Küme Problemleri Ve Çözümleri
Küme Problemleri
SORU 1:
\( A = \{ x: x = 3k, k \lt 70, k \in \mathbb{Z^+} \} \)
\( B = \{ x: x = 5k, k \lt 48, k \in \mathbb{Z^+} \} \)
kümeleri için \( s(A \cup B) \) kaçtır?
Çözümü Gösterİki kümenin elemanlarını liste yöntemi ile yazalım.
\( A = \{ 3, 6, 9, \ldots, \} \)
\( B = \{ 5, 10, 15, \ldots, \} \)
Elemanları 3'ün katları olan bir küme ile 5'in katları olan bir kümenin kesişim kümesinin elemanları 15'in katlarından oluşur.
\( A \cap B = \{ 15, 30, 45, \ldots, \} \)
Her bir kümenin eleman sayısını ardışık sayılar terim sayısı formülü ile bulabiliriz.
Terim sayısı = [(Son terim - İlk terim) / Ortak fark] + 1
\( s(A) = \dfrac{ - 3}{3} + 1 = 69 \)
\( s(B) = \dfrac{ - 5}{5} + 1 = 47 \)
\( s(A \cap B) = \dfrac{ - 15}{15} + 1 = 13 \)
\( s(A \cup B) = s(A) + s(B) - s(A \cap B) \)
\( = 69 + 47 - 13 = \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 2:
Bir sınıfta İngilizce ve Almanca dillerinden en az birini bilen 32, en çok birini bilen 28 öğrenci vardır. Bu sınıfta Almanca bilmeyen 15 öğrenci bulunduğuna göre, İngilizce bilen kaç öğrenci vardır?
Çözümü Gösterİngilizce bilen öğrenciler kümesine \( I \), Almanca bilen öğrenciler kümesine \( A \) diyelim.
En az bir dil bilenlerin sayısı:
\( a + b + c = 32 \)
En çok bir dil bilenlerin sayısı:
\( a + c + d = 28 \)
Almanca bilmeyenlerin sayısı:
\( a + d = 15 \)
Yukarıdaki 3. eşitliği 2. eşitlikten taraf tarafa çıkaralım.
\( a + c + d - (a + d)= 28 - 15 \)
\( c = 13 \)
Bu değeri 1. eşitlikte yerine koyalım.
\( a + b = 19 \)
O halde, İngilizce bilen öğrenci sayısı \( a + b = 19 \) olarak bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 3:
40 kişilik bir sınıfta matematik dersinde 21 öğrenci, kimya dersinde 24 öğrenci başarılı olmuştur. Her iki dersten başarısız olan 6 öğrenci olduğuna göre, her iki dersten başarılı olan kaç öğrenci vardır?
Çözümü GösterMatematik dersinde başarılı olan öğrencilerin kümesine \( M \), kimya dersinde başarılı olan öğrencilerin kümesine \( K \) diyelim.
\( M \) ve \( K \) kümelerini Venn şeması olarak gösterelim ve her farklı bölgenin eleman sayısını bir değişken olarak işaretleyelim.
Matematik dersinden başarılı olanlar:
\( a + b = 21 \)
Kimya dersinden başarılı olanlar:
\( b + c = 24 \)
Her iki dersten de başarısız olanlar:
\( d = 6 \)
Sınıf mevcudu:
\( a + b + c + d = 40 \)
Yukarıdaki eşitliklere göre:
\( c = 13 \)
\( b = 11 \)
O halde, her iki dersten başarılı olan \( b = 11 \) kişi vardır.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 4:
Bir turist kafilesi İngilizce, Almanca ve Fransızca dillerinden en az birini bilenlerden oluşmaktadır. İngilizce bilenler, Almanca veya Fransızcadan hiç birini bilmemektedir.
Grupta İngilizce bilen 5 kişi, sadece Fransızca bilen 2 kişi, Fransızca bilen 6 kişi olduğuna ve Almanca bilenlerin sayısı Fransızca bilenlerin sayısının 2 katı olduğuna göre, sadece Almanca bilen kaç kişi vardır?
Çözümü GösterKafilede İngilizce bilenlerin kümesine \( I \), Almanca bilenlerin kümesine \( A \), Fransızca bilenlerin kümesine \( F \) diyelim.
\( I \), \( A \) ve \( F \) kümelerini Venn şeması olarak gösterelim ve her farklı bölgenin eleman sayısını bir değişken olarak işaretleyelim.
İngilizce bilenler:
\( x = 5 \)
Sadece Fransızca bilenler:
\( m = 2 \)
Fransızca bilenler:
\( z + m = 6 \)
\( z = 4 \)
Almanca bilenler Fransızca bilenlerin sayısının 2 katı olduğuna göre,
\( y + z = 2 \cdot 6 = 12 \)
\( y = 8 \)
O halde, sadece Almanca bilenler 8 kişidir.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 5:
36 kişinin futbol oynadığı bir grupta 10 kişi basketbol ve voleybol da oynamaktadır.
Sadece futbol oynayanların sayısı 12 kişi olduğuna göre, bu oyunlardan yalnız ikisini oynayanların sayısı kaçtır?
Çözümü GösterFutbol oynayanların kümesine \( F \), basketbol oynayanların kümesine \( B \), voleybol oynayanların kümesine \( V \) diyelim.
\( F \), \( B \) ve \( V \) kümelerini Venn şeması olarak gösterelim ve her farklı bölgenin eleman sayısını bir değişken olarak işaretleyelim.
Gruptaki kişi sayısı:
\( a + b + c + d = 36 \)
Her üç sporu da yapanların sayısı:
\( b = 10 \)
Sadece futbol oynayanların sayısı:
\( d = 12 \)
Yukarıdaki eşitliklere göre,
\( a + b + c + d = 36 \)
\( a + 10 + c + 12 = 36 \)
\( a + c = 14 \) bulunur.
O halde, grupta yalnız iki sporu yapanların sayısı \( a + c = 14 \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 6:
Üç basamaklı sayılardan kaç tanesi 5 ile bölündüğü halde 4 ile bölünmez?
Çözümü Göster\( - 99 = \) tane üç basamaklı sayı vardır.
Üç basamaklı sayının dörtte biri 4'e tam bölünür.
\( \dfrac{}{4} = \)
Üç basamaklı sayının beşte biri 5'e tam bölünür.
\( \dfrac{}{5} = \)
Bu iki kümenin kesişimi, hem 4'e hem 5'e, yani 20'ye tam bölünen 3 basamaklı sayılardır.
Üç basamaklı sayının yirmide biri 20'ye tam bölünür.
\( \dfrac{}{20} = 45 \)
5 ile bölünen sayılardan 20 ile bölünen sayıları çıkarırsak 5 ile bölündüğü halde 4 ile bölünmeyen sayıları buluruz.
\( - 45 = \)
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 7:
Almanca ve Fransızca dillerinden en az birini bilenlerin oluşturduğu 48 kişilik toplulukta, Almanca bilmeyenlerin sayısı her iki dili bilenlerin sayısının iki katı, Fransızca bilenlerin sayısı Almanca bilenlerin \( \frac{3}{2} \) katıdır. Buna göre bu toplulukta Almanca bilen kaç kişi vardır?
Çözümü Göster\( A \): Almanca bilen kişilerin kümesi
\( F \): Fransızca bilen kişilerin kümesi
Sadece Almanca bilenlerin sayısına \( a \), sadece Fransızca bilenlerin sayısına \( b \), her iki dili de bilenlerin sayısına \( c \) diyelim.
Bu iki dilden en az birinin bilenlerin sayısı 48'dir.
\( a + b + c = 48 \)
Almanca bilmeyenlerin sayısı her iki dili bilenlerin sayısının iki katıdır.
\( b = 2c \)
Fransızca bilenlerin sayısı Almanca bilenlerin \( \frac{3}{2} \) katıdır.
\( b + c = \frac{3}{2}(a + c) \)
\( 2b + 2c = 3a + 3c \)
\( 2b = 3a + c \)
Deklemlerde \( b = 2c \) koyalım.
\( a + 2c + c = a + 3c = 48 \)
\( 4c = 3a + c \Longrightarrow a = c \)
Bu iki denklemi ortak çözelim.
\( a = c = 12 \)
\( b = 24 \)
Buna göre, Almanca konuşanların sayısı \( a + c = 24 \) olarak bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 8:
Herkesin Türkçe bildiği 32 kişilik bir toplulukta, İngilizce bilenler Almanca bilmemektedir. Bu toplulukta bu üç dilden yanlız birini bilen 10 kişi vardır. Türkçe ve Almanca bilen 8 kişi olduğuna göre, Türkçe ve İngilizce bilen kaç kişi vardır?
Çözümü Göster\( T \): Türkçe bilen kişilerin kümesi
\( I \): İngilizce bilen kişilerin kümesi
\( A \): Almanca bilen kişilerin kümesi
Herkes Türkçe bildiği için \( T \) kümesi evrensel kümeyi temsil eder ve diğer iki kümeyi kapsar.
İngilizce bilenler Almanca bilmedikleri için bu iki küme ayrık kümelerdir.
İngilizce bilenlerin sayısına \( a \), Almanca bilenlerin sayısına \( b \), sadece Türkçe bilenlerin sayısına da \( c \) diyelim.
Toplulukta toplam 32 kişi vardır.
\( a + b + c = 32 \)
Yalnız bir dil bilen 10 kişi vardır.
\( c = 10 \)
Türkçe ve Almanca bilen 8 kişi vardır.
\( b = 8 \)
Buna göre Türkçe ve İngilizce bilen kişilerin sayısını aşağıdaki gibi bulabiliriz.
\( a = 32 - b - c \)
\( = 32 - 8 - 10 = 14 \)
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 9:
\( A = \{ x: x \lt , x = 2n, n \in \mathbb{Z^+} \} \)
\( B = \{ x: x \lt , x = 3n, n \in \mathbb{Z^+} \} \) olduğuna göre,
\( s(A \cup B) \) kaçtır?
Çözümü Göster\( [1, ) \) aralığındaki 99 tam sayının 49'u 2'ye tam bölünür.
\( s(A) = 49 \)
\( [1, ) \) aralığındaki tam sayının 50'si 3'e tam bölünür.
\( s(B) = 50 \)
Bu iki kümenin kesişimi \( [1, ) \) aralığındaki hem 2'ye hem de 3'e, yani 6'ya tam bölünen sayılardan oluşur.
\( [1, ) \) aralığındaki 99 tam sayının 16'sı 6'ya tam bölünür.
\( s(A \cup B) = s(A) + s(B) - s(A \cap B) \)
\( = 49 + 50 - 16 = 83 \)
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU
\( A \) kümesinin elemanlarının %60'ı \( B \) kümesinin elemanı değildir, \( B \)'nin elemanlarının ise %50'si \( A \)'nın elemanı değildir.
\( s(A \cup B) = 56 \) olduğuna göre, \( s(B \cap A') \) kaçtır?
Çözümü GösterVerilere göre Venn şeması şekildeki gibi olur.
\( s(A \cup B) = 14a = 56 \)
\( a = 4 \)
\( B \cap A' \) kümesi \( B - A \) kümesi ile aynıdır.
\( s(B \cap A') = s(B - A) = 4a = 16 \)
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU
\( A = \{ x: x = 4k, x \lt 80, k \in \mathbb{N} \} \)
\( B = \{ x: x = 3k, x \le 60, k \in \mathbb{N} \} \) olduğuna göre,
\( A \cap B \) kümesinin eleman sayısı kaçtır?
Çözümü Gösterİki kümenin kesişim kümesi 60'tan küçük ya da 60'a eşit olan, hem 3'e hem de 4'e, yani 12'ye tam bölünen doğal sayılar kümesidir.
\( A \cap B = \{ x: x = 12k, x \le 60, k \in \mathbb{N} \} \)
\( [0, 60] \) aralığında 12'ye tam bölünen 6 tam sayı vardır.
\( A \cap B = \{0, 12, 24, 36, 48, 60\} \)
\( s(A \cap B) = 6 \)
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU
A ve B şubelerinde okuyan öğrencilerin bulunduğu bir grupta, kız öğrencilerin toplam sayısı A sınıfında okuyan erkek öğrencilerin sayısına, B sınıfında okuyan erkek öğrenci sayısı da A sınıfındaki toplam öğrenci sayısına eşittir.
B sınıfında okuyan 30 öğrenci olduğuna göre, A sınıfında okuyan erkek öğrenci sayısı kaçtır?
Çözümü GösterVerileri şekildeki gibi tabloya yerleştirelim.
Sütun ve satırdaki toplamlar birbirlerine eşit olmalıdır.
\( (b + 30) = a + (a + b) \)
\( a = 15 \)
Buna göre, A sınıfındaki erkek öğrenci sayısı \( a = 15 \) olarak bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU
Masa tenisi, basketbol ve yüzme kurslarından en az birine katılanlardan oluşan 50 kişilik bir toplulukta yüzme kursuna katılanların başka kurslara katılmadığı biliniyor.
Bu toplulukta masa tenisi kursuna katılmayan 21 kişi, basketbol kursuna katılmayan 23 kişi ve yalnız bir kursa katılanlar 30 kişi olduğuna göre, basketbol kursuna katılanların sayısı yüzme kursuna katılanların sayısından kaç fazladır?
Çözümü Göster\( M \): Masa tenisi kursuna katılanların kümesi
\( B \): Basketbol kursuna katılanların kümesi
\( Y \): Yüzme kursuna katılanların kümesi
Aşağıdaki Venn şemasında \( a, b, c, d \) ilgili bölgelerdeki kişi sayılarını göstermektedir.
Yüzme kursuna katılanlar başka kurslara katılmadıkları için \( Y \) kümesi ayrık bir kümedir.
Topluluk mevcudu:
\( a + b + c + d = 50 \)
Masa tenisi kursuna katılmayan:
\( a + d = 21 \)
Basketbol kursuna katılmayan:
\( a + b = 23 \)
Yalnız bir kursa katılan:
\( a + b + d = 30 \)
Bu eşitlikleri çözdüğümüzde değişkenleri aşağıdaki gibi buluruz.
\( d = 7 \)
\( a = 14 \)
\( b = 9 \)
\( c = 20 \)
Buna göre, basketbol kursuna katılanların sayısı yüzme kursuna katılanların sayısından \( (c + d) - a = (20 + 7) - 14 = 13 \) fazladır.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU
35 kişilik bir sınıfta, kalemi veya silgisi olan 16 kişi, silgisi olmayan 22 kişi, kalemi olmayan 24 kişi olduğuna göre, hem silgisi hem de kalemi olan kaç kişi vardır?
Çözümü Göster\( E \): Evrensel küme
\( K \): Kalemi olanların kümesi
\( S \): Silgisi olanların kümesi
Aşağıdaki Venn şemasında \( a, b, c, d \) ilgili bölgelerdeki kişi sayılarını göstermektedir.
Sınıf mevcudu:
\( a + b + c + d = 35 \)
Kalemi veya silgisi olanlar:
\( a + b + c = 16 \)
Silgisi olmayanlar:
\( a + d = 22 \)
Kalemi olmayanlar:
\( c + d = 24 \)
Bu eşitlikleri çözdüğümüzde değişkenleri aşağıdaki gibi buluruz.
\( d = 19 \)
\( a = 3 \)
\( c = 5 \)
\( b = 8 \)
Buna göre, hem silgisi hem de kalemi olan \( b = 8 \) kişi vardır.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU
Bir sınıfta tarih ve coğrafya derslerinden en az birinden geçen 36, en çok birinden geçen 21, yalnız birinden geçen 13 kişi vardır.
Buna göre bu sınıfta kaç kişi vardır?
Çözümü Göster\( E \): Evrensel küme
\( T \): Tarih dersinden geçenlerin kümesi
\( C \): Coğrafya dersinden geçenlerin kümesi
Aşağıdaki Venn şemasında \( a, b, c, d \) ilgili bölgelerdeki kişi sayılarını göstermektedir.
En az bir dersten geçenler:
\( b + c + d = 36 \)
En çok bir dersten geçenler:
\( a + b + d = 21 \)
Yalnız bir dersten geçen:
\( b + d = 13 \)
Bu eşitlikleri çözdüğümüzde değişkenleri aşağıdaki gibi buluruz.
\( a = 8 \)
\( c = 23 \)
Buna göre sınıf mevcudu \( a + c + \underbrace{b + d}_\text{13} = 8 + 23 + 13 = 44 \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU
58 kişilik bir turist grubunda,
- Alman kızlar ingiliz erkeklerin iki katıdır.
- İngiliz kızlar ingiliz erkeklerden 5 fazladır.
- Alman erkekler alman kızlardan 1 eksiktir.
Buna göre bu grupta kaç kız vardır?
Çözümü GösterVerileri aşağıdaki tabloya siyah renk ile yerleştirelim ve boş hücreleri kırmızı renk ile dolduralım.
Satır ve sütun toplamlarının toplamı birbirine eşit ve 58 olmalıdır.
Sütun toplamlarının toplamını alalım.
\( (3x + 5) + (3x - 1) = 58 \)
\( 6x + 4 = 58 \)
\( x = 9 \)
Buna göre turist grubundaki kızların sayısı \( 3x + 5 = 3(9) + 5 = 32 \) olarak bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU
62 kişilik bir sınıfta öğrencilerin 40 tanesi erkek, 24 tanesi gözlüklüdür.
Gözlüksüz kızlar gözlüklü erkeklerin yarısı ise sınıfta kaç gözlüklü kız vardır?
Çözümü GösterVerileri aşağıdaki tabloya siyah renk ile yerleştirelim ve boş hücreleri kırmızı renk ile dolduralım.
Erkek öğrenciler sütununu kullanarak \( x \)'i bulalım.
\( 2x + (38 - x) = 40 \)
\( x + 38 = 40 \)
\( x = 2 \)
Buna göre gözlüklü kız öğrencilerin sayısı \( 24 - 2x = 24 - 2(2) = 20 \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU
Basketbol ve futbol oynayanların oluşturduğu bir grupta,
- 16 erkek 20 kadın vardır.
- 19 kişi basketbol oynamaktadır.
- Futbol oynayan erkekler ile basketbol oynayan kadınların toplamı 13'tür.
Buna göre basketbol oynayan kaç kadın vardır?
Çözümü GösterVerileri aşağıdaki tabloya siyah renk ile yerleştirelim ve boş hücreleri kırmızı renk ile dolduralım.
Erkekler sütununu kullanarak \( x \)'i bulalım.
\( (6 + x) + x = 16 \)
\( 2x = 10 \)
\( x = 5 \)
Buna göre basketbol oynayan kadın sayısı \( 13 - \underbrace{x}_\text{5} = 8 \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU
Bir kasabada kadınların sayısının erkeklerin sayısına oranı \( \frac{7}{6} \)'dır. Ehliyeti olan kadınların sayısının ehliyeti olan erkeklerin sayısına oranı \( \frac{5}{4} \)'tür. Ehliyeti olmayan kadınların sayısının ehliyeti olmayan erkeklerin sayısına oranı ise \( \frac{2}{3} \)'tür.
Bu kasabada ehliyeti olan erkek olduğuna göre, ehliyeti olmayan kadın sayısı nedir?
Çözümü GösterToplam kadın sayısına \( 7k \), toplam erkek sayısına \( 6k \) diyelim.
Ehliyeti olan erkeklerin sayısını kullanarak ehliyeti olan kadınların sayısını bulalım.
Ehliyeti olan kadınların sayısına \( x \) diyelim.
\( \dfrac{x}{} = \dfrac{5}{4} \)
\( x = \dfrac{ \cdot 5}{4} = \)
Toplam kadın ve erkek sayılarından ehliyeti olan kadın ve erkek sayılarını çıkarırsak ehliyeti olmayan kadın ve erkek sayılarını buluruz.
Tüm bilgileri kullanarak bir tablo oluşturalım.
Ehliyeti olmayan kadınların sayısının ehliyeti olmayan erkeklerin sayısına oranı \( \frac{2}{3} \)'tür.
\( \dfrac{7k - }{6k - } = \dfrac{2}{3} \)
\( 21k - = 12k - \)
\( 9k = \)
\( k = \)
Ehliyeti olmayan kadınların sayısını bulalım.
\( 7k - = - \)
\( = \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
Örnek:
A = { 0, 2, 4, 6, 8 } ise bu küme A = { Çift rakamlar} olarak gösterilebilir.
K = { 0, 1, 2, 3 } ise bu küme K = { x
KÜMELER
Küme Nedir: İyi tanımlanmış nesneler topluluğuna küme denir. Buradaki iyi tanımlanmış, herkes
tarafından aynı şekilde bilinen, belirli olan varlıklar demektir. Kümeler genellikle büyük
harflerle isimlendirilir ve gösterilirler. Ör: A kümesi
Küme Belirtmez
* Çalışkan öğrenciler
* Uzun boylu insanlar
* Bazı hayvanlar
* Birkaç gün
Küme Belirtir
* Boyu m'den uzun öğrenciler
* Uçan hayvanlar
* P harfi ile başlayan günler
KÜMENİN ELEMANI VE ELEMAN SAYISI
Kümeyi oluşturan varlıklara veya sembollere eleman monash.pw sembolü ile gösterilir.
Elemanı değilse sembolü ile gösterilir.
Bir A kümesinin eleman sayısı sembolle s(A) şeklinde gösterilir.
ÖRNEK: A kümesi haftanın P harfi ile başlayan günleri olsun.
Pazartesi A , Pazartesi A kümesinin elemanıdır.
Salı A , Salı A kümesinin elemanı değildir.
s(A)=3 , A kümesinin eleman sayısı 3'tür. => ( pazartesi, perşembe, pazar )
KÜMELERİN GÖSTERİLİŞİ
Kümeler Liste Yöntemi, Ortak Özellik Yöntemi ve Venn Şeması olmak üzere 3 şekilde gösterilir.
NOT: Küme içinde eleman tekrarı yapılmaz. Örneğin ATATÜRK kelimesinin harflerinin oluşturduğu
küme { A, T, Ü, R, K } olur.
1) LİSTE YÖNTEMİ
Kümenin elemanlarının küme parantezi içine yani { } sembolü içine, her bir elemanın arasına virgül
konularak yazılmasına liste yöntemi denir. Örnek:
A = { 1, 2, 3 } - A kümesinin eleman sayısı 3'tür.
B = { } - B kümesinin eleman sayısı 1'dir.
Çünkü rakamlar arasında virgül olmadığından tek elemanı vardır o da 'tür.
2) ORTAK ÖZELLİK YÖNTEMİ
Kümenin elemanlarını; daha somut ya da daha kolay algılanır biçimde, gerektiğinde sözel,
gerektiğinde matematiksel bir ifade olarak ortaya koyma biçimidir.
A = {x : (x in özeliği)}
Burada “x :” ifadesi “öyle x lerden oluşur ki” diye okunur.
Bu ifade “x
nest...