Pisagor Bağıntısı Ispatı

Bugün ulaştığımız uygarlık seviyesinde Pisagor’un rolünü inkar edemeyiz. Ancak elbette onun en önemli mirası, adıyla anılan o meşhur Pisagor Teoremidir. Bu teorem bir dik üçgende kenarların karelerinin toplamının hipotenüsün karesine eşit olduğunu söyler ve cebirsel olarak a ve b kenarlar olmak üzere, a² + b² = c² biçiminde gösterilir. Teorem Pisagor’un adını taşısa da aslında bu teoremi kendisi bulmamıştır. MÖ yıllarından kalma dört Babil tabletinde de bu teoreme rastlanmaktadır.

Pisagor‘un hayatının belli bir döneminde düşüncelerini geliştirmek için yolculuklar yaptığını biliyoruz. Kendisinin bu teorem ile bu esnada tanışmış olması muhtemeldir.

Öyle görülüyor ki sadece bir içgüdü ile doğru­luğu önceden kabul edilen bu kural, yüzyıllar boyun­ca uygarlıktan uygarlığa dolaşmış ve sonunda Pisagor’un karşısına çık­mıştır. Pisagor teoremi bir çok antik uygarlık tarafından Pisagor’dan önce bilinir olsa da bunun ilk pratik uygulaması Mısır’da karşımıza çıkar.

Mısır Üçgeni

MÖ ’li yıllarda geometrinin doğduğu topraklarda yaşayan Mısırlılar üçgenler ve piramitler hakkında bazı geometrik fikirlere sahiptiler. Ancak bunları yazılı olmaktan ziyade pratik biçimde uygulamaya koydular. Örneğin İp germe, piramitler gibi yapıların inşasında dik üçgen elde etmek için kullanılan bir yöntemdi. Zaten Hipotenüs kelimesi de Yunanca ‘karşılıklı gerilen’ kelimesinden gelmektedir.

Mısırlılar bunun için uzunluğu 12 birim olan düğümlü bir ip kullanırlardı. Bu tür iplerle kenarları birim olan dik üçgenler yaptılar. Sonra da bu ipler yardımıyla arazileri ölçtüler. İp germe mirasından dolayı,  oranındaki dik üçgen Mısır üçgeni olarak da bilinir.

Pisagor Teoremi İspatları

Pisagor teoremine evrensel çekiciliğini veren şey kuşkusuz ki yüzyıllar boyunca önerilen çok sayıda ispatıdır. Bu teoremini ispat etmek için trigonometri veya analitik geometri kullanılamaz. Zira, onların da oluşum­ları zaten Pisagor eşitliğine bağlıdır.

Amerikalı matematikçi Elisha Scott Loomis, bir çok matematik kitabı yazmıştır. Ancak bunlar içinde en dikkat çekeni iki bölüm halinde yayınlanan The Pythagorean Proposition ( Pisagorcu Önermeler) isimli kitabı olmuştur.

Kitapta cebirsel ispat ve geometrik ispat olmak üzere toplam ispat bulunmaktadır. (Ayrıca 4 kuaterniyonik ve 2 dinamik ispat vardır, toplamda yapar). İspatların bazıları üçgenlerin benzerliği, bazıları parçalara ayrılıp incelenmesi, bazıları cebirsel formülleri çok azı da vektörlerin kullanımına dayanır. Bu ispatlardan üçünü aşağıda görebilirsiniz.

Dokümanlara dayanılarak bilinen ilk tam geo­metrik çözümün, Euclid tarafından verildiğini kabul etmek durumundayız. Bütün klâsik geometri kitaplarında bugün, tari­hi değeri bakımından, sadece Euclid’in verdiği çö­züm öğretilmektedir. Pisagor’un bu teorem için yaptığı bir ispat olup olmadığı bilinmemekte ancak olmadığı düşünülmektedir.

Öklid’in Kitabında Yer Alan Pisagor Teoreminin İspatı

ABC, BAC açısı dik açı olan bir dik açılı üçgen olsun. BC kenarı üzerine BDEC karesini, BA ve AC kenarları üzerine de GB ve HC karelerini çiz. AL doğru parçasını BD veya CE ye paralel olacak şekilde çiz. AD ile FC yi çiz.

BAC ve BAG dik açılardır. BA doğru parçası A noktasında AC ve AG kenarları ile yapmış oldukları komşu açıların toplamları iki dik açıya eşit olduğundan CA ve AG doğru parçaları aynı doğrultudadır. Aynı sebepten BA ile AH da aynı doğrultudadır. DBC ve FBA açıları birbirine eşit olan dik açılardır. Her birine ABC açısını ekleyelim. Bu durumda DBA açısı da FBC açısına eşit olur.

DB kenarı BC kenarına, FB kenarı BA kenarına eşittir. AB ve BD kenarları, sırasıyla FB ve BC kenarlarına eşit ve ABD açısı FBC açısına eşit olduğundan AD kenarı da FC kenarına eşittir ve ABD ile FBC üçgenleri ile eştir.

Aynı BD ve AL paralel kenarlar altında aynı BD tabanına sahip olduklarından dolayı BL paralelkenarının alanı ABD üçgeninin alanının iki katıdır,  Yine aynı FB ve GC paralel kenarlar altında aynı FB tabanına sahip olduklarından dolayı GB karesinin alanı FBC üçgeninin alanının iki katıdır.

Bu durumda BL paralelkenarının alanı GB karesinin alanına eşittir. Benzer olarak AE ve BK kenarları çizilirse, CL paralelkenarının alanı  HC karesinin alanına eşittir. BDEC karesinin alanı  GB ve HC karelerinin alanları toplamına eşittir.

BDEC karesi BC kenarı üzerine, GB ve HC kareleri BA ve AC üzerlerine kuruludur. Buradan BC kenarının karesi BA ve AC kenarlarının kareleri toplamına eşittir. Bu yüzden bir dik üçgende dik açının karşısındaki kenarın karesi dik açıya komşu olan kenarların karelerinin toplamına eşittir. Q.E.D

James Garfield’in İspatı En Kolay İspattır

Bir başka ilginç ispat ise Ann Condit adlı Amerikalı bir genç kızın yaptığıdır. Henüz 16 yaşında bir lise öğrencisi iken yılında yaptığı ispatta kullandığı geometrik çi­zimi, hiçbir ünlü matematikçi tarafından daha önce düşünülmemiştir.

Amerika Birleşik Devletleri’nin Başkanı James Garfield bile Pisagor teoreminin ispatlarından birini gerçekleştirmiştir. Tüm ispatlar arasında Garfield’in yaklaşımı en basit ve anlaşılması en kolay olanlardan biridir.

Pisagor Teoremi Günümüzde Ne İşe Yarar?

Pisagor teoremi sadece ilgi çekici bir matematiksel alıştırma değildir. İnşaat ve imalattan navigasyona kadar çok çeşitli alanlarda kullanılmaktadır. Ayrıca dağlar gibi standart yollardan ölçülmesi mümkün olmayan yükseklikleri ölçmek için de haritacılar Pisagor teoreminden yararlanır.

Tek tek listelemeye gerek yok. Açılarınız olduğunda ve ölçümlere ihtiyacınız duyduğunuzda hangi konu ile ilgilenirseniz ilgilenin bu teoreme ihtiyacınız vardır. Bir daha ki sefere karşınıza bir Pisagor teoremi çıktığında uğruna verilen bunca çabayı hatırlamanız dileğimizle. Ayrıca göz atmak isterseniz: Ezber Yapmadan Pisagor Üçlüleri Nasıl Bulunur?

Kaynaklar ve ileri okumalar için:

Matematiksel

Pisagor teoremi geometride en fazla kullanılan teoremlerden biridir. Bu teorem her ne kadar antik Yunan filozoflarından Pisagor ile özdeşleştirilse de hala bu teoremin ilk olarak kim tarafından ispatlandığı tartışma konusudur. Pisagor'dan çok önceki tarihlerde Babil, Hint, Çin, Mısır ve Mezopotamya'da bulunan kayıtlarda bu teoremin kullanıldığı ve bazı özel durumlar için ispatlandığı görülmüştür. Teorem geçmişten günümüze farklı yöntemler ile sayısız kere ispat edilmiştir. Bu makalemde Pisagor teoreminin en basit iki ispat yönteminden bahsetmek istiyorum.

Şu konuya da değinmeden geçemeyeceğim; çoğu kişi bu teoremi "bir dik üçgende hipotenüsün karesi, diğer kenarların karelerinin toplamına eşittir" olarak bilse de, teoremin bir başka tanımı da "birbirinden farklı üç kare, bir dik üçgen oluşturacak şekilde bir araya gelebiliyorsa, büyük karenin alanı, diğer karelerin alanlarının toplamına eşittir" şeklindedir. Konu sonundaki videoda bu tanımın deneyini izleyebilirsiniz.

1 - Pisagor'un İspatı

Pisagor'un ispat yöntemine "yeniden düzenleme" adı verilmiş ve farklı teorem ispatlarında kullanılmıştır. Pisagor birbirinin aynısı 4 dik üçgen oluşturmuş ve bu üçgenleri birleştirerek aşağıdaki resimde görülen şekli elde etmiştir. Resimdeki a + b kenarlı büyük karenin alanı, 4 üçgen alanı ve c kenarlı küçük karenin alanlarının toplamına eşittir. Yani büyük karenin alanı, 4 üçgen alanı + c² 'dir.

Üçgenleri aşağıdaki resimdeki gibi ok yönlerinde hareket ettirdiğimizde aynı alana sahip, farklı bir şekil elde ederiz. Oluşan yeni şekil, 2 küçük kare ve 4 üçgenden oluşmaktadır.

Yeni düzenleme ile a + b kenarlı karenin alanı, 4 üçgen alanı ile 2 küçük karenin alanlarının toplamına eşittir.

Böylece büyük karenin alanını iki farklı formül ile ifade edebildik. Bu formüller birbirine eşit olduğundan

Aşağıdaki Pisagor'un yeniden düzenleme yönteminin anlatıldığı videoyu izleyebilirsiniz.

2 - Üçgen Benzerliği İspatı

Bir dik üçgende, dik kenardan hipotenüse bir dikme indirildiğinde birbirine benzer üç üçgen elde edilir. Üçgenler arasındaki benzerlik oranları yazılırsa,

bağıntıları oluşturulur. Bağıntılar matematiksel olarak içler dışlar çarpımı yapılıp toplanırsa,

eşitliği bulunur. Böylece pisagor bağıntısını iki basit yöntem ile ispatlamış oluyoruz. Aşağıdaki videoda Pisagor teoreminin ispatı için yapılmış su deneyini görebilirsiniz.