Asal Bölen Nedir
Tam Bölen Sayısı
SORU 3:
360 sayısını asal çarpanlarının kuvvetleri biçiminde yazıp yukarıda listelenen bölen sayılarını, toplamlarını ve çarpımlarını hesaplayalım.
Çözümü Göster360'ın asal çarpanlarının kuvvetleri biçiminde yazılışı:
\( 360 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^1 \)
Asal bölenler: 2, 3, 5
Asal bölenlerin sayısı \( = 3 \)
Pozitif bölenlerin sayısı \( = (3 + 1)(2 + 1)(1 + 1) = 24 \)
Pozitif bölenler: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120, 180, 360
Tüm (pozitif ve negatif) bölenlerin sayısı \( = 2 \cdot 24 = 48 \)
Tüm bölenler: Yukarıdaki pozitif bölenler ve negatif işaretlileri
Asal olmayan pozitif bölenlerin sayısı \( = 24 - 3 = 21 \)
Asal olmayan pozitif bölenler: 2, 3 ve 5 hariç pozitif bölenler
Asal olmayan bölenlerin sayısı \( = 48 - 3 = 45 \)
Asal olmayan bölenler: 2, 3 ve 5 hariç tüm bölenler
Tek sayı pozitif bölenlerin sayısı \( = (2 + 1)(1 + 1) = 6 \)
Tek sayı pozitif bölenler: 1, 3, 5, 9, 15, 45
Çift sayı pozitif bölenlerin sayısı \( = 24 - 6 = 18 \)
Çift sayı pozitif bölenler: Yukarıdaki tek sayı pozitif bölenler hariç tüm pozitif bölenler
Asal bölenlerin toplamı \( = 2 + 3 + 5 = 10 \)
Pozitif bölenlerin toplamı \( = (2^0 + 2^1 + 2^2 + 2^3) \cdot \) \( (3^0 + 3^1 + 3^2) \cdot \) \( (5^0 + 5^1) \)
\( = 15 \cdot 13 \cdot 6 = 1170 \)
Pozitif bölenlerin çarpımı \( = \sqrt{360^{24}} = 360^{12} \)
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 4:
\( 70^{n - 4} \) sayısının pozitif tam bölenlerinin sayısı 27 olduğuna göre, \( n \) kaçtır?
Çözümü Göster\( 70^{n - 4} = (2 \cdot 5 \cdot 7)^{n - 4} \)
\( = 2^{n - 4} \cdot 5^{n - 4} \cdot 7^{n - 4} \)
Bu sayının pozitif bölen sayısını bulalım.
PBS \( = (n - 3)(n - 3)(n - 3) \)
\( (n - 3)^3 = 27 \)
\( n = 6 \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 5:
\( 16! \) sayısının asal bölenlerinin toplamı kaçtır?
Çözümü Göster\( 16! = 16 \cdot 15 \cdot \ldots \cdot 2 \cdot 1 \)
Sayıyı asal çarpanlarına ayırmadan \( 16! \) içindeki asal çarpanları yazalım.
\( \{ 2, 3, 5, 7, 11, 13 \} \)
Asal bölenlerin toplamı \( 2 + 3 + 5 + 7 + 11 + 13 = 41 \) olarak bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 6:
\( \{1, 2, a, 6, 9, b\} \) kümesinin elemanları bir doğal sayının tüm pozitif bölenleri olduğuna göre, \( a + b \) kaçtır?
Çözümü GösterVerilen kümenin elemanlarını asal çarpanları cinsinden yazalım.
\( \{1, 2, a, 2 \cdot 3, 3^2, b\} \)
Elemanlar içinde 3 asal çarpanı içeren eleman bulunduğu için 3 de bu sayının bir pozitif böleni olmalıdır.
Elemanlar içinde 3'ün ikinci kuvvetini içeren eleman bulunduğu için 2 ve 3'ün ikinci kuvvetinin çarpımı da bu sayının bir pozitif böleni olmalıdır.
Buna göre \( a = 3 \) ve \( b = 2 \cdot 3^2 = 18 \) olur.
\( a + b = 3 + 18 = 21 \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 7:
\( A = 111^2 + 333^2 + 555^2 \) olduğuna göre, \( A \) sayısının kaç tane doğal sayı böleni vardır?
Çözümü Göster\( A = 111^2 + 333^2 + 555^2 \)
\( = 111^2 + 3^2 \cdot 111^2 + 5^2 \cdot 111^2 \)
\( = 111^2(1 + 3^2 + 5^2) \)
\( = 111^2 \cdot 35 \)
\( = 3^2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 37^2 \)
Pozitif bölen sayısını bulmak için asal çarpanların üsleri birer artılır ve çarpılır.
PBS \( = (2 + 1) \cdot (1 + 1) \cdot (1 + 1) \cdot (2 + 1) \)
\( = 36 \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 8:
\( \dfrac{2x + 180}{x} \) kesrini tam sayı yapan kaç farklı \( x \) pozitif tam sayısı vardır?
Çözümü Göster\( \dfrac{2x + 180}{x} = \dfrac{2x}{x} + \dfrac{180}{x} \)
İlk terim bir tam sayı olduğu için ikinci terimi tam sayı yapan \( x \) değerleri tüm ifadeyi de tam sayı yapar.
180'in her bir pozitif böleni için bu kesirli ifadenin sonucu tam sayı olur.
\( 180 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5 \)
180'in pozitif bölen sayısını bulalım.
PBS \( = (2 + 1) \cdot (2 + 1) \cdot (1 + 1) = 18 \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 9:
2500 sayısını tam bölen kaç tane tam kare sayı vardır?
Çözümü Göster2500'ü asal çarpanlarına ayıralım.
\( 2500 = 2^2 \cdot 5^4 \)
İfadeyi tam kare çarpanlar cinsinden yazalım.
\( 2500 = (2^2)^1 \cdot (5^2)^2 \)
Tam kare bölenlerin içinde tüm çarpanların tam kare şeklinde bulunmaları gerektiği için parantez içindeki çarpanları asal çarpan gibi düşünerek pozitif bölen sayısını bulalım.
Tam kare bölen sayısı \( = (1 + 1)(2 + 1) = 6 \)
Buna göre 2500'ün 6 tam kare böleni vardır ve bu bölenler \( \{1, 4, 25, 100, 625, 2500\} \) sayılarıdır.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 10:
\( \dfrac{300}{x} \) ve \( \dfrac{x}{15} \) birer pozitif tam sayı ise \( x \)'in alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır?
Çözümü Göster15 ve 300'ü asal çarpanlarına ayıralım.
\( 15 = 3 \cdot 5 \)
\( 300 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5^2 \)
Buna göre, \( x \) en az \( 3 \cdot 5 \), en fazla \( 2^3 \cdot 3 \cdot 5^2 \) çarpanlarını içermelidir.
300 içinde olup 15 içinde olmayan çarpanlar \( 2^2 \cdot 5 \) olur ve bu çarpanlar için yazılabilecek bölen sayısı kadar farklı \( x \) sayısı yazılabilir.
\( 2^2 \cdot 5 \) çarpanları ile \( (2 + 1)(1 + 1) = 6 \) farklı bölen yazılabilir. Bu bölenlerin her birini \( 15 = 3 \cdot 5 \) ile çarparsak istenen koşulu sağlayan \( x \) değerlerini buluruz.
Buna göre \( x \)'in alabileceği 6 değer aşağıdaki gibidir.
\( 15 \cdot 2^0 \cdot 5^0 = 15 \)
\( 15 \cdot 2^1 \cdot 5^0 = 30 \)
\( 15 \cdot 2^2 \cdot 5^0 = 60 \)
\( 15 \cdot 2^0 \cdot 5^1 = 75 \)
\( 15 \cdot 2^1 \cdot 5^1 = 150 \)
\( 15 \cdot 2^2 \cdot 5^1 = 300 \)
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 11:
\( 4^4 \cdot 3^{x + 1} \) sayısının 36 pozitif tam sayı böleni olduğuna göre, \( x \) kaçtır?
Çözümü Göster\( 4^4 \cdot 3^{x + 1} = 2^8 \cdot 3^{x + 1} \)
Bu sayının pozitif bölen sayısı formülünü yazalım.
PBS \( = (8 + 1)(x + 2) = 36 \)
\( = 9(x + 2) = 36 \)
\( x = 2 \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 12:
\( x, y \in \mathbb{Z^+} \) olmak üzere,
\( x \cdot (y + 8) = 210 \) eşitliğini sağlayan kaç farklı \( x \) tam sayısı vardır?
Çözümü Göster210 sayısını asal çarpanlarının kuvvetleri biçiminde yazalım.
\( 210 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \)
Buna göre 210'un \( 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16 \) pozitif tam sayı böleni vardır ve normal koşullar altında \( x \) bu 16 değerden herhangi birini alabilir.
Ancak \( y + 8 \) çarpanının 8'den büyük olması gerektiği için \( y \notin \{ 2, 3, 5, 2 \cdot 3, 7 \} \) olmalıdır, dolayısıyla \( x \)'in alabileceği değerlerin sayısı 5 eksik olur.
\( 16 - 5 = 11 \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 13:
2514'ü böldüğünde 98 kalanını veren üç basamaklı en büyük sayı kaçtır?
Çözümü Göster\( 2514 - 98 = 2416 \)
İstenen sayı 2416'yı tam bölmelidir.
2416'yı çarpanlarına ayıralım.
\( 2416 = 2^4 \cdot 151 \)
2416'nın asal çarpanlarının (2, 2, 2, 2, 151) herhangi bir alt kümesindeki elemanların çarpımı 2416'yı tam böler.
Bu sayılar içinde üç basamaklı en büyük sayı \( 2 \cdot 2 \cdot 151 = 604 \) olur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 14:
\( A = 9^{24} + 9^{25} + 9^{26} + 9^{27} \) olduğuna göre, \( A \)'nın pozitif tam sayı bölenlerinin sayısı kaçtır?
Çözümü GösterTam sayı bölen sayısını bulmak için \( A \)'yı asal çarpanlarına ayıralım.
İfadeyi \( 9^{24} \) parantezine alalım.
\( A = 9^{24}(1 + 9 + 9^2 + 9^3) \)
\( = 3^{48}(1 + 9 + 81 + 729) \)
\( = 3^{48} \cdot 820 \)
\( = 2^2 \cdot 3^{48} \cdot 5 \cdot 41 \)
Bir sayının pozitif bölenlerinin sayısı asal çarpanlarının kuvvetlerinin birer fazlasının çarpımına eşittir.
\( A \) sayısının pozitif tam sayı bölenlerinin sayısı:
\( (2 + 1)(48 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 588 \) olarak bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
Yalnızca İki Pozitif Tam Sayı Böleni Olan Doğal Sayılar: Asal Sayı Nedir?
Genel Kültür
Yalnızca İki Pozitif Tam Sayı Böleni Olan Doğal Sayılar: Asal Sayı Nedir?
Asal sayılar, yalnızca iki tam sayı böleni bulunan sayılara denir. Bu sayılar sadece 1 sayısına ve kendisine bölünür. 1'den büyük tam sayılar olan asal sayılar, kendisinden başka bir sayıya kalansız bölünemez. En küçük asal sayı 2'dir. En büyük asal sayının ne olduğu ise bilinemez çünkü asal sayılar sonsuzdur. 2 dışında çift olan herhangi bir asal sayı yoktur.
Bu içeriğimizde asal sayılar hakkında merak edilen bilgilere ulaşabilirsiniz.
Asal Sayı Nedir?
Asal Çarpan Nedir?
Aralarında Asal Sayılar Nedir?
En Küçük ve En Büyük Asal Sayılar Nelerdir?
Yorumlar ve Emojiler Aşağıda
Asal Sayılar Hangileridir? (1'den 100'e Kadar) - Asal Sayı Nedir, Nasıl Bulunur?
EğitimAsal Sayılar Hangileridir? (1'den 100'e Kadar) - Asal Sayı Nedir, Nasıl Bulunur?
Asal Çarpanlara Ayırma
Asal Çarpanlara Ayırma konumuzda kpss sınavında çok sık soru gelmemektedir. Fakat değişen sistem ve yeni kpss düzenine göre soru gelebilme olasılığı yüksektir. Asal Çarpanlara Ayırma konusunun mantığını kavramak önemlidir. Önceki konumuzda Bölünebilme Kurallarını işlemiştik. Sıradaki konumuz ise Asal Çarpanlara Ayırma olacaktır.
Asal Çarpanlara Ayırma
Bir doğal sayının asal çarpanlarını bulabilmek için bu doğal sayıyı bölünebildiği en küçük doğal sayıdan başlayarak sırasıyla asal sayılara bölmemiz gerekir. Yani Asal Çarpanlara Ayırma işlemini uygulamamız gerekir. Bulduğumuz bölümler çarpımı sayının asal çarpanlara ayrılmış şeklidir.
Örneğin; 36 sayısı asal çarpanlara şu şekilde ayrılır.
$ \displaystyle 36={{2}^{2}}{{.3}^{2}}$
36’nın içerisinde 2 tane 2 çarpanı, 2 tane 3 çarpanı vardır. yani 36’nın asal çarpanları 2 ve 3 ‘ tür.
Asal Çarpanlara Ayırma ilgili 8 farklı soru tipi gelebilir.
1. Sayının Pozitif Bölenlerinin Sayısı (P.B.S)
Pozitif tam bölenlerinin sayısını bulmak için verilen sayının kaç tane tam sayı bölenin olduğuna bakmalıyız.
Örneğin 12 sayısını tam olarak bölen pozitif tam sayılar, 1,2,3,4,6 ve 12 olmak üzere 6 tanedir. Eğer biz bunu bağıntı yardımı ile bulmak istersek önce 12 sayısını asal çarpanlara ayırırız.
$\displaystyle 12={{2}^{2}}.3$ şimdi asal çarpanların kuvvetlerini 1 arttırıp çarpalım.
$\displaystyle 12={{2}^{2}}.3$
(2+1).(1+1)=3.2=6 tanedir.
$ \displaystyle A={{a}^{x}}.{{b}^{y}}.{{c}^{z}}$ ise
P.B.S=(x+1)(y+1)(z+1) dir.
Bir sayının kaç tane pozitif tam bölen sayısı varsa o kadar negatif bölen sayısı vardır. Örneğimizdeki gibi 12 sayısının 6 tane pozitif tam sayı böleni varsa 6 tane de negatif tam böleni vardır.
Pozitif tam böleni demek doğal tam sayı böleni doğal sayı böleni demektir.
2. Bir Sayının Tam Bölenlerinin Sayısı (T.B.S)
Bir sayının pozitif ve negatif bölenleri sayısı aynı olduğu için pozitif bölen sayısını 2 ile çarparsak tam bölen sayısını bulmuş oluruz.
T.B.S=2.(P.B.S)
$ \displaystyle 120={{2}^{3}}{{.3}^{1}}{{.5}^{1}}$
P.B.S=(3+1)(1+1)(1+1)= 4.2.2 = 16
T.B.S=2(P.B.S)= 2.16= 32 tanedir.
3. Bir Sayının Asal Bölen Sayısı
Asal bölen sayısını bulmak için sayıyı asal çarpanlarına ayırıp tabanları işaretlememiz yeterlidir.
$ \displaystyle 120={{2}^{3}}{{.3}^{1}}{{.5}^{1}}$
60′ ın asal çarpanları 2,3 ve 5′ tir. (3 tane)
4. Bir Sayının Tam Bölenleri Toplamı
Bir sayının tam bölenlerinin toplamı daima sıfırdır.
1+2+5+10+(-1)+(-2)+(-5)+(-10)=0
Kpss genel yetenekmatematik dersine ait Asal Çarpanlara Ayırma konusu tamamlanmıştır. Bir sonraki kpss genel yetenek matematik konumuz OBEB-OKEK olacaktır.