Birim Zamanda Oluşan Tekrar Sayısı

İstatistiğin tanımı

İstatistik belirli olayların gözlemlenmesi yoluyla elde edilen verilerin toplanması, işlenmesi ve bu verilerden bir sonuca varılabilmesi için kullanılan tekniklerin tümünü kapsamaktadır. Bir bilim dalı olarak geçmişi ve içinde bulunulan durumu sayısal yöntemlerle analiz ederek gelecek hakkında karar vermeyi kolaylaştırmaktadır. İstatistiğin konusu olan olayları, kendi türünden olayları tam anlamıyla temsil edip edemediğine bakarak ikiye ayırabiliriz. Buna göre olaylar tipik olay ve kollektif olay olarak ayrılabilir.

Tipik olay birbirinin tam benzeri olaylardır. Gerekli koşullar oluştuğunda hep aynı şekilde tekrar eden olaylardır. Fiziksel ve kimyasal olaylar tipik olay olarak örnek funduszeue.infor birbirinin aynısı olduğundan bunlardan sadece bir tanesi oluşturduğu topluluğu temsil funduszeue.infoen ve oksijenin belirli koşullarda suyu meydana getirmesi tipik bir olaydır.

Kollektif olay ise birbirine benzemeyen , ortak yönleri olmasına karşın aralarında farklılıklar bulunan olaylardır. Genellikle canlı varlıklarla ilgili olaylar kollektif olay olarak adlandırılırlar. Nüfus kollektifolay için iyi bir örnektir. Nüfusu oluşturan bireylerin, insan olmakve aynı bölgede veya ülkede yaşamakgibi ortak özellikleri olmasına rağmen cinsiyet,yaş,meslek gibi çeşitli özellikler bakımından farklıdırlar.

Teorik olarak tipik olaylarla kollektif olaylar birbirlerinden kolayca ayrılabilirse de gerçekte aralarındaçok kesin bir çizgi çekilememektedir. Olayların tipik ve kollektif olarak ayrılması bunları etkileyen nedenlere bağlıdır. Olayları etkilen nedenler de genel neden ve rastsal neden olarak ikiye ayrılır. Genel nedenler aynı topluluktaki bütün olaylar üzerinde hep aynı yönde ve aynı derecede etkindir. Rastsal nedenler ise olayları zıt yönlerde ve çeşitli derecelerde etkilerler. Örneğin verimi etkileyen çeşitli faktörlerdentoprağın cinsi ve iklim genel neden; hava değişimleri, uygulanantarımsal teknikler, tohumun kalitesi gibi faktörler rastsal neden olarak tanımlanabilir. Büyük sayılar kanununa göre (Bernoulli) gözlem sayısı arttıkça sonuçlar rastsal nedenlerin etkisinden kurtulmaktadır. Bu kanunun işleyişine en iyi örneklerrastsal faktörlerin en belirgin olduğu şans oyunları olarak gösterilmektedir. İstatistiğin konusunu tipik olayların değil, kollektif olayların oluşturduğunu söyleyebiliriz.

Ana kütle

Ana kütle kollektif olay özelliğinde ve aynı cinsten(homojen) birimlerin meydana getirdiği topluluktur. Birimler tamamen aynı özelliklere sahip olmasalar da , bazı ortak yanlarının bulunması gereklidir.örneğin yıl bir kütle olarak alınırsa günlerbirimdir. Kütleler çeşitli şekillerde sınıflandırılabilirler. Birimleri sayılabilen kütlelere belirli kütle, sayılamayanlara belirsiz kütle adı verilir. Bir ülkenin nüfusu, bir şehirdeki binalar belirli kütle,bir nehirdeki balıklar, ormandaki karıncalar sayılamayacağı için belirsiz kütledir. Kütleler sürekli süreksiz olarak da sınıflanabilirler. Arsa ,tarla gibi birbirine bitişik olan birimler sürekli,insan, otomobil gibi birimlersüreksiz kütleleri oluştururlar.

Birim

Kütleyi oluşturan kollektif olayların her birine birim adı verilir. Canlılar(insan,hayvan) sosyal bir kuruluş(aile,şirket) bir olay(doğum,ölüm,evlenme) birimolarak kabul edilir. Birimler mutlaka sayılabilir veya ölçülebilir özelliklere sahip olmalıdırlar. Birimler aynı zamanda homojen olmalıdırlar. İstatistikte homojenlik eşitlik anlamına gelir. Aynı tanıma uygun birimler biçimsel homojenliktanımına uymaktadır.

Örnek

Anakütle bütün birimlerin oluşturduğu topluluktur. Anakütleden seçilen birimlerin oluşturduğu alt toplulukörnek olarak adlandırılır. Bir firmada satın alınan hammaddenin tamamı anakütleyi, kalite kontrolü için alınan parça örneği oluşturur.

Vasıf (nitelik) ve şık

Birimlerin sahip oldukları ve birbirlerinden ayırdedilmelerine yarayan özelliklervasıf olarak adlandırılır. Nüfus sayımında birim insandır. İnsanların yaş, boy ,medeni durum gibi özellikleri vasıftır. Belli bir vasıf çeşitli biçimlerdeortaya çıkabilir. Bu ortaya çıkış biçimleri de şık adını alır. Örneğin medeni durumun , “evli”, “bekar”, “boşandı”, “dul”şeklinde 4 şıkkı vardır.

İstatistik analiz

İlk bilgilerin toplanması (rölöveler) aşamasında araştırmanın konusu ve birimlerin tarifi yapılır. Rölövenin zamanı ve kapsamı belirlenir. İkinci aşamada toplanan veriler matematik ve istatistik analizlere uygun, düzenli duruma getirilir. Verilerin tasnifi ve gruplaması yapılır. Üçüncü aşamada düzenlenmiş ve gruplandırılmış veriler tablolar ya da grafikler şeklinde sunulur. Son aşamada ise çeşitli yöntemler kullanarak eğilimler ortaya çıkarılır, olaylar arasındaki ilişkiler bulunur ve karar verilerek sonuca ulaşılır.

VERİLERİN TOPLANMASI

Araştırmalarda elde edilen veriler genellikle düzensiz ham verilerdir. Toplanan veriler kolay ve anlaşılır bir biçimde düzenlenebilir. Bu düzenleme çeşitli şekillerde yapıfunduszeue.infori küçükten büyüye doğru sıralayıp düzenli hale getiren yöntemlerden bir tanesi gövde-yaprak (stem –and-leaf)görüntüsü yöntemidir. Yöntemde sayılar basamaklarına ayrılarak bir kısmı gövde bir kısmı da yaprak şeklinde gösterilir.

Örnek: Aşağıdaki sayılar saat 24 ile 7 arasında bir telefon santraline gelen toplam çağrının36 günlük dağılımını göstermektedir.

Bu verileri gövde-yaprak şeklinde düzenleyelim:

gövde yaprak

10                                                                                                            5

7                                                                                                                1, 6

6                                                                                                                3,3,4,5

5                                                                                                                2,4

4                                                                                                                1,1,3,4,8,8

3                                                                                                                0,0,0,1,2,4,5,5,7,8

2                                                                                                                2,2,3,6,7,8

1                                                                                                                1,7,9

0                                                                                                                6,8

gövde-yaprak gösteriminde verilerin rank değeri de belirlenerek bazı istatistik ölçülerin hesaplanması kolaylaşır. Rank için ilk veri 1 den başlayacak şekilde tüm veriler sırayla numaralandırılır ya1, 08 e 2, 11 e 3 , 17 ye 4 rank numarası verilerek devam funduszeue.infor derecelendirildikten sonra istatistikte çok kullanılan bir ortalama ölçüsü medyan kolaylıkla hesaplanabilir. Medyan sıranmış bir dizide tam ortadaki elemanın değeridir. Eğer dizinin eleman sayısı çift ise ortadaki iki elemanın aritmetik ortalaması alınır. Örnekteki verilere uygularsak;

Veri sayısı 32 olduğu için ve elemanların ortalaması alınacaktır. Her iki elemanın değeri de 35 olduğundan(35+35 )/2 = 35medyan değeridir

Aşağıdaki veri grubunu gövde-yaprak şeklinde düzenleyiniz.(60 adet)

gövdeyaprak

,2,3,4,6

,1,1,3,3,7,9,9

,1,1,1,3,3,3,3,3,5,5,7,7,7,7,9

,1,1,2,3,3,5,5,5,7,7,7,7,9,9,9,9

,2,3,5,6,6,7,7,8,9,9

,5,9

Sınıflama

İncelenenvasfın aynı şıkkına sahip birimleri kümeler halinde bir araya getirme işlemine sınıflama (tasnif) denir. Vasıfların çeşitli şıklarının kütlede kaç defa tekrarlandığını gösteren sayılar frekans adını alıfunduszeue.info sınıfa düşen veri sayısı o sınıfın frekansıdır diyebiliriz. Verilerin sınıflar ve bu sınıflara karşı gelen frekanslar şeklinde düzenlenmesine frekans dağılımı veya frekans tablosu denir.

Örnek: kişilik bir sınıfta öğrenciler yaş vasfının şıklarına göre sınıflanıyor.

Yaş ( şıklar )frekans(n)

18                                                                              21

19                                                                              25

20                                                                              30

21                                                                              18

22                                                                              6

toplam

Ele alınan vasfın şıkları çok sayıda ise sınıflamada sorun çıkabilir. Bu durumda gruplamaya başvurulur.

Gruplama

Bir vasfın birbirine yakın olan şıklarını bir araya getirmeye gruplama denir. Örneğin meslek istatistikleri yapılırken serbest çalışan doktor,avukat,dişçi,tüccar gibi meslekler “serbest meslekler”grubuna alınmaktadır. Gruplama ile toplanan verilerhakkında daha geniş ve açık bilgiler alınabileceği gibi, her gruba düşen frekans sayısı da büyür. Gruplamanın bu yararları yanında bazı sakıncaları da vardır. Örneğin grup sınırlarının belirtilmesi önemli bir sorundur. Günlük gelirleri“ dolar”, “ dolar” gibi grupladığımızda , 16 doların hangi gruba gireceği belirsizdir. Bu durumda “ dolardan az”, “ dolardan az” şeklinde bir gruplamaya gidilmelidir. Gruplamada grup sayısı genellikle arasında tutulmaktadır. Nicel vasıflara göre yapılan gruplamada gruplara “sınıf”, gruba girebilecek en küçük şıkkın değerine “ sınıf alt sınırı”, en büyük şıkkın değerine de “sınıf üst sınırı”, bunlar arasındaki farka“sınıf aralığı” ve sınıf sınırlarının aritmetik ortalamasına “sınıf ortalaması” adı verilir.

Örnek verileri kullanılarak dünyadaki 30 büyük şehir nüfuslarına göre gruplandırılarak

frekans dağılımları gösterilmektedir.

Nüfus grupları(* kişi)şehir sayısı(frekans)

- den az6

- den az6

den az4

den az6

den az2

den az4

ve üzeri2

Yukarıdaki örnekte den az sınıfının alt sınırı ””, üst sınırı “” , sınıf aralığı “ =” ve ortalaması “(+)/2=”olarak bulunur. “ veüzeri” sınıfı ise açık sınıf aralığı olarak tanımlanır.

Vasıf Kombinezonu

Bir kütleyi oluşturan bütün birimler bir vasfın şıklarına göresınıflandıktan sonra , diğer bir vasfın şıklarına göre tekrar sınıflandırılırsa buna vasıf kombinezonu veya bileşik sınıflama adı verilir.

Aşağıdaki tabloda nüfusun yaş, cinsiyet ve medeni duruma göre vasıf kombinezonunu göstermektedir.

Vasıf kombinezonu ile daha homojen gruplar elde edilmektedir . Ayrıca kütlenin bileşimi daha ayrıntılı olarak funduszeue.info vasıf kombinezonunda aşırıya kaçılmamalıdır, tablolar büyür ve yayınlanması güçleşir.

Seriler

Sayısal olarak düzenlenmemiş verilerin artan veya azalan büyüklükte sıraya konmuş, düzenlenmiş şekline seri denir. Serideki en büyük değerle en küçük değer arasındaki farka “yayılma bandı” veya “rank” adı verilir. Seriyi oluşturan sayılardan her biri bir terimdir. Seriler çeşitli şekillerde sınıflandırılırlar. En çok kabul görmüş sınıflandırmaaşağıdaki gibidir.

·                    Zaman serisi

·                    Mekan serisi

·                    Bölünme serisi

Zaman serisi

Verilerigün, hafta, ay, yıl gibi zaman vasfının şıklarına göre düzenlenmiş olarak gösteren serilerdir. Zaman serisi iki sütundan oluşur. Birinci sütunda zaman vasfının şıkları, ikinci sütunda ise olaya ait değerler bulunur.

Örnek: Yıllara göre Türkiye nüfusu

Mekan serisi

Toplanan verileri mekan vasfının şıklarına göre sıralanmış olarak gösteren seriler mekan serileri adını alıfunduszeue.info vasfının şıkları ülke, bölge, il, ilçe, köy gibi şıklar olabilir. Seri iki sütundan oluşur. İlk sütunda mekan vasfının şıkları, ikici sütunda değerler bulunur.

Örnek: İllere göre yılı nüfus değerleri

Bölünme serisi

Zaman ve mekan vasfının dışında kalan maddi vasıflar olarak tanınan vasıfların şıklarına göre düzenlenmiş seriler bölünme serileridir. Bir sınıftaki öğrencilerin aldığı notlar, boy uzunluğu, ağırlık , işçi sayısıgibi vasıflar örnek verilebilir. Bölünme serileri sayısal olmayan vasıflara göre de düzenlenebilir. Ancak sayısal vasıflara göre düzenlenmiş bölünme serileri daha çok kullanılmaktadıfunduszeue.info tür bölünme serileri 4 sınıfta toplanabilir.

·                          Basit seriler

·                          Sınıflanmış(tasnif edilmiş) seriler

·                          Gruplanmış seriler

·                          Bileşik seriler

Basit seriler

Sayısal verilerin küçükten büyüğe ya da büyükten küçüğe doğru sıralanması ile elde edilen serilerdir.

Örnek: 12 öğrencinin bir dersten aldığı notlar

Sınıflanmış seri

Gözlem sonuçlarının düzenlenerek birinci sütunda olaya ait değerleri, ikinci sütunda frekanslarıgösterecek şekildehazırlanırsa sınıflanmış seri elde edilir.

Örnek: 12 öğrencinin bir derse ait notları (basit seri için verilen örnek) ve frekansları

Gruplanmış seri

Bu tip seride gözlem değerleri sınıflar şeklinde gruplandırılarak gösterilirler . ikinci sütunda yine frekanslar yer alır. Yukarıda verilen notlar örneğini 25 ‘ er aralıklı olarak gruplarsak aşağıdaki tablo elde edilir.

Bileşik seri

Gözlem sonuçlarını iki veya daha fazla vasfa göre düzenleyen seriler bileşik serilerdir. Bileşik serilerde birden çok vasıf ile ilgili bilgilerdeğerlendirildiği içinvasıflar arasında bir ilişkinin var olup olmadığı kolaylıkla öğrenilir. Basit bileşik seriiki sütundan meydana gelir.sütunlardan birinde veriler vasıflardan birine göre küçükten büyüğe doğru sıralanır. Diğer sütunda ise, her birimin diğer vasfına ait gözlem değerleri gösterilir.

Bileşik serileri gruplayarak tablo şeklinde de gösterebiliriz. Buğday üretimi ile harcanan su arasındaki ilişkiyi tablo şeklinde gösterelim.

Bu tabloya iki vasıf arasındaki ilişkiyi gösterdiği için “korelasyon tablosu” adı da verilmektedir. Tablo içersindeki sayılar frekansları göstermektedir. Frekanslar sol üst köşeden sağ alt köşeye doğru toplandığı için ilişki funduszeue.info durumda ilişkinin negatif olduğu, bir değişkenin değeri artarken diğerinin azaldığı ortaya çıkacaktır.

Frekans bölünmeleri

Bir bölünme serisinin grafiği apsiste sınıflar, ordinatta frekanslar gösterilerek çizilir. Çizilen eğrilerin şekillerine göre bölünme serileri bazı tiplere ayrılır. Bunlar şu şekilde özetlenebilir:

·                    Simetrik seri

Frekansların serinin maksimum noktası etrafında dağıldığı seriler simetrik serilerdir. Maksimum frekans ortadadır. Bu noktanın iki yanında frekanslar önce hızlı sonra yavaş azalırlar. Bir olaya etki eden faktörler tesadüfi olarak ortaya çıkıp olayı zıt yönlerde etkiliyorsa ve bu etkilerin şiddeti birbirine eşit ise bu tip eğri ortayaçıfunduszeue.infotif olaylara ( ağırlık, zeka,uzunluk gibi) uygun olduğu içinolasılık dağılımlarının çoğunda normalbölünme kullanılır. Simetrik seri maksimum frekansın normalin üstünde olması durumunda “sivri” , normalin altında olması durumunda “basık” olabilir.

·                    Asimetrik seri

Frekanslar serinin tam ortasında değilde, ortadan önceki noktada yığıldığında “sağa eğikseri”,ortadan sonraki bir noktada yığıldığındaise, “sola eğik seri” ortaya çıfunduszeue.infoğa eğik seriye (uzun kuyruk sağda) asimetrisi pozitif seri, sola eğik seriye(uzun kuyruk solda) asimetrisi negatif seri funduszeue.info işyerindeki ücretlerin çoğu ortalama ücretin altında ise eğri sağa eğik, üstünde ise sola eğik olacaktır. Yaşa göre tasarruf eğilimi de negatif asimetrigösterecektir.

·                    Çok maksimumlu seri

Bazı serilerde frekanslar iki veya daha çok sayıda maksimum yapabilir. İki maksimumlu seriler daha çok kütlenin homojen birimlerden oluşmayıp, iki farklı türü kapsadığı durumlarda ortaya çıkar. Kadınlarla erkeklerin boy dağılımları aynı grafik üzerinde gösterildiğinde ortalamalar farklı olduğu için maksimum noktalar birbirinden uzaklaşır.

·                    J , ters Jve U serileri

J serilerinde küçük değerlerin frekansları düşük, büyük değerlerin frekansları yüksektir.Ters J serisinde ise bunun funduszeue.info, felç gibi yaşlılık hastalıklarından ölümler ileri yaşlarda daha sık görüldüğü içinbu hastalıklardan ölümlerin yaşlara göre bölünmesi J serisine uyar. Yaşa göre ölüm oranlarının bölünmesi de U serisine örnek verilebilir. Çünkü düşük ve ileri yaşlarda ölüm oranı yüksek olmaktadır. Banka, servis istasyonu gibi müşterilere hizmet veren yerlerde müşterilerin gelme sürelerininbölünmesi de ters J serisine uymaktadır.

Grafikler

Gözlem değerlerinin rakamlarla gösterilmesiolayın genel eğiliminden çok ayrıntılara dikkat çekilmesine neden olur. Grafikler gözlem sonuçlarının daha iyi anlaşılmasını sağlar. Grafikler değişik şekillerde sınıflandırıfunduszeue.info seriler grafikle gösterilemediği için tablo şeklinde sunulmaları uygundur. Sınıflanmış serilerde her şıkkın frekansına göre uzunluğu değişençizgiler ya da ayrık sütunlar kullanılır.

Örnek: döneminde kişi başına GSMH(dolar) değerleri verilmektedir. Bunları kullanarak sütun diyagramını çizelim.

Sütun diyagramı

Gruplanmış serilerin grafiği çizilirken histogramlar kullanılır. Histogramda her sınıfın frekansı, o sınıfa ait sütunun yüksekliği ile değil , alanı ile gösterilir.

Örnek: bir okuldaki öğrencilerin matematik dersinden aldıkları notların dağılımı

Bu verilere ait histogram

İSTATİSTİKİ ANALİZLER

Binominal Test

Binom modeli, istenilen sonucun olma olasılığı p iken, n bağımsız denemede tam x adet istenilen sonucun olması olasılığını veren modeldir.

Örnek: Demir bir para ile yazı tura atıdığında, yazı gelme olasıllığı 1/2dir. Bu hipoteze dayanarak 40 defa yazı tura atılarak sonuçlar bir yere not edildiğinde, atılanların ¾’ünün yazı olması ve gözlemlenen anlamlılık derecesinin küçük () olması durumunda, olasılığın ½ ihtimalinden uzak olması yani atılan paranın hileli olması söz konusudur.

Cluster Analizi (Kümeleme Analizi)

Kümeleme analizi, bireylerin veya uyarıcıların benzerliklerine göre gruplarda veya kümelerde toplanmasını amaçlayan birçok değişkenli istatistik funduszeue.infoırma (Diskriminant) analizinden farklı olarak kümeleme analizinde faktör analizindeki gibi veri matrisi analiz öncesi tahmin ve kriter alt setlerine bölüştürülmez. Kümeleme analizinde dikkatler, bireylerin araştırmada ölçülen tüm değişkenler üzerindeki değerlerini hesaba katarak ortaya çıkacak kümeler veya gruplar üzerinde toplanmıştır. Bireyler arasındaki benzerlikleri saptamak amacıyla uzaklık ölçüleri, korelasyon ölçüleri veya nitelik verilerinin benzerlik ölçüleri kullanılabilir.

Örnek: Kişilerin sosyo-ekonomik nitelikleri ve siyasal eğilimleri esas alınarak bu özelikler itibariyle benzer olan kişilerin aynı gruplarda veya kümelerde toplanması amacıyla tesadüfi olarak seçilen 64 kişi üzerinde 19 değişkenin değeri ölçülmüştür. Bu araştırmanın amacı, saptana 19 değişkenin kişileri farklı gruplarda topllamada hangi ölçüde yeterli olduğunu belirlemek ve böylece daha geniş kapsamlı çalışmalarda bu değişkenlerin kullanıp kullanılamayacağını kararlaştırmaktır.

Kümeleme analizinin pazarlama sorunlarının çözümüne uygulanması oldukça yaygın bir yöntemdir. Pazar bölümlenmesi, pazar testinin uygulanacağı bölgelerin saptanması bu konuda örnek verilebilecek birkaç konudur.

Diskriminant (Ayırma) Analizi

Ayırma analizi, iki veya daha fazla sayıdaki grubun ayırımı ile ilgilenen birçok değişkenli ilgi analizidir. Amaçları arasında analiz öncesi tanımlanmış iki veya daha fazla sayıda grubun ortalama nitelikleri arasında önemli farkların olup olmadığının test edilmesi, gruplar arasındaki farka herbir değişkenin katkısının saptanması ve grup içi değişime oranla gruplar arasındaki ayrımı maksimize eden tahmin değişkenleri kombinasyonunun belirlenmesi sayılabilir.

Örnek: ‘Bira içenleri’, ‘bira içmeyenlerden’ ayırt etmenin bir pazarlama sorunu olduğu kabul edilirse, büyük bir bira üreticisinin yaptığı araştırma ayırma analizine örnek olarak gösterilebilir. Bu nedenle, tesadüfi olarak seçilen kişilik bir tüketici bölümünü örnek olarak alınmış ve bu kişilerin bira içip içmedikleri, cinsiyetleri ve sporla ilgilenme dereceleri saptanmıştır. Cinsiyet ve sporla ilgilenmenin tahmin değişkenleri olarak kullanılmalarının nedeni, daha önceki çalışmaların bu değişkenlerle bira içme arasında kuvvetli bir ilginin olduğunu göstermiş olmasıdır.

Ayırma analizi sonuçlarının test edilme olanağının bulunması sonuçların geçerliliğini ve güvenilirliğini ve dolayısıyla analizin gücünü artıran önemli bir etmendir.

Faktör Analizi:

Faktör analizi veriler arasındaki ilişkilere dayanarak verilerin daha anlamlı ve özet bir biçimde sunulmasını sağlayan bir çok değişkenli istatistiksel analiz türüdür. Amaç esas olarak değişkenler arasındaki karşılıklı bağımlılığın kökenini araştırmaktadır.

Örnek: Pazarlama araştırmacısı tüketicilerin marka tercihleri, mağaza tercihleri, sosyo-ekonomik demografik ve psikolojik nitelikleriyle ilgili çeşitli verileri toplayabilir. Ancak, araştırmacının son amacı, tüketicilerin çeşitli markalara karşı tutumları veya eğilimleri gibi bazı temel değişkenlerin veya boyutların saptanmasıdır. Tüketicilerin markalara tutumları, aile büyüklüğü ve satınalma sıklığı gibi çeşitli değişkenlerle ölçülebilir. Şayet bu tür değişkenler arasında önemli korelasyonlar var ise ‘markalara karşı tutum’ bir faktör olarak kabul edilir.

İstatistiksel Hipotez Testleri