Anlamlı Sayılarda Toplama

Merhaba arkadaşlar bu yazımızda sizlere anlamlı rakamlar nedir ve ölçmehataları nasıl bulunur konularını anlatacağız. Bazı fiziksel büyüklükler ölçüldüğünde, ölçülen değerler, sadece deneysel be­lirsizliklerin sınırları içinde bilinir. Belirsizliğin değeri ölçümde kullanılan aletlerin kalitesi, deneycinin yeteneği ve yapılan ölçümlerin sayısı gibi değişik etmenlere bağlı olabilir.

Varsayalım ki, bir bilgisayar disketinin etiketinin alanının bir metre ile öl­çülerek bulunması sorulsun. Bu etiketin ölçtüğümüz değeri, ±0,1 cm doğru­lukta olsun. Etiketin genişliği 5,5 cm olarak ölçülmüşse, genişliğin 5,6 cm ile 5,4 cm arasında bir değerde olduğu iddia edilebilir. Bu durumda ölçülen de­ğerin iki anlamlı rakama sahip olduğunu söyleriz. Benzer şekilde etiket uzun­luğu 6,4 cm ölçülmüşse, gerçek değer 6,3 cm ile 6,5 cm arasındadır. Anlamlı rakamlar, ilk tahmin edilen basamağı da içermektedir. O halde Ölçülen de­ğerler (5,5 ± 0,1) cm ve (6,4 ± 0,1) cm olarak yazılabilir.

Şimdi de etiketin alanını, bu iki değeri birbiri ile çarparak bulmak istediğimizi varsayalım. Alanın (5,5cm) (6,4 cm) = 35,2 cm² olduğunu iddia etse idik, o zaman yanıtımız üç anlamlı rakam içerdiği için doğru olmayacaktı. Çünkü buradaki anlamlı rakamlar sayısı, ölçülen uzunlukların anlamlı rakamların sa­yısından fazla olmaktadır. Anlamlı rakamların sayısının belirlenmesinde reh­ber olarak kullanılabilecek iyi bir kural aşağıdaki gibi ifade edilebilir:

Bir kaç büyüklük çarpıldığında, elde edilen sonuçtaki anlamlı rakam sayısı, duyarlılığı en az olan çapandaki anlamlı rakam sayısı ile aynıdır. Burada “en az duyarlı” dan kasıt, en az sayıda anlamlı rakamı olandır. Ayni kural bölme işlemine de uygulanır.

Bu kuralı yukardaki çarpma örneğine uygulayarak, alan için cevabın sade­ce iki anlamlı rakama sahip olduğunu görürüz. Çünkü ölçülen uzunluklar yalnızca iki anlamlı rakama sahiptir. Böylece disket etiketinin alanı 35 cm² olduğunu iddia edebiliriz. Bu değer, (5,4 cm) x (6,3cm) = 34 cm² ile (5,6 cm) x (6,5cm) = 36 cm² arasında bir değerdir.

Bir yanıttaki sıfırların varlığı yanlış yorumlanabilir. 0,03 ve 0, gibi on­dalık sayılarda, rakamlardan önce, gelen sıfırlar anlamlı değildir. Yani bunla­rın anlamlı rakamlar sayısı bir ve ikidir. Sıfırlar, rakamlardan sonra geldiğinde ise, yanlış yorumlama olasılığı vardır. Örneğin bir cismin kütlesinin g olarak ölçüldüğünü varsayalım. Bu değer belirsizdir çünkü son iki sıfırın ayır­ma virgülü olup olmadığı veya bu sıfırların ölçümdeki anlamlı rakamları tem­sil edip etmediği bilinmemektedir. Bu belirsizliği ortadan kaldırmak için, an­lamlı rakamların sayısını göstermek üzere bilimsel gösterim (notasyon) yaygın

olarak kullanılır. Bu durumda kütleyi, iki anlamlı rakam varsa 1,5&#;10 g şeklinde, üç anlamlı rakam varsa 1,50 x 10 şeklinde ifade etmeliyiz. Benzer şekil­de 0, gibi bir sayı bilimsel gösterimde, eğer iki anlamlı rakamı varsa 1,5 x 10^-4 ile üç anlamlı rakama sahipse 1,50 x 10^-5 olarak ifade edilir. Bu kural, 1 ’den küçük sayılar için de geçerlidir. Örneğin 2,3 x 10^-4 &#;de iki anlamlı ra­kam vardır. (0, olarak da yazılabilir) 2,30 x 10^-4 üç anlamlı rakama sa­hiptir (Bu rakam 0, olarakta yazılabilir). Genelde bir anlamlı rakam, güvenilirliği bilinen basamaktır (Ondalık noktanın yerini belirtmek için kulla­nılan sıfır hariç).

Toplama ve çıkarma işleminde, sayılar toplanırken (veya çıkarılırken) sonuç­taki ondalık basamak sayısı , toplamdaki herhangi bir terimin en küçük onda­lık basamak sayısına eşit olmalıdır.

Örneğin + 5,35 işlemini yapmak istiyorsak cevap ,35 değil olacak­tır. Başka bir örnek olarak 1, + 0, = 1, toplamını yaparsak, sonu­cun beş anlamlı rakama sahip olduğu görülür. Halbuki toplamdaki 0, te­riminde sadece bir tane anlamlı rakam vardır. Benzer şekilde 1, &#; 0, = 0, çıkarma işlemini yaparsak, sonuç, kurala uygun olarak üç ondalık basa­mağa, fakat sadece bir anlamlı rakama sahiptir. Biz bütün kitap boyunca, veri­len verilerin tam doğru yanıt vermesi için, üç anlamlı rakama sahip olmasının yeterli olacağını kabul edeceğiz. Yapacağımız tahmini sonuçlarda ise bir basa­mak anlamlı rakam olarak yeterli olacaktır.

Anlamlı Rakamlar İle İlgili Örnekler

Örnek 1 :Bir Dikdörtgenin Alanı

Bir dikdörtgen levha (21,3 ± 0,2) cm uzunluğa ve (9,80 ± 0,10) cm genişliğe sahiptir. Levhanın alanı ve hesaplama­daki belirsizliği (ölçme hatasını) bulunuz.

Çözüm: Alan = lw = (21,3 ± 0,2) cm x (9,80 ± 0,1) cm = (21,3 x 9,80 ± 21,3 x 0,1 ± 9,80 x 0,2) cm² = ( ± 4) cm²

Giriş verilerinin sadece üç anlamlı rakam ile verildiğine dikkat edelim. Dolayısıyla sonucumuzun da daha fazla an­lamlı rakam içermesini istemeyiz. 0,2 cm ve 0,1 cm belirsiz­liklerini niçin çarpmak ihtiyacı duymadığımızı görüyor musunuz?

Örnek 2 : Bir Halının Yerleştirilmesi

Bir halı, uzunluğu 12,71 m (dört anlamlı rakam) ve geniş­liği 3,46 m (üç anlamlı rakam) olarak ölçülen bir odaya yer­leştirilmektedir. Odanın alanını bulunuz.

Çözüm: 12,71 m, ile 3,46 m yi hesap makinası ile çar­parsanız. 43, m² bulunur. Bu rakamlardan kaç tanesi­ni kullanabiliriz? Çarpım kuralımız, ölçülmüş olan büyük­lüklerdeki en az doğruluktakileri anlamlı rakam olarak kul­lanabileceğimizi söyler. Bu örnekte, en az doğruluk ölçü­münde sadece üç anlamlı rakam vardır, dolayısıyla son yanıtımızı 44,0 m² olarak ifade etmeliyiz.

Cevabımızda 43, değerini üç anlamlı rakama in­dirmede, genel yuvarlama kaidesi olan son rakam 5 veya büyükse (Bu örnekte son rakam 9) ondan bir öncekine 1 ilave etmeyi uyguladık (Uzun hesaplamalarda hata birikim­lerini önlemek için kullanılan teknik yuvarlamayı geciktir­mektir. Anlamlı basamakların sayısını yuvarlamadan önce, hesap makinenizdeki cevabı almaya hazır oluncaya kadar bekleyiniz).
Kaynak: Serway Fizik Kitabı

Kesin olmayan sayıları sadece onları zaten olanlarla birleştirerek daha kesin yapamazsınız. Bu nedenle matematiksel işlemler için farklı hassasiyete sahip kurallar vardır ve bu kurallar önemli rakamlara dayanır. Bununla birlikte, toplama ve çıkarma kuralı, çarpma ve bölme ile aynı değildir. Ayrıca, toplama ve çıkarma kuralını bazen ondalık basamaklar açısından anlamak daha kolaydır.

Toplama ve çıkarma

İki teraziniz olduğunu varsayalım. Biri 0,1 g artışlarla, diğeri ise 0, g artışlarla okuyor. İlk ölçekte g tuz ölçüyorsanız ve bunu ikinci ölçekte tartılan gram tuzla birleştirirseniz, birleşik kütle nedir? Hangi ölçekte tartıştığınıza bağlı. İlk ölçekte hala g'da geliyor, ancak ikinci sırada veya veya olabilir. Bildiğiniz tek şey iki orijinal kütle ise, o zaman sadece 0,1 g hassasiyet elde edebilirsiniz. Böylece, nihai sonucun kesinliği, iki sayının en az ondalık basamak sayısına göre belirlenir ve o ondalık basamağa yuvarlanırsınız. Bu durumda, + → Diğer örnekler: + 1 → , + 1 → , + 1 → ve + → Sondaki sıfır, üç ondalık basamağa hassasiyet göstermememizdir. Bununla birlikte, + → Dört ondalık basamak tutarız, çünkü 'daki dörtten sonraki 0 ​​anlamlıdır.

Video: Anlamlı Rakamlar ile Toplama ve Çıkarma İşlemleri (Aritmetik / Ondalık Sayılar)