If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.
Bağlandığınız bilgisayar bir web filtresi kullanıyorsa, *funduszeue.info ve *funduszeue.info adreslerinin engellerini kaldırmayı unutmayın.
Sal Khan, aşağıdaki ifadelerin rasyonel mi yoksa irrasyonel mi olduğunu nasıl belirleyebileceğimizi gösteriyor: 9 + √(45), √(45)/ (3*√(5)), ve 3*√(9).Orijinal video Sal Khan tarafından hazırlanmıştır.
Video açıklaması
Burada verilen ifadelerin sonuçlarının rasyonel mi yoksa irrasyonel mi olduğunu bulmamız istenmiş Soruya geçmeden önce rasyonel sayının ne olduğunu bir hatırlayalım Rasyonel sayı, Mesela, x rasyonel bir sayı olsun, X, bir rasyonel sayı olsun Rasyonel bir sayı olabilmesi için x, iki tamsayının birbirine oranı olarak ifade edilebilmeli. Burada olduğu gibi, m ve n iki tamsayı ise, X, M bölü N’ye eşit olabilir. Ama elimizde irrasyonel bir sayı varsa, bu eşitlikten bahsedemeyiz. Evet, rasyonel sayının ne olduğunu hatırladığımıza göre, hafızamızı tazelediğimize göre, şimdi soruya geçelim. 9 rasyonel bir sayıdır. 9’u, 9 bölü 1, 18 bölü 2, Ya da 27 bölü 3 olarak, Yani iki tam sayının birbirine oranı olarak ifade edebiliriz. Peki, 45’in karekökü hakkında ne düşünüyorsunuz? 45’in karekökünü, 9 ve 5’in çarpımının karekökü olarak yazabiliriz değil mi? Ya da, 9’un karekökü çarpı 5’in karekökü. Peki, bunun sonucu ne olur? 9’un karekökü 3’tür. O halde, 3 çarpı 5’in karekökü Bununla birlikte, bu ifade, 9 artı 3 karekök 5 halini alır. Şimdi bu ifadeyi inceleyelim. 5’in karekökü irrasyoneldir. 3 rasyonel bir sayı olmasına rağmen, rasyonel bir sayının irrasyonel bir sayı ile çarpımı irrasyonel bir sayı verir. Aynen burada olduğu gibi, 3 çarpı 5’in karekökü! Son olarak irrasyonel bir sayı ile rasyonel bir sayıyı topluyoruz, değil mi ? Toplam yine irrasyonel olacaktır. O zaman birinci ifade irrasyoneldir diyebiliriz. Şimdi bu ifadeye geçelim, bakalım burada ne varmış? 45’in karekökünü az önce yazdığımız az önce yazdığımız şekilde yeniden yazabiliriz. Yani karekök içinde 9 çarpı 5. Payda ise 3 karekök 5. Sadeleştirmeye devam edelim ve payı, 9’un karekökü çarpı 5’in karekökü olarak yazalım. Pay, yine aynı. Bu, 3 karekök 5 bölü 3 karekök 5’e eşit olur! Bu bölme işleminin sonucu 1’dir! Ve 1 kesinlikle rasyonel bir sayıdır, öyle değil mi? Çünkü 1, 1 bölü 1 2 bölü 2, 3 bölü 3 şeklinde ifade edilebilir. O halde bu ifade rasyonel bir ifadedir diyebiliriz Ve sıra son ifadeye geldi. Burada 3 çarpı 9’un karekökü var. Peki 9 !un karekökü nedir ? 3 O halde, bu ifadeyi 3 çarpı 3 olarak yeniden yazabilirim. O halde 9, az öncede bahsettiğimiz gibi rasyonel bir sayıdır, Çünkü 9’u 9 bölü 1, 27 bölü 3, Veya 45 bölü 5 olarak ifade edebilirim. Kesinlikle rasyonel bir sayı
İrrasyonel sayılar
sayısı irrasyoneldir
İrrasyonel sayılar, rasyonel sayılar kümesine dahil olmayan gerçek sayılardır. Payı ve paydası birer tam sayı olan birkesir olarak ifade edilemeyen bu sayılara (pi sayısı), (e sabiti), (2'nin karekökü) ve (3'ün karekökü) örnek verilebilir. veya ile gösterilir.[1] Bu sayıların ondalık açılımı, kendini tekrar etmeden, sonsuza kadar sürer. Bu açılım irrasyonel sayıların hemen hemen hepsinde (örneğin pi sayısında, ) düzensizdir; ancak bir düzen de gösterebilir, örneğin bütün sayıların sırayla yazılmasıyla edilecek 0, sayısı irrasyoneldir. İrrasyonel sayıların ilk gerçek değerini Archimedes kullanmıştır.
Bir dik üçgenin dik kenarları aynı uzunluktaysa ve rasyonel sayı ile ifade edilebiliyorsa, hipotenüs her zaman irrasyoneldir. Dik kenar ise, hipotenüs olacaktır.
Örnekler
Matematik sabiti pi sayısı(π), popüler kültürde sıkça rastlanan bir irrasyonel sayıdır.
irrasyonel sayıdır
irrasyonel sayıdır
irrasyonel sayıdır
irrasyonel sayıdır
irrasyonel sayı değildir çünkü rasyonel karşılığı vardır
irrasyonel sayı değildir çünkü rasyonel karşılığı vardır
Kaynakça[değiştir
Kök 2 Rasyonel Bir Sayı Değildir!
Matematik tarihine bakıldığı zaman bizim için çok küçük hatta önemsiz gibi gözüken bir ifadenin arkasında kanlı ya da olaylı bir geçmiş vardır. sayısının arkasındaki bu gerçek ise matematik tarihini olduğu kadar bilim ile uğraşan tüm herkesin ilgisini çekmiştir. Pisagor okulunda doğal sayıların &#;İlahlaştırılması&#; bu sayılardan başka bir sayı grubunun olamayacağını gösteren nitelikten biriydi. Bu yazıda bu kanlı kavganın hikayesini anlatmaktan ziyade bu sayının yani köklü sayıların &#; biz özel bir sayı alıyoruz -irrasyonel sayı olduğunu gösterelim.
Rasyonel sayılar a/b biçiminde ifade edilen (a,b)=1 olacak biçimde ifade edilen &#; bu noktada &#;b&#; sayısının 0&#;dan farklı bir sayı olduğunu da düşünürsek &#; sayılara denilmektedir. Matematikte sizlerinde yakından bildiği olmayan ergi yöntemini yani aksini kabul etme yöntemini kullanarak kanıtımızı yapmaya çalışalım. Diyelim kisayısı rasyonel bir sayı olsun ve bu durumda da a/b biçiminde de yazılabilsin. Yani bu durumda,
a/b=
yazılır. Her iki tarafın da karesini alarak karekök ifadesinden kurtulalım.
olur. Düzenleme de yaparsak,
elde ederiz.
Bu durumda 2&#;nin bir katı olan ifadesi bir çift sayıdır. Ee, ifadesi çift ise bu durumda a sayısı da çift olmak zorundadır değil mi? Bu durumda da a sayısı 2c biçiminde yazılabilen bir sayıdır. Yukarıda eşitliği alalım ve,
biçiminde yazalım. Her iki tarafı da 2&#;ye bölelim ve karşımıza çıkan eşitliğe bakalım.
olacaktır. İfadeye bakıldığı zaman ifadesi 2&#;nin yine bir katı olduğu için çift olacaktır.ifadesi çift ise bu durumda da b sayısı çift olmalıdır. Bu durumda da hem a hem de b sayısının bir ortak böleni olacaktır. Bu da 2 sayısıdır. Fakat bizim ilk orijinal fikrimiz rasyonel olduğunu kabul edip (a,b)=1 ifadesinin sağlanması idi. Bu durumda karşımıza bir çelişki gelecektir. Dolayısıylasayısı rasyonel olmayıp irrasyonel bir sayıdır. Siz de herhangi bir köklü sayıyının kanıtını aynen bu şekilde yapabilirsiniz.
Bu sayının keşfi ise yukarıda da bahsettiğimiz üzere Hippasus of Metapontum (Hippasus) adlı matematikçi ve felsefecinin suda boğularak öldürülmesi &#; köklü sayıların mucidi diyebiliriz- ile bizlere kadar ulaşmıştır. Ama okurun o dönemler kıyametlerin koptuğunu da unutmaması gerekmektedir.
Matematik, sayıların bilimidir ve tıpkı diğer bilim türleri gibi, sürekli olarak gelişmektedir. Bununla birlikte, yeni fikirler yarattığı çelişkilerden dolayı her zaman hoş karşılanmaz. Benzer bir şekilde, irrasyonel sayıların keşfi de yerleşik sayı doktrinlerine meydan okumuştu.
En ünlü irrasyonel sayı ise elbette bazen Pisagor sabiti olarak da adlandırılan karekök iki sayısıdır. Bu yazıda irrasyonel sayılar ile ilgili akıllara takılan bir kaç konu hakkında kısa bilgiler paylaşalım.
Rasyonel ve İrrasyonel Sayılar nedir?
Sayılar ve matematik için ilk temelimiz, bir şeyleri sayma ve ölçmeye yönelik pratik ihtiyaçtan kaynaklanmaktadır. Bu nedenle doğal sayıları kavramak kolaydır. Ölçülebilir miktarları daha küçük parçalara bölme ihtiyacı nedeniyle kesirler de mantığa uygun gelmektedir. Bu nedenle iki sayma sayısının oranı biçiminde yazılabilen sayılar bugün rasyonel sayılar olarak biliniyor.
Bunun karşıtı gibi gözüken “İrrasyonel sayılar” adı, kelimenin tam anlamıyla bu sayıların “mantıktan yoksun” olduğu anlamına gelmez. Aslında a/b biçiminde ifade edilemeyen herhangi bir sayı irrasyonel bir sayıdır. Bu nedenle karekök 2 bir irrasyonel sayıdır. Çünkü bu sayıyı bir kesir ile gösterme şansımız yoktur.
Pi Sayısı Rasyonel midir?
Bu arada merak edilen bir soru Pi sayısının irrasyonel bir sayı olup olmadığıdır. Bunun nedeni aslında okullarda pi sayısının 22/7 biçiminde öğretilmesidir. Sonuçta 22/7 rasyonel bir sayı olduğu için, pi sayısı da olmalıdır diye düşünülür. Ancak bu düşünce elbette yanlıştır.
22/7 pi sayısı ile işlem yapmaya kolaylaştırmak adına kullanılan yaklaşık bir değerdir. Pi sayısına eşit değildir. Zaten hiç bir sayı pi sayısına eşit olamaz. Pi sayısı ile ilgili daha fazla bilgiye bu yazımızdan erişebilirsiniz. Binlerce Yıldır Dünyayı Büyüleyen Pi Sayısı Hakkında Bazı İlginç Bilgiler
İnsanlar bu tür sayıların varlığından haberdar olsalar da, rasyonel sayıların tanımıyla çeliştikleri için Pisagor zamanında henüz kanıtlanamamıştı. Pisagor’un öğrencilerinden Hippasus tarihte “irrasyonel” sayıların varlığını kanıtlayan ilk kişi olarak kabul edilmektedir.
Hippasus dik kenar uzunlukları 1 birim olan bir ikizkenar dik üçgende Pisagor Teoremi uygulandığında hipotenüsün uzunluğunu veren, yani karesi 2’ye eşit olan sayının iki sayma sayısının oranı olarak ifade edilemeyeceğini keşfetti.
Kenarları 1 birim uzunluğunda olan karenin köşegeni karekök 2 birim uzunlukta idi. Yani yaklaşık Bugün için size bu sayı garip gelmeyebilir ancak o dönemde durum farklıydı. Ancak farklı bir sayı kümesinin varlığı dönemin mevcut inançları ile çelişmekteydi. Bu da aslında Hippasus’un sonunu hazırlamıştı.
Karekök 2 sayısı İrrasyoneldir dediğimizde ne demek İsteriz?
Örneğin Karekök 2 sayısını bir hesap makinası yardımı ile hesaplarsak … gibi bir sonuç elde ederiz. Dikkat ederseniz rakamlar arasında hiçbir tekrar bulunmamaktadır.
Şimdi aşağıdaki örneklere bakalım. 1/7= … biçiminde bir sonuca sahiptir. Dikkatli bakarsanız rakam öbeği tekrarlamaktadır. Şimdide 1/ kesrine bakalım.
1/=0… biçiminde devam eder.
Kesrin ilk basamağını hesapladığımızda herhangi bir tekrar görmeyiz. Bu, kesrin irrasyonel olduğu anlamına mı gelir? Hayır gelmez. Eğer hesaplamamızı basamağa kadar götürürsek sayıda rakamlı bir devir bulunduğunu buluruz. Oysa ki, bir irrasyonel sayıda böyle bir tekrar elde etmemiz mümkün değildir.
Hippasus’un Karekök 2 sayısı İçin yaptığı İspat
Kendisi işe √2 sayısının rasyonel yani iki sayma sayısının oranı olduğunu kabul ederek başladı. Her rasyonel sayı bir oran olarak ifade edilebildiğinden, √2, p / q biçiminde yazılır. Burada, p ve q tamsayıdır ve 1 dışında herhangi bir ortak bölene sahip değildir.
Denklemin her iki tarafının karesi alındığında p2/q2=2, yani diğer bir deyişle p2=2q2 olur. Tek sayıların karelerinin her zaman tek sayı verdiğini, çift sayının karesinin ise her zaman çift sayı verdiğini biliyoruz. Buradan anlıyoruz ki p sayısı bir çift sayıdır.
O zaman bir k tamsayısı için p=2k yazabiliriz. Şimdi bunu denklemde yerine yazalım. 2q2=(2k)2=4k2olur. Gerekli sadeleştirme sonucunda q2=2k2 ifadesi bulunur. Bu durumda q2‘nin, dolayısıyla q’nun da çift olması gerekiyor.
Ve işte burada işler karışıyor, sonuçta ikisi de çift sayı ise sadeleşebilmeliler oysa biz başlangıçta bu sayıların aralarında asal olduğunu yani sadeleşmediğini kabul etmiştik. Bu, başlangıçtaki “Karekök 2” nin rasyonel bir sayı olduğu varsayımımızın yanlış olduğu ve bu nedenle irrasyonel olması gerektiği anlamına gelir.
Hippasus Neden Öldü?
İrrasyonel sayıların keşfi, matematik adına önemli bir keşifti. Takip eden zamanda, tek doğru matematik bilimi sürekli büyüklükler arasındaki ilişkilerin çalışıldığı geometri olacaktı. Ancak değişim gelenekçiler için kolay değildir. Sonuçta bu keşif onların mutlak gerçeğinin karşısında duruyordu.
Yunan filozof Hippasus bir gün güney İtalya’daki evinden ayrıldı ve bir gemiye bindi. Hippasus’un neden seyahat ettiğini ya da nereye gideceğini bilmiyoruz ancak yapamadığını biliyoruz.
Efsaneye göre gemi kıyıdan uzaklaştığında, zavallı filozof Pisagor kardeşliğindeki dostları tarafından saldırıya uğradı ve denize atıldı. Pisagorcuların arkadaşlarına aniden saldırmaları için iyi sebepleri vardı. Sonuçta onlar Pisagor’un öğretilerini körü körüne takip eden kişilerdi. Efsane ya da değil kesin bilemeyiz ama gerçeklik payı kulağa olası gibi geliyor.
Ancak yine de sonuç değişmeyecekti. Hippasus’un keşfi batı matematiğinin akışını birçok yönden değiştirdi. Ayrıca göz atmanızı öneririz: Her şey Sayı mı Yoksa Geometri mi? Pisagor ve Eudoxus
Kaynaklar ve ileri okumalar:
Size Bir Mesajımız Var!
Matematiksel, yılından beri yayında olan ve Türkiye’de matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak bilimin bütünsel yapısı itibari ile diğer bilim dalları ile ilgili konular da ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak veya Patreon üzerinden ufak bir bağış yaparak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım.
irrasyonel sayıdır