Logaritma Konu Anlatımı Lys

f: R → R+ , a ∈ R+ – {1} için f(x) = a.x fonksiyonu üstel fonksiyon olup bire bir ve örten bir fonksiyondur. O halde bu fonksiyonun ters fonksiyonu vardır.
a ∈ R+ – {1} ol mak üze re, f: R → R+ , f(x) = a.x fonksiyonunun ters fonksiyonuna, a tabanına göre logaritma fonksiyonu denir.

Logatita bölümü konu başlıkları:

• Üstel fonksiyon
• Logaritma fonksyonu
• Logaritma fonksyonu en geniş tanım kümesi
• Onluk logaritma fonksiyonu
• Doğal logaritma fonksiyonu
• Logaritma fonksyonunun özellikleri
• Üstel ve Logaritma fonksiyonunun grafikleri
• Üstel ve Logaritmalı denklemler
• Üstel ve logaritmalı eşitsizlikler

Logaritma konu anlatımı videosu 1. bölüm

Logaritma konu anlatımı videosu 2. bölüm

1. TANIM

a R+ -{1} ve  x  R+ olmak üzere, ay = x eşitliğini ele alırsak.

Bu eşitlikte; a değerini bulmak için kök alma, x değerini bulmak için kuvvet (üs) alma , y değerini bulmak içinde

logaritma işlemi yapılır.

a R+-{1},      x R+    ve      y R olmak üzere,

  a^y=x       y=log_a x    tir.

Burada; y sayısı , x sayısının a tabanına göre logaritmasıdır.

Örnekler:

1) log₂ 8 = y       8= 2 ^y     y = 3 tür.    => 2 eşitliğin diğer tarafına geçerken oradaki sayıyıda üs olarak alır



2) log_a 64 = 3      64 = a³          64 = 4³        a = 4 tür.





4) log_a a = x     a = a^x      x = 1 dir.

5) log_a 1 = n        1 = aⁿ       n = 0 dır.

6) log₅ () = m       = 5^m        m R dir.

Sonuç olarak:

1)  log_a a = 1

2) log_a 1 = 0

3)  y =log_a f(x)          f(x) > 0

Örnek:

log₅ (log₃ (log₂  x) ) = 0 olduğuna göre, x değerini bulalım.


Çözüm:

log₅ (log₃ (log₂ x) ) = 0        

log₃  (log₂  x ) = 50 = 1        

log₂ x = 3¹       

x = 2³ = 8 dir.

Örnek:

log₃ (a³.b.c) = 5



olduğuna göre, a.b çarpımını bulalım.

Çözüm:

log₃ (a³.b.c) = 5        a³.b.c = 35

Örnek:



Buradan, a.b = 18 dir.

a) Bayağı Logaritma

y = log₁₀ x = log x fonksiyonuna 10 tabanında logaritma veya bayağı logaritma denir.

Örnek:

log₁₀  10 = log₁₀  = 1 dir.

b) Doğal Logaritma

e = 2,…. olmak üzere,

y = log_e  x = ln x fonksiyonuna doğal logaritma denir.

Örnek:

log_e   e = ln e  = 1 dir.

3. LOGARİTMANIN ÖZELLİKLERİ

x,y R+ ve a  R+ - {1} olmak üzere,


1) log_a   (x.y) =log_a x +log_ay





4) log_a x = log_a y        x = y      dir.

Örnek:

1)log₅+ log₂= log₍₎ = log₁₀ =1

Örnek:

log_(2x-y)=log_x + log_y  olduğuna göre, y nin x türünden eşitini bulalım.


Çözüm:

log_(2x-y)  =  log_x + log_y           =>        log_(2x-y)  =log_(x.y) 

 2x – y = x.y

2x = x.y +y

2x = y. (x+1)

Örnek:

log₅ = a,    log₃ = b,    log₂ = c    olduğuna göre, log_(22,5) ifadesinin a,b,c türünden eşitini bulalım.


Çözüm:



= a + 2b – c  dir.

 2. log₅  x = 6 – log₅  x

3. log₅ x = 6

log₅  x = 2

 x = 5² = 25   tir.

Örnek:

log₅ = n         olduğuna göre, log₄ değerinin n türünden eşitini bulalım. bilgi funduszeue.info

Çözüm:

a R+,      a 1   ve    x R+ olmak üzere,

Örnek:

log₂₅ = x      olduğuna göre, log₅ 10 ifadesinin x türünden eşitini bulalım.


Çözüm:

4. LOGARİTMA FONKSİYONUNUN GRAFİĞİ

Üstel fonksiyon bire bir ve örten olduğu için ters fonksiyonu vardır ve bu fonksiyona logaritma fonksiyonu denir.


Y = log_a x fonksiyonunun grafiği a nın durumuna göre çizilirse,

grafikleri elde edilir.

Not:

y = log_a  (mx + n)fonksiyonunun grafiği, aşağıdaki işlemler yapılarak çizilir.

1) Logaritmanın tanımından,   f(x) in grafiği, mx + n > 0 şartının sağlandığı bölgededir.

2) y = 0 ve y = 1 için sırasıyla x0 ve x1 değerleri bulunur. Grafik, (x0,0) ve (x1,1) noktalarından geçer.

Örnek:

f(x) = log₂  (x-1) fonksiyonunun grafiğini çizelim.

Çözüm:

f(x) fonksiyonu, x-1>0 Þ  x>1 için tanımlıdır.


y = 0 için,           log₂  (x-1) = 0         x = 2 ve

y = 1 için,           log₂  (x-1) = 1          x = 3


olduğundan grafik (2,0) ve (3,1) noktalarından geçer. Taban 1 den büyük olduğundan, verilen fonksiyonun grafiği,

5. LOGARİTMA FONKSİYONUNUN TERSİ


a R+-{1} ve x R+ olmak üzere,

f(x) =log_a  x  f ^-1 (x) = ax      tir.

Örnek:

f(x) = log₅x          f ^-1 (x) = 5x tir.

Örnek:

f(x) = y = 2 log₅x                   x = 2. log₅ f ^-1 (x)

6. LOGARİTMALI EŞİTSİZLİKLER

Bir eşitsizlik içinde bilinmeyenin logaritması varsa bu tür eşitsizliklere logaritmalı eşitsizlikler denir.

1) a >1 olmak üzere,

log_a f(x)  log_a g(x)              f(x)  g(x)   (eşitsizliğin yönü değiştirilmez.)

2) 0<a<1 olmak üzere,

log_a f(x)  log_a g(x)               f(x)   g(x)      (eşitsizliğin yönü değiştirilir.)

Örnek:

log₃ (log₂(x-1)) > 0                   log₂ (x-1) > 30 = 1

 x-1 >2 ¹

x > 3 tür.

Örnek:

log₂ (x-3)<4        =>             0 < x-3 <24

 3<x<19 dur.

Örnek:

7. BAYAĞI LOGARİTMA

a) Karekteristik ve Mantis

x R+ ,   k Z ve    0  m<1   olmak üzere, log_x   = k+m eşitliğinde k tamsayısına x in logaritmasının karekteristiği, m reel

sayısına da  x in logaritmasının mantisi denir. bilgi funduszeue.info

Örnek:

log₃₀  = 1, ifadesinde, 30 sayısının logaritmasının karekteristiği  1 ve mantis i 0, dir.

Örnek:

log₂  = 0,   olduğuna göre, log  değerinin karekteristik ve mantis ini bulalım.

Çözüm:

log  = log_23,  = 2 + 3log₂

= 2 + 3. (0,)

= 2 + 0,

= 2, olduğundan,

karekteristik 2    ve     mantis 0, olur.

Not:

Uyarı:

1 den büyük pozitif tamsayıların basamak sayısı, sayının logaritmasının karekteristiğinin bir fazlasıdır.

Örnek:

log₂= 0, olduğuna göre, (40)40 sayısının kaç basamaklı bir sayı olduğunu bulalım.


Çözüm:

log₄₀ 40 = log₄₀

= (log_22,10)

= (1 + 2 log₂)

= (1+ 0,)

= 64,08 olduğundan, karekteristik 64 ve basamak sayısı 65 tir.

b) Kologaritma:

x R+ olmak üzere, x in çarpmaya göre tersinin logaritmasına x in kologaritması denir ve colog x biçiminde gösterilir.


tir.

Örnek:

log_x = 1,73     olduğuna göre, colog x in karekteristiğini ve mantisini bulalım.

                                            LOGARİTMANIN TÜM ÖZELLİKLERİ