Bölümün ve Bölmenin Türevi Nedir?
Bölümün ve bölmenin türevi işleminde çarpım türevine benzer bir yol izlenmektedir. Bölüm türevi olarak tanımlanan bu konu fonksiyon konusunu yakından ilgilendirmektedir. Fonksiyonlar bir işlemin yapılmasını kolaylaştıran matematik konuları içerisinde yer almaktadır.
Bölüm ve bölmenin türevi formülü verilmeden önce Türev tanımına bakmak gerekmektedir. Türev;
Fonksiyonun bir nokta üzerinde türevinin oluşması için olması gereken koşul mevcut noktada süreklilik olmasıdır. Yani Mutlak değer tek katlı kökler için köşe oluşturur. Köşe yani uç noktalarda türevden bahsedilemez.
Türevler matematik bilim dalı içerisinde oldukça zor konular arasında yer almaktadır. Bu bağlamda temelde fonksiyon konularının çok iyi öğrenilmesi ve pekiştirilmesine ihtiyaç duyulmaktadır.
Bölümün ve Bölmenin Türevi Nasıl Alınır?
Bölümün ve bölmenin türevleri konusunda örnek ile açıklamalarına bakılacak olursa;
Örnek soru: f(y)= 1/y ise f(y) fonksiyonunun Türevini bulunuz?
Cevap; Çözüm:
f(y) = 1/y fonksiyonunu g(y) ve h(y) olmak üzere iki kısma ayırmak uygun olacaktır. Payda g(y), paydadaki ifade h(x) olsun.
g(y) = 1
g’(y) = 0
h(y) = y
h’(y) =1
Bu durumda f(y)= g(y)/h(y)
f'(y)= g'(y)/h'(y)
f'(y) = g’(y) . h(y) – h’(y) . g(y) / [h(y)]2
f'(y) = /y2
f'(y) = - 1/x2 olarak sonuç bulunmaktadır.
SORU
\( f(x) = \dfrac{x}{x - 1} \) olduğuna göre,
\( f'(x) \) ifadesini bulalım.
Çözümü GösterBölme kuralını kullanarak fonksiyonun türevini alalım.
\( f'(x) = \dfrac{x' \cdot (x - 1) - x \cdot (x - 1)'}{(x - 1)^2} \)
\( = \dfrac{x - 1 - x}{(x - 1)^2} \)
\( = -\dfrac{1}{(x - 1)^2} \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU
\( f(x) = \dfrac{x^7 + x^6 + x^{-5}}{\sqrt[3]{x} + \sqrt{x} - 12} \) olduğuna göre
\( f'(64) \) ifadesinin değerini bulunuz.
Çözümü GösterBu tip türevi karmaşık fonksiyonlarda ilk önce fonksiyonun istenen noktada türevli olup olmadığını kontrol edebiliriz.
Fonksiyonda \( x = 64 \) koyduğumuzda paydanın sıfır olduğunu, dolayısıyla fonksiyonun tanımsız olduğunu görüyoruz. Fonksiyon bu noktada tanımsız olduğu için aynı zamanda süreksizdir ve türevlenebilir değildir.
Dolayısıyla fonksiyon bu noktada türevsizdir.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU
\( f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x) \) \( = (x^2 - 4x + 13) \cdot g^2(x) \) olarak tanımlanmıştır.
Verilen ifadeye göre \( (\dfrac{f}{g})'(2) \) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözümü GösterEşitliğin iki tarafını \( g^2(x) \)'ye bölelim.
\( \dfrac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{g^2(x)} = x^2 - 4x + 13 \)
Eşitliğin sol tarafının iki fonksiyonun bölümünün türevinin formülü olduğunu görüyoruz.
\( (\dfrac{f}{g})'(x) = x^2 - 4x + 13 \)
\( x = 2 \) koyarak bizden istenen ifadeyi hesaplayabiliriz.
\( (\dfrac{f}{g})'(2) = 2^2 - 4 \cdot 2 + 13 \)
\( = 9 \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU
\( g(x) = \dfrac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt{x}} \) olmak üzere,
\( g'(x) \) türevini bulalım.
Çözümü GösterBölme kuralını kullanarak fonksiyonun türevini alalım.
\( g'(x) = \dfrac{(\sqrt[3]{x})' \cdot \sqrt{x} - \sqrt[3]{x} \cdot (\sqrt{x})'}{\sqrt{x}^2} \)
\( = \dfrac{\dfrac{\sqrt{x}}{3\sqrt[3]{x^2}} - \dfrac{\sqrt[3]{x}}{2\sqrt{x}}}{x} \)
\( = \dfrac{2x^{\frac{1}{2}}x^{-\frac{2}{3}} - 3x^{\frac{1}{3}}x^{-\frac{1}{2}}}{6x} \)
\( = \dfrac{2x^{-\frac{1}{6}} - 3x^{-\frac{1}{6}}}{6x} \)
\( = -\dfrac{x^{-\frac{1}{6}}}{6x} \)
\( = -\dfrac{1}{6x\sqrt[6]{x}} \)
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU
\( f(x) = \dfrac{x^2 + mx}{3 - x} \) şeklinde verilmiştir.
\( f(1) + f'(2) = \dfrac{3}{2} \) olduğuna göre, \( m \) değeri kaçtır?
Çözümü GösterÖncelikle \( f(1) \) değerini bulmak için \( x = 1 \) yazalım.
\( f(1) = \dfrac{1^2 + m \cdot 1}{3 - 1} \)
\( = \dfrac{1 + m}{2} \)
Bölme kuralını kullanarak fonksiyonun türevini alalım.
\( f'(x) = \dfrac{(2x + m) \cdot (3 - x) - (x^2 + mx) \cdot (-1)}{(3 - x)^2} \)
\( = \dfrac{(2x + m) \cdot (3 - x) + (x^2 + mx)}{(3 - x)^2} \)
Şimdi \( f'(2) \) değerini bulmak için \( x = 2 \) koyalım.
\( f'(x) = \dfrac{(2 \cdot 2 + m) \cdot (3 - 2) + (2^2 + m \cdot 2)}{(3 - 2)^2} \)
\( = (4 + m) + (4 + 2m) \)
\( = 3m + 8 \)
Soruda verilen eşitlikteki ifadeleri yerlerine yazalım.
\( f(1) + f'(2) = \dfrac{3}{2} \)
\( \dfrac{1 + m}{2} + 3m + 8 = \dfrac{3}{2} \)
\( 1 + m + 6m + 16 = 3 \)
\( 7m = \)
\( m = -2 \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU
\( f(x) = x^3 - x \) olduğuna göre,
\( \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x + h) - f(x)}{h} \) ifadesinin eşiti nedir?
Çözümü GösterSORU
\( f(x) = 2x^2 + 4x +1 \) olarak tanımlanmıştır.
Buna göre \( \lim_{x \to 2} \dfrac{f(x) - f(2)}{x - 2} \) ifadesi kaça eşittir?
Çözümü GösterVerilen ifade \( f \) fonksiyonunun \( x = 2 \) noktasındaki türevinin limit tanımına eşittir.
\( f'(2) = \lim_{x \to 2} \dfrac{f(x) - f(2)}{x - 2} \)
Fonksiyonun türevini alalım.
\( f'(x) = 4x + 4 \)
Şimdi \( f'(2) \) değerini bulmak için \( x = 2 \) koyalım.
\( f'(2) = 4 \cdot 2 + 4 \)
\( f'(2) = 12 \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU
\( g(x) = x^2 + x + 3 \) olmak üzere,
\( \lim_{x \to 3} \dfrac{g(3) - g(x)}{x - 3} \) ifadesi kaça eşittir?
Çözümü GösterPaydaki terimlerin yerlerini değiştirirsek verilen ifade \( g \) fonksiyonunun \( x = 3 \) noktasındaki türevinin limit tanımına eşittir.
\( g'(3) = \lim_{x \to 3} \dfrac{g(x) - g(3)}{x - 3} \)
\( -g'(3) = -\lim_{x \to 3} \dfrac{g(x) - g(3)}{x - 3} \)
\( -g'(3) = \lim_{x \to 3} \dfrac{g(3) - g(x)}{x - 3} \)
Fonksiyonun türevini alalım.
\( g'(x) = 2x + 1 \)
Şimdi \( g'(3) \) değerini bulmak için \( x = 3 \) koyalım.
\( g'(3) = 2 \cdot 3 + 1 \)
\( g'(3) = 7 \)
Sorulan ifadenin eşiti \( -g'(3) \) olduğu için sonucu da \( -1 \) ile çarpalım.
\( -g'(3) = -7 \)
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU
\( f(x) = 2x^3 - x^2 + 4x + \sqrt{3} \) ise \( f'(2) \) değeri kaçtır?
Çözümü GösterFonksiyonun türevini alalım.
\( f'(x) = 6x^2 - 2x + 4 \)
Türev fonksiyonunun \( x = 2 \) için değerini bulalım.
\( f'(2) = 6 \cdot 2^2 - 2 \cdot 2 + 4 \)
\( = 24 - 4 + 4 = 24 \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU
\( f(x) = \sqrt{x} - 2\sqrt[3]{x} + 3\sqrt[3]{x^2} \) ise,
\( \frac{dy}{dx} \)'in \( x = 64 \) için değeri nedir?
Çözümü Göster\( \frac{dy}{dx} \) ifadesi fonksiyonun \( x \)'e göre birinci türevidir.
Fonksiyondaki köklü ifadeyi üslü ifadeye çevirelim.
\( f(x) = x^{\frac{1}{2}} - 2x^{\frac{1}{3}} + 3x^{\frac{2}{3}} \)
Fonksiyonun türevini alalım.
\( f'(x) = \dfrac{1}{2}x^{\frac{1}{2} - 1} - 2\dfrac{1}{3}x^{\frac{1}{3} - 1} + 3\dfrac{2}{3}x^{\frac{2}{3} - 1} \)
\( = \dfrac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} - \dfrac{2}{3}x^{-\frac{2}{3}} + 2x^{-\frac{1}{3}} \)
\( = \dfrac{1}{2\sqrt{x}} - \dfrac{2}{3\sqrt[3]{x^2}} + \dfrac{2}{\sqrt[3]{x}} \)
Türev fonksiyonunun \( x = 64 \) için değerini bulalım.
\( f'(64) = \dfrac{1}{2\sqrt{64}} - \dfrac{2}{3\sqrt[3]{64^2}} + \dfrac{2}{\sqrt[3]{64}} \)
\( = \dfrac{1}{16} - \dfrac{2}{48} + \dfrac{2}{4} \)
\( = \dfrac{25}{48} \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU
\( f(x) = x^3 \cdot g(x) \)
\( g(2) = 4, \quad g'(2) = 3 \)
olduğuna göre, \( f'(2) \) kaçtır?
Çözümü GösterÇarpım kuralını kullanarak \( f \) fonksiyonunun türevini alalım.
\( f'(x) = (x^3)' \cdot g(x) + x^3 \cdot (g(x))' \)
\( f'(x) = 3x^2 \cdot g(x) + x^3 \cdot g'(x) \)
\( x = 2 \) koyarak \( f \) fonksiyonunun bu noktadaki türevini bulalım.
\( f'(2) = 3(2)^2 \cdot g(2) + 2^3 \cdot g'(2) \)
\( = 12 \cdot 4 + 8 \cdot 3 \)
\( = 72 \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU
\( f(x) = \dfrac{x^2}{g(x) + 1} \)
\( g(2) = 3, \quad g'(2) = 2 \)
olduğuna göre, \( f'(2) \) kaçtır?
Çözümü GösterBölme kuralını kullanarak \( f \) fonksiyonunun türevini alalım.
\( f'(x) = \dfrac{(x^2)' \cdot (g(x) + 1) - x^2 \cdot (g(x) + 1)'}{(g(x) + 1)^2} \)
\( = \dfrac{2x \cdot (g(x) + 1) - x^2 \cdot g'(x)}{(g(x) + 1)^2} \)
\( x = 2 \) koyarak \( f \) fonksiyonunun bu noktadaki türevini bulalım.
\( f'(2) = \dfrac{2(2) \cdot (g(2) + 1) - 2^2 \cdot g'(2)}{(g(2) + 1)^2} \)
\( = \dfrac{4 \cdot (3 + 1) - 4 \cdot 2}{(3 + 1)^2} \)
\( = \dfrac{16 - 8}{16} = \dfrac{1}{2} \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU
\( f(x) = \dfrac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x}} \) ise \( f'(4) \) kaçtır?
Çözümü GösterBölme kuralını kullanarak \( f \) fonksiyonunun türevini alalım.
\( f'(x) = \dfrac{(\sqrt{x} + 2)' \cdot \sqrt{x} - (\sqrt{x} + 2) \cdot (\sqrt{x})'}{(\sqrt{x}^2)} \)
\( = \dfrac{\frac{1}{2\sqrt{x}} \cdot \sqrt{x} - (\sqrt{x} + 2) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}}{x} \)
\( = \dfrac{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{x} + 2}{2\sqrt{x}}}{x} \)
\( f'(4) \) değerini bulmak için türev fonksiyonunda \( x = 4 \) koyalım.
\( f'(4) = \dfrac{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{4} + 2}{2\sqrt{4}}}{4} = -\dfrac{1}{8} \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU
\( f(x) \) bir polinom fonksiyonu olmak üzere,
\( f(x) + f'(x) = 2x^2 + 8x + 6 \) olduğuna göre, \( f(x) \) fonksiyonu nedir?
Çözümü Göster\( f(x) \) bir polinom fonksiyonu olduğu için \( f'(x) \) fonksiyonunun derecesi \( f(x) \) fonksiyonunun derecesinden 1 eksik olur.
Buna göre \( f(x) + f'(x) \) fonksiyonu 2. dereceden ise \( f(x) \) de \( 2. \) dereceden olmalıdır.
\( f(x) = ax^2 + bx + c \)
\( f'(x) = 2ax + b \)
\( f(x) + f'(x) = 2x^2 + 8x + 6 \)
\( ax^2 + bx + c + 2ax + b = 2x^2 + 8x + 6 \)
\( ax^2 + (2a + b)x + b + c = 2x^2 + 8x + 6 \)
Birbirine eşit iki polinomun aynı dereceli terimlerinin katsayıları birbirine eşit olur.
\( a = 2 \)
\( 2a + b = 8 \Longrightarrow b = 4 \)
\( b + c = 6 \Longrightarrow c = 2 \)
\( f(x) = 2x^2 + 4x + 2 \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU
\( f \) ve \( g \) tüm reel sayılarda türevlenebilir fonksiyonlar,
\( f(2) = 3, \quad g(2) = 2 \),
\( f'(2) = -1, \quad g'(2) = 4 \) olduğuna göre,
\( (\dfrac{f + g}{f \cdot g})'(2) \) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözümü GösterBölme kuralını kullanarak \( \frac{f + g}{f \cdot g} \) fonksiyonunun türevini alalım.
\( (\dfrac{f + g}{f \cdot g})' = \dfrac{(f + g)' \cdot (f \cdot g) - (f + g) \cdot (f \cdot g)'}{(f \cdot g)^2} \)
\( = \dfrac{(f' + g') \cdot (f \cdot g) - (f + g) \cdot (f' \cdot g + f \cdot g')}{(f \cdot g)^2} \)
\( (\dfrac{f + g}{f \cdot g})'(2) \) değerini bulmak için yukarıdaki türev fonksiyonunda ilgili değerleri yerine koyalım.
\( (\dfrac{f + g}{f \cdot g})'(2) = \dfrac{(f'(2) + g'(2)) \cdot f(2) \cdot g(2) - (f(2) + g(2)) \cdot (f'(2) \cdot g(2) + f(2) \cdot g'(2))}{(f(2) \cdot g(2))^2} \)
\( = \dfrac{(-1 + 4) \cdot 3 \cdot 2 - (3 + 2) \cdot (-1 \cdot 2 + 3 \cdot 4)}{(3 \cdot 2)^2} \)
\( = \dfrac{18 - 50}{36} = -\dfrac{8}{9} \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
157593 157594 157595 157596 157597
çamaşır makinesi ses çıkarması topuz modelleri kapalı huawei hoparlör cızırtı hususi otomobil fiat doblo kurbağalıdere parkı ecele sitem melih gokcek jelibon 9 sınıf 2 dönem 2 yazılı almanca 150 rakı fiyatı 2020 parkour 2d en iyi uçlu kalem markası hangisi doğduğun gün ayın görüntüsü hey ram vasundhara das istanbul anadolu 20 icra dairesi iletişim silifke anamur otobüs grinin 50 tonu türkçe altyazılı bir peri masalı 6. bölüm izle sarayönü imsakiye hamile birinin ruyada bebek emzirdigini gormek eşkiya dünyaya hükümdar olmaz 29 bölüm atv emirgan sahili bordo bereli vs sat akbulut inşaat pendik satılık daire atlas park avm mağazalar bursa erenler hava durumu galleria avm kuaför bandırma edirne arası kaç km prof dr ali akyüz kimdir venom zehirli öfke türkçe dublaj izle 2018 indir a101 cafex kahve beyazlatıcı rize 3 asliye hukuk mahkemesi münazara hakkında bilgi 120 milyon doz diyanet mahrem açıklaması honda cr v modifiye aksesuarları ören örtur evleri iyi akşamlar elle abiye ayakkabı ekmek paparası nasıl yapılır tekirdağ çerkezköy 3 zırhlı tugay dört elle sarılmak anlamı sarayhan çiftehan otel bolu ocakbaşı iletişim kumaş ne ile yapışır başak kar maydonoz destesiyem mp3 indir eklips 3 in 1 fırça seti prof cüneyt özek istanbul kütahya yol güzergahı aski memnu soundtrack selçuk psikoloji taban puanları senfonilerle ilahiler adana mut otobüs gülben ergen hürrem rüyada sakız görmek diyanet pupui petek dinçöz mat ruj tenvin harfleri istanbul kocaeli haritası kolay starbucks kurabiyesi 10 sınıf polinom test pdf arçelik tezgah üstü su arıtma cihazı fiyatları şafi mezhebi cuma namazı nasıl kılınır ruhsal bozukluk için dua pvc iç kapı fiyatları işcep kartsız para çekme vga scart çevirici duyarsızlık sözleri samsung whatsapp konuşarak yazma palio şanzıman arızası