3 ise f(x) = fonksiyonu örten olduğuna göre, K kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) [3 , ∞) B) [5 , ∞) C) [3 , 5] D) (− ∞ , 5) E) (− ∞ , 3) Çözüm 6 f : R → K ⊂ R ve f(x) fonksiyonu örten olduğuna göre, x < 3 ise – x > – 3 ⇒ x ≥ 3 ise x + 2 ≥ 3 + 2 –x+8>–3+8 ⇒ ⇒ –x+8>5 x+2≥5 Buna göre, K kümesi = [5 , ∞) Not : Örten Fonksiyon f : A → B fonksiyonunda f(A) = B ise f, örten fonksiyondur. 7. Verilen a, c pozitif ve b negatif gerçel sayıları için a²b > abc + c² eşitsizliği sağlandığına göre, aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur? A) a = b B) a = c C) c > b D) a < c E) c < a Çözüm 7 a²b > abc + c² ⇒ a²b − abc > c² ⇒ ab(a − c) > c² ab(a − c) > c² a pozitif b negatif gerçel sayı olduğuna göre, ab < 0 olur. ab(a − c) > c² > 0 olacağından ve c gerçel sayısı da pozitif olduğundan, a−c<0 ⇒ a<c Fakat Verilen a, c pozitif ve b negatif gerçel sayıları için a = 1 , c = 2 ve b = – 1 olsun. a²b > abc + c² ⇒ 1².(– 1) > 1.(– 1).2 + 2² ⇒ – 1 > 2 sonucu elde edilir. Buna göre, soru hatalıdır. 8. Rasyonel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ∗ , ⊕ , ⊗ ikili işlemleri I. a ∗ b = a − b II. a ⊕ b = a + b + ab III. a ⊗ b = a+b 5 biçiminde tanımlanıyor. Buna göre, bu işlemlerden hangileri birleşme özeliğini sağlar? A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) I ve II E) II ve III Çözüm 8 I. a ∗ b = a − b ⇒ a ∗ (b ∗ c) = (a ∗ b) ∗ c a – (b – c) = a – b – c ⇒ a ∗ (b – c) = (a – b) ∗ c a – b + c = a – b – c olduğuna göre, ∗ işlemi birleşme özelliğini sağlamaz. II. a ⊕ b = a + b + ab a ⊕ (b ⊕ c) = (a ⊕ b) ⊕ c ⇒ a ⊕ (b + c + bc) = (a + b + ab) ⊕ c a + (b + c + bc) + a(b + c + bc) = (a + b + ab) + c + (a + b + ab)c a + b + c + ab + ac + bc + abc = a + b + c + ab + ac + bc + abc olduğuna göre, ⊕ işlemi birleşme özelliğini sağlar. III. a ⊗ b = a+b 5 a ⊗ (b ⊗ c) = (a ⊗ b) ⊗ c a+ b+c a+b +c 5 = 5 5 5 ⇒ ⇒ a⊗( b+c a+b )=( )⊗c 5 5 5a + b + c = a + b + 5c olduğuna göre, ⊗ işlemi birleşme özelliğini sağlamaz. 9. P(x) = 2x³ − (m + 1)x² − nx + 3m − 1 polinomu x² − x ile tam bölünebildiğine göre, m − n kaçtır? A) −1 3 B) −1 2 C) 3 2 D) 2 E) 3 Çözüm 9 I. Yol Bölünen = Bölen × Bölüm + Kalan ⇒ P(x) = (x² − x).B(x) + kalan kalan = 0 x² − x = x.(x − 1) olduğundan, P(x) polinomunun hem x hem de x – 1 ile de tam bölünebilmesi gerekir. O halde, x = 0 için, P(0) = 0 ve x – 1 = 0 için, x = 1 ⇒ P(1) = 0 olmalıdır. P(x) = 2x³ − (m + 1)x² − nx + 3m − 1 P(0) = − (m + 1).0 − n.0 + 3m − 1 = 0 P(x) = 2x³ − ( 1 1 + 1)x² − nx + 3. − 1 3 3 P(1) = ³ − 4 .1² − n.1 = 0 3 Buna göre, m − n = ⇒ 2− ⇒ ⇒ P(x) = 2x³ − 4 −n=0 3 1 2 −1 − = elde edilir. 3 3 3 ⇒ m= 3m – 1 = 0 ⇒ 4 x² − nx 3 n= 2 3 1 3 II. Yol Kalan = 0 olacağına göre, x² – x = 0 ⇒ x² = x P(x) polinomunda x² yerine x yazılırsa, bu polinomun (x² – x) ile bölümündeki kalan bulunur. P(x) = 2x³ − (m + 1)x² − nx + 3m − 1 Kalan = 2x − (m + 1)x − nx + 3m − 1 = 0 (2 – (m + 1) – n).x + 3m – 1 = 0 3m – 1 = 0 1–m–n=0 ⇒ m= ⇒ Buna göre, m − n = 1 3 1– 1 –n=0 3 ⇒ n= 2 3 1 2 −1 − = elde edilir. 3 3 3 Yukarıda grafiği verilen f fonksiyonunun tanım kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) [− 3 , 0) ∪ [4 , 7) B) (− 3 , 0) ∪ (3 , 7] D) (− 3 , 3) ∪ (3 , 7] E) [− 3 , 2) ∪ (4 , 7] C) [− 3 , 2] ∪ (3 , 7) Çözüm 10 Parçalı fonksiyonun tanım aralığı x ekseni üzerindeki değerlere göre incelendiğinden, x = − 3 için tanımlı değil x = 3 için tanımlı değil x = 7 için tanımlı Tanım kümesi = (− 3 , 3) ∪ (3 , 7] f : R → R fonksiyonu 2sinx , sinx ≥ 0 ise 0, sinx < 0 ise f(x) = biçiminde tanımlanıyor. Buna göre (− π , π) açık aralığının f altındaki görüntüsü aşağıdakilerden hangisidir? A) [− 2 , 2] B) (− 1 , 2) C) [0 , 1] D) (0 , 2) E) [0 , 2] Çözüm 11 (− π , π) = (− π , 0) ∪ [0 , π) → (− π , 0) [0 , π) → ⇒ sinx < 0 sinx ≥ 0 ⇒ f(x) = 0 f(x) = 2sinx 0≤x<π 0 ≤ sinx ≤ 1 ⇒ sin0 ≤ sinx ≤ sin π 2 ⇒ Buna göre, görüntü kümesi : [0 , 2] elde edilir. 2sin0 ≤ 2sinx ≤ 2sin π 2 ⇒ 0 ≤ f(x) ≤ 2 A = {1 , 2 , 3 , 4 , 5} kümesi üzerinde tanımlanan 1 2 3 4 5   f =  3 1 5 2 4 1 2 3 4 5   g =  5 3 4 1 2 permütasyonları için g( f A) 1 B) 2 C) 3 −1 (2) ) değeri kaçtır? D) 4 E) 5 Çözüm 12 1 2 3 4 5   f =  3 1 5 2 4 f −1 3 1 5 2 4  =  1 2 3 4 5  1 2 3 4 5   g =  5 3 4 1 2 −1 ⇒ f ⇒ g( f 1 2 3 4 5   =   2 4 1 5 3 −1 ⇒ (2) ) = g(4) = 1 elde edilir.  x −1 f   = x² – x + 2 olduğuna göre, f (3) değeri kaçtır?  x + 1 A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 11 Çözüm 13 x −1 =3 x +1 ⇒ x – 1 = 3x + 3 ⇒ 2x = – 4 ⇒ x=–2 x = – 2 ise  − 2 −1 f  = (– 2)² – (– 2) + 2  − 2 + 1 ⇒ f (3) = 8 elde edilir. f −1 ( 2) = 4 f ( x) = mx − 1 + 1 fonksiyonu veriliyor. x Buna göre, her x > 0 için f ( x) ≥ 0 özelliğini sağlayan en küçük m değeri kaçtır? A) 1 2 B) 1 3 C) 1 4 D) 1 5 E) 1 6 ⇒ mx ² − x + 1 ≥0 x Çözüm 14 I. Yol f ( x) ≥ 0 ⇒ mx − 1 + 1 ≥0 x her x > 0 için, mx ² − x + 1 ≥ 0 x > 0 için f ( x) ≥ 0 olduğuna göre fonksiyonun grafiği I. bölgede olur. mx ² − x + 1 ≥ 0 denkleminin birbirinden farklı iki gerçel kökü olamayacağından , ∆ ≤ 0 olmalıdır. (– 1)² – 4.m.1 ≤ 0 ⇒ 1 ≤ 4m ⇒ m≥ 1 4 II. Yol ⇒ f ( x) ≥ 0 mx − 1 + 1 ≥0 x mx ² − x + 1 ≥0 x ⇒ her x > 0 için, mx ² − x + 1 ≥ 0 ⇒ mx ² − x + 1 ≥ 0 m.( x ² − 2 x 1 + ) ≥0 m m (m≠0) 2 x 1  1   1  x² − + +   −  ≥0 m m  2m   2m  2 x² − 2 x  1  1  1  +  ≥0  + − m  2m  m  2m  2 1  1 1  −  ≥ x − 4m ² m 2m   2 1  1 − 4m  x −  ≥ 4m ² 2m   x− 1 − 4m 1 ≥ m 2m 2m x≥ 1 m 1 − 4m 2m mx ² − x + 1 ≥ 0 denkleminin birbirinden farklı iki gerçel kökü olamayacağından , 1 – 4m ≤ 0 ⇒ 1 ≤ 4m ⇒ m≥ 1 4 P(x) üçüncü dereceden bir polinom fonksiyonu olmak üzere, P(− 4) = P(− 3) = P(5) = 0 P(0) = 2 olduğuna göre, P(1) kaçtır? A) 7 3 B) 8 3 C) 7 4 D) 9 4 E) 8 5 Çözüm 15 P(− 4) = P(− 3) = P(5) = 0 olduğuna göre, x1 = − 4 , x2 = − 3 , x3 = 5 ise ⇒ P(x) = a.(x − (− 4)).(x − (− 3)).(x − 5) P(x) = a.(x + 4).(x + 3).(x − 5) P(0) = 2 verildiğine göre, P(0) = a.(0 + 4).(0 + 3).(0 – 5) ⇒ 2 = a.(− 60) ⇒ P(x) = −1 .(x + 4).(x + 3).(x − 5) elde edilir. 30 P(1) = −1 .(1 + 4).(1 + 3).(1 – 5) 30 ⇒ P(1) = a= −1 30 −1 8 .(− 80) = bulunur. 30 3 Not : Kökleri verilen denklemin yazılışı Kökleri x1 , x2 , x3 , . . . . . , xn olan n. dereceden bir denklem, a ≠ 0 olmak üzere a.(x – x1 ).(x – x2 ).(x – x3 ). . . (x – xn ) = 0 şeklinde yazılabilir. Yukarıdaki dik koordinat düzleminde f(x) parabolü ve d doğrusu gösterilmiştir. Buna göre, taralı bölge aşağıdaki eşitsizlik sistemlerinden hangisinin çözüm kümesidir? A) y − x² + 2x ≤ 0 y−x+2≥0 B) y − x² + 2x ≥ 0 2y − x + 2 ≥ 0 C) y − x² + 4x ≤ 0 2y − x + 2 ≤ 0 D) y + x² − 4x ≤ 0 2y − x + 4 ≤ 0 E) y + x² − 4x ≤ 0 2y − x + 2 ≥ 0 Çözüm 16 (2 , 0) ve (0 , − 1) noktasından geçen d doğrusunun denklemi, Đki noktası bilinen doğru denklemine göre, y−0 x−2 = −1− 0 0 − 2 ⇒ 2y – x + 2 = 0 Orijinden ve (4 , 0) noktasından geçen f(x) parabolünün denklemi, ⇒ y = a.(x – x1 ).(x – x2 ) y = a.(x – 0).(x – 4) ⇒ x1 = 0 , x2 = 4 y = a.x.(x – 4) (2 , 4) noktası parabol üzerinde olduğuna göre, 4 = a(x – 4) y = (– 1).x.(x – 4) ⇒ y = – x² + 4x ⇒ ⇒ a=–1 y + x² – 4x = 0 Buna göre, 2y – x + 2 ≥ 0 eşitsizliğinde (1 , 0) noktasının koordinatları yazılırsa 1 ≥ 0 önermesi elde edilir. Eşitsizliği sağlayan bölge (1 , 0) ın bulunduğu taralı bölgedir. d doğrusu bu düzleme dahildir. y + x² – 4x ≤ 0 eşitsizliğinde (1 , 0) noktasının koordinatları yazılırsa – 3 ≤ 0 önermesi elde edilir. Eşitsizliği sağlayan bölge (1 , 0) ın bulunduğu taralı bölgedir. f(x) parabolü bu düzleme dahildir. Not : Đki noktası bilinen doğru denklemi A( x1 , y1 ) ve B( x2 , y 2 ) ⇒ y − y1 x − x1 = y1 − y 2 x1 − x 2 Not : Doğrunun eksen parçaları türünden denklemi (a , 0) ve (0 , b) noktalarından geçen doğrunun denklemi = x y + =1 a b A = {1 , 2 , 3 , 4} ve B = {− 2 , − 1 , 0} olmak üzere A × B kartezyen çarpım kümesinden alınan herhangi bir (a , b) elemanı için a + b toplamının sıfır olma olasılığı kaçtır? A) 1 4 B) 1 5 C) 1 6 D) 1 7 E) 2 7 Çözüm 17 A = {1 , 2 , 3 , 4} B = {− 2 , − 1 , 0} A × B = {1 , 2 , 3 , 4} × {− 2 , − 1 , 0} Kartezyen çarpımının elemanları : (1 , − 2) , (1 , − 1) , (1 , 0) , (2 , − 2) , (2 , − 1) , (2 , 0) , (3 , − 2) , (3 , − 1) , (3 , 0) , (4 , − 2) , (4 , − 1) , (4 , 0) Kartezyen çarpımının eleman sayısı : 4 × 3 = 12 Tüm seçim sayısı = = 12 a+b=0 ⇒ 1 – 1 = 0 ve 2 – 2 = 0 (1 , − 1) , (2 , − 2) Đstenen seçim sayısı = 2 Đstenen olasılık = 2 1 = 12 6 Not : Đstenen olasılık = istenen sec im sayisi tüm sec im sayisi 3sinx − 4cosx = 0 olduğuna göre, cos2x değeri kaçtır? A) 3 4 B) 3 5 C) 4 5 7 25 D) E) 9 25 Çözüm 18 3sinx − 4cosx = 0 ⇒ 3sinx = 4cosx 2 ⇒ sin x 4 = cos x 3 ⇒ tanx = 4 3 9 18 −7 7 3 cos2x = 2cos²x – 1 = 2.   – 1 = 2. – 1 =  – 1 =  = 25 25 25 25 5 Not : cos2a = cos²a – sin²a cos2a = funduszeue.info²a – 1 cos2a = 1 – funduszeue.info²a A) (sin x − cos x)² + 2 sin x ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir? cos x 1 cos x B) 1 sin x C) 1 D) arcsin x Çözüm 19 (sin x − cos x)² + 2 sin x cos x = sin ² x − 2. sin x. cos x + cos ² x + 2 sin x cos x = 1 − sin 2 x + 2 sin x cos x = 1 − sin 2 x + 2. sin x. cos x cos x = 1 − sin 2 x + sin 2 x cos x = 1 cos x Not : sin²a + cos²a = 1 sin2a = funduszeue.info E) arccos x A) 4 tan 60° 1 ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir? − sin 20° cos 20° B) 2 C) 1 D) 3 2 E) 1 2 Çözüm 20 tan 60° 1 − sin 20° cos 20° sin 60° 1 = cos 60° − sin 20° cos 20° = sin 60° 1 − cos 60°. sin 20° cos 20° = sin 60°. cos 20° − cos 60°. sin 20° cos 60°. sin 20°. cos 20° = 2. sin 40 2 sin(60 − 20) 2 = = = =4 1 1 cos sin 40 cos 60 cos sin cos 20 2 2 Not : Đki Açının Toplamının / Farkının Trigonometrik Değerleri sin(A + B) = funduszeue.info + funduszeue.info sin(A – B) = funduszeue.info – funduszeue.info cos(A + B) = funduszeue.info – funduszeue.info cos(A – B) = funduszeue.info + funduszeue.info Not : sin2a = funduszeue.info 1 + cos 40° ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir? cos 55°. cos 35° A) cos20° B) 2cos20° C) 4cos20° D) cos40° E) 2cos40° Çözüm 21 1 + cos 40° cos 55°. cos 35° = = 1 + cos 1 .[cos(55 + 35) + cos(55 − 35)] 2 1 + 2. cos ²20 − 1 2. cos ²20 4. cos ²20 = = = 4. cos 20 1 1 cos 20 .[cos 90 + cos 20] .[0 + cos 20] 2 2 Not : Ters Dönüşüm Formülleri funduszeue.info = 1 .[cos(A + B) + cos(A – B)] 2 funduszeue.info = − 1 .[cos(A + B) – cos(A – B)] 2 funduszeue.info = 1 .[sin(A + B) + sin(A – B)] 2 funduszeue.info = 1 .[sin(A + B) – sin(A – B)] 2 Not : cos2x = 2cos²x – 1 Karmaşık sayılar düzleminde z − 1 = z + 2denklemi aşağıdakilerden hangisini belirtir? A) x = 1 doğrusu B) x = −1 doğrusu 2 C) x = 2 doğrusu D) (x − 1)² + y² = 1 çemberi E) x² + (y + 2)² = 1 çemberi Çözüm 22 z = x + i.y olsun. x + i.y – 1 = x + i.y + 2 (x – 1) + i.y = (x + 2) + i.y ( x − 1)² + y ² = ( x + 2)² + y ² (x – 1)² + y² = (x + 2)² + y² x² – 2x + 1 + y² = x² + 4x + 4 + y² ⇒ 6x = – 3 Not : Karmaşık sayının mutlak değeri (modülü) z = a + b.i ⇒ z = a ² + b² ⇒ x= −1 doğrusu 2 _ z ile z’nin eşleniği gösterildiğine göre, z = 2 + i karmaşık sayısı için z ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir? _ z− 1 1 3 + i 2 2 A) B) 2 3 − i 3 2 C) 1 + 3i D) 2 − 3i E) 3 + i Çözüm 23 z = 2+i z _ z− 1 = ⇒ _ z = 2−i 2+i 2+i = 2 − i −1 1− i 2 + i 1+ i (2 + i ).(1 + i ) 2 + 2i + i + i ² . = = 1− i 1+ i (1 − i ).(1 + i ) 1 − i² = ⇒ i ² = −1 olduğuna göre, 2 + 3i − 1 1 + 3i 1 3 = = + i 1 − (−1) 2 2 2 Not : Karmaşık Sayının Eşleniği z = a + bi karmaşık sayısı için z = a – bi sayısına z nin eşleniği denir. z = 1 + i 3 karmaşık sayısı aşağıdakilerden hangisine eşittir? π π  A) 2  cos + i sin  6 6  π π  B) 2  cos − i sin  6 6  π π  D) 4  cos + i sin  3 3  π π  E) 4  cos − i sin  3 3  π π  C) 2  cos + i sin  3 3  Çözüm 24 z=1+ i 3 ⇒ r = z = 1² + ( 3 )² = 2 z=1+ i 3 ⇒ tanθ = z=1+ i 3 ⇒ 1 > 0 ve 1. bölgede olduğundan, θ = π 3 = 1 π 3 1 2 = 3 2 ⇒ 3 = 2sin z=1+ i 3 ⇒ z = funduszeue.info sin 3 π 3 ⇒ 1 = 2cos ⇒ θ= π 3 ya da θ = π 3 + π bulunur. 3 > 0 ise 1. bölgededir. olur. π = cos 3 3 π 3 π 3 + i.2sin π 3 ⇒ π π  z = 2.  cos + i sin  3 3  Not : Bir karmaşık sayının kutupsal (trigonometrik) biçimde yazılması z = a + b.i karmaşık sayısının düzlemdeki görüntüsü M(a , b) ve OM = r = z = OMH dik üçgeninde, cosθ = a r sinθ = b r ⇒ ⇒ a = funduszeue.infoθ b = funduszeue.infoθ Bu değerler z = a + b.i ‘ de yerine yazılırsa z = funduszeue.infoθ + funduszeue.infoθ.i z = r.(cosθ + funduszeue.infoθ) elde edilir. 0 ≤ θ ≤ 2π koşuluna uyan θ açısına z nin esas argümenti denir. Argz = θ biçiminde yazılır. a ² + b² b ve c gerçel sayılar olmak üzere, P(x) = x² + bx + c polinomunun bir kökü 3 − 2i karmaşık sayısıdır. Buna göre, P(− 1) kaçtır? A) 5 B) 10 C) 20 D) 25 E) 30 Çözüm 25 P(x) = x² + bx + c polinomunun bir kökü x1 = 3 − 2i ise diğer kökü x2 = 3 + 2i dir. x1 + x2 = (3 – 2i) + (3 + 2i) = 6 x1 . x2 = (3 – 2i).(3 + 2i) = 9 – 4i² = 9 – 4(– 1) = 9 + 4 = 13 P(x) = x² + bx + c polinomunda kökler toplamı : x1 + x 2 = − kökler çarpımı : x1 .x 2 = b =–b=–6 1 c = c = 13 1 P(x) = x² + bx + c = x² – 6x + 13 ⇒ P(– 1) = (– 1)² – 6(– 1) + 13 = 20 Not : Đkinci Derece Denkleminin Kökleri ile Katsayıları Arasındaki Bağıntılar ax² + bx + c = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 ise kökler toplamı : x1 + x 2 = − kökler çarpımı : x1 .x 2 = c a b a log 3 5 = a olduğuna göre, log 5 15 ’in değeri kaçtır? A) a a +1 B) a +1 a C) a a+3 D) a+3 a E) 4a 3 Çözüm 26 log 5 15 = log 5 () = log 5 5 + log 5 3 log 5 5 = 1 log 3 5 = a log 5 3 = A) ⇒ log 3 5. log 5 3 = 1 ⇒ log 5 3 = 1 a 1 1 a +1 olduğuna göre, log 5 15 = 1 + = a a a 1 1 + ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir? log 2 6 log 3 6 1 3 B) 1 C) 2 D) log 6 2 E) log 6 3 Çözüm 27 1 1 + log 2 6 log 3 6 log 2 6. log 6 2 = 1 olduğuna göre, log 6 2 = 1 log 2 6 log 3 6. log 6 3 = 1 olduğuna göre, log 6 3 = 1 log 3 6 olduğuna göre, 1 1 = log 6 2 + log 6 3 = log 6 () = log 6 6 = 1 elde edilir. + log 2 6 log 3 6 0 ≤ log 2 ( x − 5) ≤ 2 eşitsizliklerini sağlayan kaç tane x tam sayısı vardır? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 Çözüm 28 I. Yol 0 ≤ log 2 ( x − 5) ≤ 2 2° ≤ x – 5 ≤ 2² ⇒ 1≤x–5≤4 ⇒ 6≤x≤9 ⇒ x = {6 , 7 , 8 , 9} II. Yol 0 ≤ log 2 ( x − 5) ≤ 2 log 2 1 ≤ log 2 ( x − 5) ≤ log 2 2² log 2 1 ≤ log 2 ( x − 5) ≤ log 2 4 ⇒ 1≤x–5≤4 6≤x≤9 ⇒ x = {6 , 7 , 8 , 9} 1’den farklı a, b, c pozitif gerçel sayıları için log a b = 1 2  b²  log a c = 3 olduğuna göre, log b   ifadesinin değeri kaçtır? c a  A) 3 2 B) 5 2 C) 5 3 D) − 6 E) − 5 Çözüm 29  b²   log b  c a  1 1 2 log a b = ⇒ ⇒ log a c = 3 ⇒ b = a2 b= a c = a³ c , b cinsinden yazılırsa, a = b² olacağına göre, c = (b²)³ ⇒ c = b6  b²   b²   1  log b   = log b  6  = log b  5  = log b (b −5 ) = − 5. log b b = − = − 5  b .b  b  c a  ∑3 n toplamının 5 ile bölümünden kalan kaçtır? n=0 A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 Çözüm 30 ∑3 n = 3 + 3 + 3 + 3 + + 3 0 1 2 3 n=0 = 1 + 3 + 3 + 3 + + 3 2 3 1 − − 1 = = 1− 3 2 ≡ ? (mod 5) 31 ≡ 3 (mod 5) 3 2 ≡ 4 (mod 5) 33 ≡ 2 (mod 5) 3 4 ≡ 1 (mod 5) − 1 2 ⇒ ⇒ 3 −1 =1 2 ≡ 3 +1 ≡ 3. (3 4 ) 25 ≡ ≡ 3 (mod 5) Not : n −1 ∑x = x 0 + x1 + x 2 + x 3 + + x n −1 k k =0 = 1 + x + x + x + + x 2 3 n −1 1− xn , x ≠ 1 , N+ için = 1− x { a n } ve { bn } dizileri aşağıdaki biçimde tanımlanıyor. 0, n ≡ 0 (mod 3) ise n, n ≡ 1 (mod 3) ise –n, n ≡ 2 (mod 3) ise an = n bn = ∑a k =0 k Buna göre, b4 kaçtır? A) − 2 B) − 1 C) 0 D) 2 E) 3 Çözüm 31 4 b4 = ∑a k =0 k = a 0 + a1 + a 2 + a3 + a 4 a0 = 0 , 0 ≡ 0 (mod 3) ise a1 = 1 , 1 ≡ 1 (mod 3) ise 2 ≡ 2 (mod 3) ise a2 = – 2 , a3 = 0 , 3 ≡ 0 (mod 3) ise a4 = 4 , 4 ≡ 1 (mod 3) ise 4 b4 = ∑a k =0 k = a 0 + a1 + a 2 + a3 + a 4 = 0 + 1 + (– 2) + 0 + 4 = 5 – 2 = 3 Yukarıda verilen d1 ve d 2 doğrularının oluşturduğu açının ölçüsü 30° dir. Đlk olarak, d1 doğrusu üzerinde alınan A1 noktasından d 2 doğrusuna A1B1 dikmesi iniliyor. Sonra B1 noktasından d1 doğrusuna B1A2 dikmesi ve A2 dikme ayağından da d 2 doğrusuna A2B2 dikmesi inilerek bu işleme devam ediliyor. A1B1 = 12 cm olduğuna göre, d 2 doğrusuna bu şekilde inilen tüm dikmelerin uzunluklarının toplamı olan A1B1 + A2B2 + A3B3 + . . . kaç cm’dir? A) 32 Çözüm 32 B) 36 C) 38 D) 40 E) 48 A1B1 = 12 A1B1O dik üçgeninde, m(OA1B1) = – (90 + 30) = 60 B1A2A1 dik üçgeninde, A1B1 = 12 ise A2B1 = 6 3 B1B2A2 dik üçgeninde, A2B1 = 6 3 ise A2B2 = 9 B2A3A2 dik üçgeninde, A2B2 = 9 ise A3B2 = B2B3A3 dik üçgeninde, A3B2 = 9 3 27 ise A3B3 = 2 4 A1B1 + A2B2 + A3B3 + . . . = 12 + 9 + 12 + 9 + 9 3 2 27 + 4 27 3 3 + . . . = (1 + + ( )² + . . . . . ) 4 4 4 a1 = 12 a2 = a1.r a3 = ⇒ 9 = r ⇒ r= 3 (r : geometrik dizinin ortak çarpanı) 4 27 4 12 + 9 + ∞ 27 3 3 3 + . . . = (1 + + ( )² + . . . . . ) = ∑   4 4 4 k =1  4  k −1 = 1 1− 3 4 = 1 = = 48 1 4 Not : Dik üçgen özellikleri Bir dar açının ölçüsü 30° olan dik üçgende, 30° karşısındaki kenarın uzunluğu hipotenüsün yarısına , 60° karşısındaki kenar uzunluğu hipotenüsün 3 katına eşittir. 2 Not : Geometrik Dizi Ardışık iki terimin oranı aynı olan dizilere geometrik dizi denir. r ∈ R olmak üzere her n ∈ N+ için a n+1 = r ise (an) bir geometrik dizidir. an “r” ye dizinin ortak çarpanı denir. Not : Geometrik Seri a n = a.r n −1 geometrik dizisinde r < 1 ise, ∞ ∑ a.r k −1 = a.(1 + r + r² + r³ + . . . + rk-1 + . . . ) = a. k =1 2 −3 2 1 2 0 2 A) − 1 3 1 a = dir. 1− r 1− r determinantının değeri kaçtır? 0 B) − 2 C) − 3 D) − 4 E) − 6 Çözüm 33 I. Yol 3. sütunun 2 elemanı 0 (sıfır) olduğundan açılımı 3. sütuna göre yapalım. 2 −3 2 1 2 0 2 3 0 = (– 1)1+ = (– 1)1+ 1 2 2 3 = (– 1)1+ 1 2 1 2 2 3 + (– 1)2+ 2 −3 2 −3 + (– 1)3+ 2 3 1 2 +0+0 2 3 = 2.[ – ] = 2.(3 – 4) = 2.(– 1) = – 2 II. Yol Sarrus kuralına göre, 2 −3 2 1 2 0 2 3 0 2 −3 2 1 2 0 − − − = + + 2.( – 3).0 – 1.( – 3).0 – – = 6 – 8 = – 2 + + +  2 4 A =  matrisinin devriği At ve ters matrisi A-1 olduğuna göre,  1 3  At.A-1 çarpımı aşağıdakilerden hangisidir? 5  A)  2 9  2  − 3  − 5  3 B)  2 1   − 2 C)  3   − 2 3  − 9 2  5   2   9  D)  2 −5   2  3  − 1  Çözüm 34  2 4 A=  matrisinin devriği, At =  1 3   2 1 4 3    2 4 -1 A=   matrisinin ters matrisi için A.A = I olması gerekir. 1 3   a b  A-1 =   olsun. c d  2 4 a b  1 0 1 3  .  c d  = 0 1        ⇒ 2a + 4c 2b + 4d  1 0 =  a + 3c b + 3d  0 1  2a + 4c = 1 a + 3c = 0 ⇒ a= 3 2 , c= −1 2 2b + 4d = 0 b + 3d = 1 ⇒ b=−2 , d=1 3   a b   2 − 2 A =    =  c d   − 1 1  2  -1 3   2. 3 + 1. − 1  2.(−2) +   5 − 2     2  2 1  2  2    = 2 At.A-1 =  . =    −1 9 3 − 1   4 3     1  4. + 3.  4.(−2) +     2 2   2  2   − 3  − 5  − 3 − 1  E)  5  2 − 2 Not : Bir Matrisin Devriği (Transpozu) A = [aij]mxn matrisinin aynı indisli satırıyla sütunlarının yer değiştirmesiyle oluşturulan [aji]nxm matrisine A matrisinin devriği denir ve AT ile ya da Ad ile gösterilir. a b  A=   c d  ⇒ a c  At =   b d  Not : Bir Matrisin Tersi a b  A=   c d  ⇒ A-1 = d −b 1 1 .Ek(A) = . A a.d − b.c − c a Not : Ek (Adjoint) Matris Karesel A matrisinin aij terimlerinin yerine Aij eş çarpanlarının yerine yazılmasıyla oluşan [Aij] matrisinin devriğine A matrisinin ek matrisi denir ve Ek(A) ile gösterilir. a b  A=   olsun. c d  A11 = (− 1)1+1.d = d A12 = (− 1)1+2.c = − c A21 = (− 1)2+1.b = − b A22 = (− 1)2+2.a = a a b  A=   c d  ⇒ Ek(A) = d −c −b a T = d −b −c a 2x + 2y − z = 1 x+y+z=2 y−z=1 Yukarıdaki denklem sisteminin çözümünde x kaçtır? A) − 3 B) − 2 C) − 1 D) 0 E) 3 Çözüm 35 I. Yol 2x + 2y − z = 1 x+y+z=2 2x + 2y − z = 1 − 2x − 2y − 2z = − 4 − 3z = − 3 ⇒ z=1 z = 1 olduğuna göre, y – z = 1 ⇒ y = 2 olduğuna göre, x + y + z = 2 y–1=1 ⇒ ⇒ y=2 x+2+1=2 ⇒ x=–1 II. Yol 2x + 2y − z = 1 x+y+z=2 y−z=1 Cramer kuralına göre, ∆ = 2 2 −1 1 1 1 0 1 −1 − 2 2 −1 − 1 1 1 − Sarrus kuralına göre, 0 1 − 1 = + (– 1) + (– 1) – (– 1) – – (– 1) + 2 2 −1 + 1 1 1 + =0–1–2+2–2–0=–3 ⇒ ∆=–3 ∆ ≠ 0 ise tek çözümü vardır ve bu çözüm, x = ∆1 = − 1 2 −1 − 2 1 1 1 2 −1 − 2 1 1 = 1 1 −1 = + (– 1) + (– 1) – (– 1) – – (– 1) + 1 1 −1 1 2 −1 + 2 1 1 + =2–2–1+4–1+1=3 x= ∆ ∆1 ∆ ,y= 2 ,z= 3 ∆ ∆ ∆ ⇒ ∆1 = 3 ∆1 3 olduğuna göre, x = =–1 ∆ −3 Türevlenebilir bir f : R → R fonksiyonu için f / ( x) = 2x² – 1 f ( 2) = 4 olduğuna göre, lim x →2 A) 3 B) 4 f ( x) − 4 limitinin değeri kaçtır? x−2 C) 5 D) 6 E) 7 Çözüm 36 lim x →2 f ( x) − 4 f ( 2) − 4 4−4 0 = = = belirsizliği vardır. x−2 2−2 2−2 0 L’hospital kuralı uygulanırsa, lim x →2 f / ( x) f ( x) − 4 = lim = f / ( 2) x →2 x−2 1 f / ( x) = 2x² – 1 olduğuna göre, f / (2) = ² – 1 = 7 Not : L’ Hospital Kuralı lim x→ x0 f ' ( x) f ( x) 0 ∞ f ( x) limitinde veya belirsizliği varsa , lim olur. = lim x → x0 g ( x ) x → x0 g ' ( x ) g ( x) 0 ∞ lim x →1 A) 1− x limitinin değeri kaçtır? ln x −1 2 B) 0 C) 1 2 D) 1 E) 2 Çözüm 37 lim x →1 1− x 0 = belirsizliği vardır. ln x 0 L’hospital kuralı uygulanırsa, lim x →1 1− x = lim x →1 ln x − 1 −1 −1 2 x = 2 1 = 1 1 2 x 1 Not : L’ Hospital Kuralı lim x→ x0 f ' ( x) 0 ∞ f ( x) f ( x) olur. limitinde veya belirsizliği varsa , lim = lim x → x0 g ( x ) x → x0 g ' ( x ) g ( x) 0 ∞ Yukarıdaki şekilde f : R \ {− 1} → R \ {2} fonksiyonunun grafiği gösterilmiştir. Buna göre, lim f ( x) + lim f ( x) limitlerinin toplamı kaçtır? x → −∞ A) − 2 x →0 B) − 1 C) 0 D) 1 E) 3 Çözüm 38 lim f ( x) + lim f ( x) = 2 + 1 = 3 x → −∞ x →0 f (x) = ln(sin 2 x + e 2 x ) olduğuna göre, f / (0) kaçtır? A) e B) 1 C) 1 2 D) 2 2 E) 2 Çözüm 39 f (x) = ln(sin 2 x + e 2 x ) (sin ² x + e 2 x ) / 2. sin x. cos x + 2.e 2 x = f ( x) = sin ² x + e 2 x sin ² x + e 2 x / f / (0) = 2. sin 0. cos 0 + 2.e 0+2 = =2 0 +1 sin ²0 + e f (x) = 2x³ − ax² + 3 fonksiyonunun gösterdiği eğrinin bir noktasındaki teğet doğrusunun denkleminin y = 4 olması için a kaç olmalıdır? A) − 3 B) − 1 C) 0 D) 1 E) 3 Çözüm 40 y = 4 doğrusunun eğimi = 0 Teğet değme noktasında eğim (türev) sıfır olacağına göre, f / ( x) = 6x² – 2ax = 0 ⇒ x= a 3 a f   = 4 olmalıdır.  3 3 2 a a 2.  − a.  + 3 = 4 3 3 ⇒ 2a ³ a ³ − =1 27 9 ⇒ − a³ =1 27 ⇒ a=−3 −1 1  f (x) = x 4 − 5 x 2 + 4 fonksiyonunun  ,  aralığındaki maksimum değeri kaçtır?  2 2 A) 8 B) 6 C) 4 D) 2 E) 0 Çözüm 41 f (x) = x 4 − 5 x 2 + 4 fonksiyonunun türevinin kökleri incelenirse, ⇒ f / ( x) = 0 ⇒ 4 x 3 − 10 x = 0 x.( 4 x ² − 10) = 0 x=0 ⇒ 4x² − 10 = 0 x² = 10 4 ⇒ x=± 10 2 f (0) = 4 4 2  10   10  10 25 25 25 −9  − 5.  +4 = = = = – 2,25 f( − + 4 − ) =  4   2  2 4 2 4 4 2     4 2  − 10   − 10  − 10 25 25 25 −9  − 5.  +4 = = = – 2,25 f( ) =  − +4 = 4−    2 4 2 4 4  2   2  4 2 1 1 5 19 45 1 1 = = 2,81 f ( ) =   − 5.  + 4 = − +4 = 4− 2 16 4 16 16 2 2 { − 9 45 , , 4} 4 16 Buna göre, fonksiyonun maksimum değeri 4 dür. Not : Bir fonksiyonun bir aralıktaki en büyük ve en küçük değeri f : [a , b] → R fonksiyonunun (a , b) aralığındaki türevinin kökleri x1 , x2 , . . . , x n ; türevsiz olduğu noktalar c1 , c 2 , . . . , cn ise { f (a ), f ( x1 ), f ( x 2 ),, f ( x n ), f (c1 ), f (c 2 ),, f (cn ) } kümesinin en büyük elemanı f nin [a , b] aralığındaki en büyük değeri, en küçük elemanı f nin [a , b] aralığındaki en küçük değeridir. f // ( x) = 6x – 2 f / ( 0) = 4 f (0) = 1 koşullarını gerçekleyen f fonksiyonu için f (1) değeri kaçtır? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 Çözüm 42 f // ( x) = 6x – 2 f / (0) = 4 ⇒ ⇒ ∫ f // ( x) = ∫ (6x – 2) ⇒ f / (0) = – + c = 4 ⇒ f / ( x) = 3x² – 2x + c c=4 f / ( x) = 3x² – 2x + 4 ∫ f / ( x) = ∫ (3x² – 2x + 4) f (0) = 1 ⇒ ⇒ f (x) = x³ – x² + 4x + C f (0) = 0 – 0 + + C = 1 ⇒ C=1 f (x) = x³ – x² + 4x + 1 olduğuna göre, f (1) = 1 – 1 + + 1 ⇒ f (1) = 5 y² = 4x parabolüne üzerinde bulunan A(x , y) noktasından çizilen teğetin eğimi 1’dir. Buna göre, A noktasının koordinatlarının toplamı olan x + y kaçtır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 Çözüm 43 y² = 4x her iki tarafın türevi alınırsa, 2y. y / = 4 Çizilen teğetin eğimi 1 olduğuna göre, y / = 1 ise y.1 = 2 ⇒ y = 2 bulunur. y² = 4x olduğundan, 2² = 4x A(x , y) = A(1 , 2) ⇒ ⇒ x=1 x+y=1+2=3 ⇒ y. y / = 2 Koridor, mutfak ve çalışma odasından oluşan bir iş yerinin yukarıda verilen modeli ABCD dikdörtgenidir ve bu dikdörtgenin çevresinin uzunluğu 72 metredir. Bu iş yerindeki mutfağın en geniş alanlı olması için x kaç metre olmalıdır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 Çözüm 44 Çevre(ABCD) = 72 ⇒ 2.(5x + (x + y)) = 72 ⇒ 6x + y = 36 y = 36 – 6x Alan(mutfak) = S = 2x.y Tek değişkene bağlı fonksiyon şeklinde yazılırsa, S = 2x.(36 – 6x) Mutfağın en geniş alanlı olması için, S / = 0 y = 36 – 6x olduğuna göre, y = 36 – Alan(mutfak) = S = 2x.y = = ⇒ ⇒ 72 – 24x = 0 y = 18 ⇒ S = 72x – 12x² ⇒ x=3 y = x² + bx + c parabolüne x = 2 noktasında teğet olan doğru y = x ise b + c toplamı kaçtır? A) − 2 B) − 1 C) 0 D) 1 E) 2 Çözüm 45 I. Yol Parabol ile doğru teğet olduğuna göre, eğimleri eşit olur. ⇒ y = x² + bx + c y / = 2x + b 2x + b = 1 ise y=x ⇒ / y =1 ⇒ x = 2 için, + b = 1 b=–3 Parabol ile doğrunun kesişim noktası x = 2 için, ⇒ y = x² – 3x + c = x ⇒ 2² – + c = 0 x² – 4x + c = 0 Buna göre, y = x² + bx + c = x² – 3x + 4 ⇒ ⇒ b + c = – 3 + 4 = 1 elde edilir. II. Yol x = 2 ise, y = x ⇒ y = 2 olduğuna göre, teğet değme noktası = (2 , 2) y = x doğrusunun eğimi : 1 y = x² + bx + c parabolünün eğimi de 1 olacağına göre, f / ( 2) = 1 f ( 2) = 2 ⇒ ⇒ 4+b=1 ⇒ b=–3 2 = 2² – + c ⇒ b+c=–3+4=1 c=4 c=4 π 3 sin x ∫ cos ² x dx integralinin değeri kaçtır? 0 A) 2 B) 1 C) 0 D) − 1 E) − 2 Çözüm 46 π 3 sin x ∫ cos ² x dx değişken değiştirerek integrali alınırsa, 0 cos x = u olsun. ⇒ − sin xdx = du x = π 3 ⇒ dx = u = cos x =0 ⇒ u = cos 0 π 1 2 3 sin x ∫0 cos ² x dx = π 3 − du sin x ⇒ ⇒ u= 1 2 u =1 1 2 1 2  u − 2+1  sin x − du du −2 ∫1 u ² . sin x = − ∫1 u ² = − ∫1 u du = −  − 2 + 1  1 2 1 1 = u 1 2 = 1 1 1 − =2–1=1 1 1 2 4 ∫ 0 6x 2x + 1 A) 12 dx integralinin değeri kaçtır? B) 15 C) 18 D) 20 E) 24 Çözüm 47 4 ∫ 0 6x 2x + 1 dx değişken değiştirerek integrali alınırsa, 2 x + 1 = u olsun. 2x + 1 = u² ⇒ x= 2dx = 2udu ⇒ x =4 ⇒ u=3 x =0 ⇒ u =1 4 ∫ 0 6x 2x + 1 3 dx =  3u 2+1  =  − 3u   3  ∫ 1 u² − 1 2 dx = udu 6 u² − 1 3 2 udu = 3(u ² − 1)du ∫1 u² 3 = (u ³ − 3u ) 1 3 1 = (3³ – ) – (1³ – ) = 27 – 9 + 2 = 20 y = x³ eğrisi ve y = x doğrusu ile sınırlı (sonlu) bölgenin alanı kaç birim karedir? A) 1 2 B) 3 2 C) 1 D) 1 3 E) 2 3 Çözüm 48 y = x³ eğrisi ile y = x doğrusunun kesişim noktaları, x³ = x x=0 ⇒ x³ − x = 0 ⇒ x² − 1 = 0 x.(x² − 1) = 0 (x , y) = (0 , 0) ⇒ x² = 1 Taralı bölgenin alanı =  x4 x2 =  − 2  4 ⇒    0 −1 ⇒ 0 1 −1 0 ⇒ ∫ ( x³ − x)dx + ∫ ( x − x³)dx  x2 x4 +  − 4  2   (−1) 4 (−1) 2 = 0 −  − 4 2   x=±1 , y=±1    1 0   12 14  +  −   2 4    − 0   1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 = −  −  +  −  = − + + − = 1− = = 4 2 2 4 4 4 2 4 2 2 4 veya (x , y) = (1 , 1) = (− 1 , − 1)  x2 x4  Taralı bölgenin alanı = 2. ∫ ( x − x ³)dx = 2.  −  4   2 0 1 1 0  x4  =  x 2 −  2   1 0 1  1 = 1 −  − 0 = 2  2 x. f / ( x) − f ( x) dx integralinin değeri kaçtır? ∫1 x² 3 Yukarıda grafiği verilen f fonksiyonu için A) 7 2 B) 3 2 C) 2 3 D) 1 3 E) 5 4 Çözüm 49 / x. f / ( x) − f ( x)  f ( x)   f ( x)  dx = ∫   dx =   ∫1 x  x²  x  1 3 3 3 = 1 f (3) f (1) 4 1 4 1 = − = −1 = − 3 1 3 1 3 3 3−x, x < 2 ise f(x) = 2x − 3 , x ≥ 2 ise 3 için ∫ f ( x + 1)dx integralinin değeri kaçtır? 1 A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 10 Çözüm 50 3−x, x < 2 ise f(x) = 2x − 3 , x ≥ 2 ise 3 − (x + 1) , x + 1 < 2 ise f(x + 1) = 2.(x + 1) − 3 , 4−x, x + 1 ≥ 2 ise x < 1 ise f(x + 1) = 2x − 1 , 3 ∫ 1 x ≥ 1 ise  2 x²  − x f ( x + 1)dx = ∫ (2 x − 1)dx =  2   1 3 3 = (x² − x ) 3 1 = (3² – 3) – (1² – 1) = 6 – 0 = 6 1 Adnan ÇAPRAZ [email&#;protected] AMASYA