Grafikten Tanım Kümesini ve Görüntü Kümesini Bulalım
If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.
Bağlandığınız bilgisayar bir web filtresi kullanıyorsa, *funduszeue.info ve *funduszeue.info adreslerinin engellerini kaldırmayı unutmayın.
Grafiği verilen bir fonksiyonun tanım kümesinin ve görüntü kümesini nasıl bulabileceğimizi öğfunduszeue.infoal video Sal Khan tarafından hazırlanmıştır.
Video açıklaması
f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Bu fonksiyonun tanım kümesi nedir? Grafikten, bu mavi çizginin, f(x)'in bütün fonksiyon tanımları olduğu sonucunu çıkarabiliriz. Örneğin "x eksi 9 olduğunda f(x) nedir?" dendiğinde buraya gelip bakıyoruz ve bunun grafiği çizilmemiş, yani burada x eksi 9, x eşittir eksi 9'un tanımı verilmemiş. x'in eksi 8,5 ya da eksi 8 olduğu fonksiyon da yok. Tanım kümesi x'in eksi 6'ya eşit olduğu yerden başlıyor. x eksi 6'ya eşit olduğunda f(x) 5 oluyormuş. Devamında da tanımlanmaya devam ediyor. Yani f(x), x'in eksi 6'dan 7'ye kadar aldığı bütün değerlerde tanımlanmış. x 7 olduğunda f(x) 5'miş. x için eksi 6'dan 7'ye kadar eksi 6 ve 7 de dahil olmak üzere bütün değerleri kullanabiliriz. x bu değerlerden birini aldığında da fonksiyonun ne olduğunu bulmak için de yukarıda denk düştüğü noktaya bakmamız yeterli olacaktır. O halde, bu fonksiyonun tanım kümesi nedir? f(x), x'in eksi 6 ya da daha büyük olduğu değerden, 7 ya da daha küçük olduğu değere kadar tanımlıdır. Yani x, eksi 6 küçük eşittir x küçük eşittir 7 eşitliğine uyuyorsa fonksiyon tanımlıdır. O halde tanım kümemiz de budur. Evet bunlardan birkaç tane daha yapalım. f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Bu fonksiyonun tanım kümesi nedir? Aynı şekilde, bu fonksiyon da x'in, mesela eksi 9 veya eksi 8 olduğu durumlarda tanımlı değil. x'in eksi 1 veya daha büyük olduğu değerlerde tanımlanabilir olmaya başlıyor. f( eksi 1) eksi 5'e eşit. Fonksiyon x en fazla 7'ye eşit olana kadar tanımlı. Yani eksi 1 küçük eşittir x küçük eşittir 7. Fonksiyon bu eşitliği sağlayan her x için tanımlı. Evet bir tane daha. f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Bu fonksiyonun değer kümesi nedir? Bu sefer değer kümesi sorulmuş, yani artık fonksiyonu tanımlayan x değerlerini düşünmüyoruz. Bu sefer y'nin alabileceği değerlerin peşindeyiz. Peki y değerlerimiz nereye düşüyor? y'nin, yani f(x)'in alabileceği en düşük değer 0 fonksiyon asla 0'ın altına düşmez. O halde 0 küçük eşittir f(x). Küçük eşittir diyoruz çünkü x'in eksi 4 olduğu yerde y gerçekten de 0'a eşit. y'nin alabileceği en yüksek değer ise 8. Gördüğünüz gibi, f(7) 8'e eşit. 8'den yukarı çıkmıyor ama 8'e eşit olduğu bir nokta var. O halde 0 küçük eşittir f(x) küçük eşittir 8. Değer kümesi budur. Evet eğlenceli değil mi? Bir tane daha yapalım son. f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Bu fonksiyonun tanım kümesi ne? Yine bir tanım kümesi sorusu bu fonksiyon eksi 2'den 5'e kadar tanımlanmış eksi 2 ve 5 de dahil. Eğer x, eksi 2 ve 5 arasında bir değerse bu grafiğe bakıp fonksiyonun nerede tanımlandığını bulabilirim. f( eksi 2) eşittir eksi 4 f( eksi 1) eşittir 3, ev bunun gibi. Bu çentiklerin arasındaki değerleri bile seçebiliriz. eksi 2 küçük eşittir x küçük eşittir 5. Hepsi bu.
kaynağı değiştir]
^Paley, H. Abstract Algebra, Holt, Rinehart and Winston, (s. 16).
^Smith, William K. Inverse Functions, MacMillan, (s. 8).
Değer kümesi
Matematikte verilmiş bir fonksiyonundeğer kümesi, fonksiyonun tanımlı olduğu "çıkış" değerlerinin oluşturduğu kümedir[1]. Örneğin, kosinüsün değer kümesi [-1; 1] gerçel sayılar aralığıyken gerçel sayılardakarekök fonksiyonunun değer kümesi bütün gerçel sayılardır. Fonksiyonun xyKartezyen koordinat sistemindeki temsilinde değer kümesi y-ekseniyle (ordinat) temsil edilir.
f(x) = √x'in değer kümesi [0; ∞] arasındaki tüm sayılardır.
Kesin tanım[değiştir
Fonksiyonların Tanım ve Görüntü Kümesi
SORU 1:
\( A = \{4, 5, 7, 8\} \)
\( B = \{10, 12, 13, 15, 19, 22\} \)
\( f: A \to B \)
\( f(x) = 3x - 2 \) olduğuna göre, \( f \) fonksiyonunun görüntü kümesi nedir?
Çözümü Göster
\( x \) yerine tanım kümesindeki tüm elemanları sırayla yazarak \( f \) fonksiyonunun görüntü kümesini bulalım.
\( f(4) = 3 \cdot 4 - 2 = 10 \)
\( f(5) = 3 \cdot 5 - 2 = 13 \)
\( f(7) = 3 \cdot 7 - 2 = 19 \)
\( f(8) = 3 \cdot 8 - 2 = 22 \)
\( f(A) = \{10, 13, 19, 22\} \) olarak bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 2:
\( f: A \to B \)
\( f(x) = \dfrac{x - 2}{2} \)
\( f(A) = \{2, 4, 6\} \) olduğuna göre, \( A \) kümesi nedir?
Çözümü Göster
\( f(A) \) fonksiyonun görüntü kümesidir. Bu görüntü değerlerini veren \( x \) değerlerini bulalım.
\( \dfrac{x - 2}{2} = 2 \Longrightarrow x = 6 \)
\( \dfrac{x - 2}{2} = 4 \Longrightarrow x = 10 \)
\( \dfrac{x - 2}{2} = 6 \Longrightarrow x = 14 \)
Buna göre görüntüsü \( f(A) \) olan tanım kümesi \( A = \{ 6, 10, 14 \} \) olur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 3:
\( f: (-2, 4] \to \mathbb{R} \)
\( f(x) = \dfrac{4x + 1}{2} \) olduğuna göre, fonksiyonun görüntü kümesindeki tam sayıların toplamı kaçtır?
Çözümü Göster
Fonksiyon doğrusal olduğu için tanım kümesinin sınır değerlerini fonksiyonda yerine koyarak görüntü kümesinin sınır değerlerini bulabiliriz.
\( \dfrac{4(-2) + 1}{2} = -\dfrac{7}{2} \)
\( \dfrac{4(4) + 1}{2} = \dfrac{17}{2} \)
Görüntü kümesi: \( (-\frac{7}{2}, \frac{17}{2}] \)
Fonksiyon doğrusal olduğu için bu aralıktaki her reel sayı değeri alır.
Buna göre görüntü kümesindeki tam sayılar aşağıdaki gibidir.
\( \{ -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 \} \)
Bu sayıların toplamı \( 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 30 \) olur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 4:
\( f = \{ (1, 2), (2, 1), (3, 4), (4, 1) \} \)
\( f \) fonksiyonunun tanım, değer ve görüntü kümelerinden hangisi ya da hangileri \( \{ 1, 2, 3, 4, 5 \} \) olabilir?
Çözümü Göster
Fonksiyonun eşlemelerindeki birinci bileşenler tanım kümesini verir. Buna göre \( f \) fonksiyonunun tanım kümesi \( \{ 1, 2, 3, 4 \} \) olur.
Fonksiyonun eşlemelerindeki ikinci bileşenler görüntü kümesini verir. Buna göre \( f \) fonksiyonunun görüntü kümesi \( \{ 1, 2, 4 \} \) olur.
Değer kümesi görüntü kümesini kapsayan herhangi bir küme olabilir. \( \{ 1, 2, 3, 4, 5 \} \) görüntü kümesini kapsadığı için değer kümesi olabilir.
Buna göre \( \{ 1, 2, 3, 4, 5 \} \) sadece değer kümesi olabilir.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 5:
\( f: A \to \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( f(x) = x^2 - 5 \) fonksiyonu veriliyor.
\( f(A) = \{4, 11, 20\} \) olduğuna göre, \( A \) kümesinin elemanları toplamı aşağıdakilerden hangisi olamaz?
(a) \( A = \{-3, 3, -4, 4, -5, 5\} \) olduğu durumda elemanların toplamı 0 olur.
(b) \( A = \{-3, -4, 4, 5\} \) olduğu durumda elemanların toplamı 2 olur.
(c) \( A = \{-3, 4, 5\} \) olduğu durumda elemanların toplamı 6 olur.
(d) \( A = \{3, -4, 4, 5\} \) olduğu durumda elemanların toplamı 8 olur.
(e) Bu 6 değerle elemanları toplamı 10 olan bir tanım kümesi oluşturulamaz.
Doğru seçenek (e) olur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 6:
Yukarıda \( f \) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Buna göre aşağıdakilerden hangisi ya da hangileri doğrudur?
I. \( f(0) = 7 \)
II. Tanım kümesi \( [-3, 6) \) aralığıdır.
III. Görüntü kümesi \( [-3, 7] \) aralığıdır.
IV. Fonksiyonun \( [-3, 6] \) aralığında tanımsız olduğu 3 nokta vardır.
V. \( f(-3) = f(4) \)
Çözümü Göster
I. öncül: Fonksiyonun \( x = 0 \) noktasındaki değeri 2 değil 7'dir. Bu öncül doğrudur.
II. öncül: Fonksiyon \( x = 4 \) noktasında tanımsız olduğu için tanım kümesi \( [-3, 6) - \{4\} \) olur. Bu öncül yanlıştır.
III. öncül: Fonksiyon \( [-3, 7] \) aralığındaki tüm değerleri alır. Bu öncül doğrudur.
IV. öncül: Fonksiyonun belirtilen aralıkta tanımsız olduğu noktalar \( x = 4 \) ve \( x = 6 \)'dır. Fonksiyon \( x = 0 \) noktasında tanımlıdır ve değeri 7'dir. Bu öncül yanlıştır.
V. öncül: Fonksiyon \( x = 4 \) noktasında tanımsızdır. Bu öncül yanlıştır.
Buna göre I. ve III. öncüller doğrudur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 7:
\( f: [1, \infty) \to \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( f(x) = (x - 3)^2 + 2 \)
fonksiyonunun grafiğini çizerek görüntü kümesini bulunuz.
Çözümü Göster
Parabolün başkatsayısı pozitif olduğu için kolları yukarı yönlüdür.
\( f(x) = (x - r)^2 + k \) formundaki bir parabolün tepe noktası \( T(r, k) \) noktasıdır.
Buna göre verilen parabolün tepe noktası \( T(3, 2) \) olur.
Parabolün \( y \) eksenini kestiği noktayı bulmak için \( x = 0 \) yazalım.
\( f(0) = (0 - 3)^2 + 2 = 11 \)
\( A \) noktasındaki fonksiyon değerini bulmak için \( x = 1 \) yazalım.
\( f(1) = (1 - 3)^2 + 2 = 6 \)
Buna göre parabolün \( x \in [1, \infty) \) aralığındaki grafiği aşağıdaki gibidir.
Grafikte görülebileceği üzere, parabolün en küçük değeri tepe noktasındaki \( y = 2 \) değeridir, ayrıca parabol pozitif sonsuza gider.
Görüntü kümesi: \( [2, \infty) \)
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 8:
\( f: [2, 8] \to \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( f(x) = -\dfrac{1}{2}x^2 + 4x + 3 \)
fonksiyonunun grafiğini çizerek görüntü kümesini bulunuz.
Çözümü Göster
Parabolün başkatsayısı negatif olduğu için kolları aşağı yönlüdür.
Parabolün tepe noktasının (\( T(r, k) \) ) koordinatlarını bulalım.
Buna göre verilen parabolün tepe noktası \( T(4, 11) \) olur.
Parabolün \( y \) eksenini kestiği noktayı bulmak için \( x = 0 \) yazalım.
\( f(0) = -\dfrac{1}{2}0^2 + 4(0) + 3 = 3 \)
\( A \) noktasındaki fonksiyon değerini bulmak için \( x = 2 \) yazalım.
\( f(2) = -\dfrac{1}{2}2^2 + 4(2) + 3 = 9 \)
\( B \) noktasındaki fonksiyon değerini bulmak için \( x = 8 \) yazalım.
\( f(8) = -\dfrac{1}{2}8^2 + 4(8) + 3 = 3 \)
Buna göre parabolün \( x \in [2, 8] \) aralığındaki grafiği aşağıdaki gibidir.
Grafikte görülebileceği üzere, parabolün en küçük değeri \( B \) noktasındaki \( y = 3 \) değeri, en büyük değeri de tepe noktasındaki \( y = 11 \) değeridir.
Görüntü kümesi: \( [3, 11] \)
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 9:
\( f(x) = (2x - 9)^2 + (7 - 2x)^2 \) fonksiyonunun en küçük değeri nedir?
Çözümü Göster
Parantez içindeki ifadeleri açalım.
\( f(x) = 4x^2 - 36x + 81 + 49 - 28x + 4x^2 \)
\( = 8x^2 - 64x + \)
Fonksiyon başkatsayısı sıfırdan büyük olan, dolayısıyla kolları yukarı yönlü olan bir paraboldür. Bu nedenle fonksiyonun en küçük değerini aldığı nokta parabolün tepe noktası olur.
Parabolün tepe noktası \( T(r, k) \) olmak üzere,
\( a = 8, \quad b = , \quad c = \)
\( r = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{}{16} = 4 \)
Fonksiyonun tepe noktasındaki değerini bulmak için \( x = 4 \) yazalım.
\( k = f(4) = 8 \cdot 4^2 - 64 \cdot 4 + \)
\( = 2 \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU
\( A = \{ 2, 3, 4, 5 \} \) ve \( B = \{ 0, 1, 2, 3, 4 \} \) olduğuna göre,
\( A \)'dan \( B \)'ye tanımlanacak bir fonksiyonun görüntü kümesi kaç farklı şekilde olabilir?
Çözümü Göster
Tanım kümesi 4 elemanlı olduğu için bu 4 eleman hiçbir zaman değer kümesindeki 5 elemanla eşlenemez, dolayısıyla görüntü kümesi 1, 2, 3 ya da 4 elemanlı olabilir.
5 elemanlı değer kümesinin elemanları içinden belirli sayıda eleman aşağıdaki şekillerde seçilebilir.
1 elemanlı görüntü kümeleri: \( C(5, 1) = 5 \)
2 elemanlı görüntü kümeleri: \( C(5, 2) = 10 \)
3 elemanlı görüntü kümeleri: \( C(5, 3) = 10 \)
4 elemanlı görüntü kümeleri: \( C(5, 4) = 5 \)
Buna göre görüntü kümesi \( 5 + 10 + 10 + 5 = 30 \) farklı şekilde olabilir.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU
\( A = \{x, y, z, t\} \)
\( B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\} \) olmak üzere,
\( f(y) = 5 \) olacak şekilde \( A \) kümesinden \( B \) kümesine tanımlanacak \( f \) fonksiyonunun görüntü kümesi kaç farklı şekilde olabilir?
Çözümü Göster
Tanım kümesi 4 elemanlı olduğu için görüntü kümesi de en çok 4 elemanlı olabilir.
Durum 1: Görüntü kümesi 1 elemanlı
\( f(y) = 5 \) olarak verildiği için 1 elemanlı sadece bir görüntü kümesi olur.
Durum 2: Görüntü kümesi 2 elemanlı
"5" dışında değer kümesinin 6 elemanı içinden 1 eleman \( C(6, 1) = 6 \) farklı şekilde seçilebilir.
Durum 3: Görüntü kümesi 3 elemanlı
"5" dışında değer kümesinin 6 elemanı içinden 2 eleman \( C(6, 2) = 15 \) farklı şekilde seçilebilir.
Durum 4: Görüntü kümesi 4 elemanlı
"5" dışında değer kümesinin 6 elemanı içinden 3 eleman \( C(6, 3) = 20 \) farklı şekilde seçilebilir.
Buna göre görüntü kümesi \( 1 + 6 + 15 + 20 = 42 \) farklı şekilde olabilir.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU
Yukarıda verilen \( f(x) \) fonksiyonunun grafiğine göre aşağıdaki ifadelerden hangisi ya da hangileri doğrudur?
I. \( y = -f(x) \) fonksiyonunun görüntü kümesi \( [-3 , +\infty) \) aralığıdır.
II. \( y = 2f(x) \) fonksiyonunun görüntü kümesi \( (-\infty, 6] \) aralığıdır.
III. \( y = f^2(x) \) fonksiyonunun görüntü kümesi \( (-\infty, 9] \) aralığıdır.
I. öncül: \( y = -f(x) \) fonksiyonu \( f(x) \) fonksiyonunun \( x \) eksenine göre simetriğidir ve görüntü kümesi \( [-3 , +\infty) \) aralığıdır. Bu öncül doğrudur.
II. öncül: \( 2f(x) \) fonksiyonunda grafik üzerindeki tüm noktalar \( x \) ekseninden iki kat uzaklaşır ve görüntü kümesi \( (-\infty, 6] \) olur. Bu öncül doğrudur.
III. öncül: \( f^2(x) \) fonksiyonunda ordinat değeri 0 ya da pozitif olan noktaların ordinat değerlerinin karesi alınır ve bu noktaların görüntü kümesi \( [0, 9] \) olur. Ordinat değeri negatif olan noktalar ise eksenin pozitif tarafına taşınır ve bu noktaların görüntü kümesi \( [0, +\infty] \) olur. Sonuç olarak fonksiyonun görüntü kümesi \( [0, +\infty] \) olur. Bu öncül yanlıştır.
Buna göre I. ve II öncüller doğrudur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU
\( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( f(x) = \dfrac{9x + 3a}{(2a + 2)x + 2} \) olduğuna göre, \( f(a) \) kaçtır?
Çözümü Göster
Fonksiyonun tanım kümesi tüm reel sayılar olduğu için tanımsız olduğu bir nokta yoktur, dolayısıyla payda hiçbir \( x \) değeri için sıfır olmamalıdır.
Paydadaki \( x \)'in katsayısı sıfırdan farklı olduğunda paydayı sıfır yapan bir \( x \) değeri mutlaka olacağı için \( x \)'in katsayısı sıfır olmalıdır.
fonksiyonlarının tanımlı olduğu \( x \) reel sayı aralıklarını bulunuz.
Çözümü Göster
Derecesi çift sayı olan köklü ifadelerin içini negatif yapan ve rasyonel bir ifadenin paydasını sıfır yapan \( x \) değerleri fonksiyonu tanımsız yapar.
\( f \) fonksiyonunun tanım kümesini bulalım.
Paydaki köklü ifadenin içi negatif olamaz.
\( 25 - x^2 \ge 0 \)
\( x^2 \le 25 \)
\( -5 \le x \le 5 \)
Paydadaki köklü ifadenin içi negatif olamaz.
\( x - 4 \ge 0 \)
\( x \ge 4 \)
Paydadaki köklü ifadenin içi sıfır olamaz.
\( x \ne 4 \)
Yukarıda bulduğumuz aralıkların kesişim kümesi \( f \) fonksiyonunun tanım kümesini verir.
Tanım kümesi: \( x \in (4, 5] \)
\( g \) fonksiyonunun tanım kümesini bulalım.
Köklü ifadenin içi negatif olamaz.
\( \dfrac{25 - x^2}{x - 4} \ge 0 \)
Bu eşitsizliği çözmek için işaret tablosu yapalım.
Buna göre bu eşitsizliğin çözüm kümesi aşağıdaki aralıktır.
\( x \in (-\infty, -5] \cup (4, 5] \)
Paydadaki köklü ifadenin içi sıfır olamaz.
\( x \ne 4 \)
Bulduğumuz aralıkların kesişim kümesi \( g \) fonksiyonunun tanım kümesini verir.
\( (\frac{1}{3})^x \) ifadesi bir üstel fonksiyondur ve grafiğini düşündüğümüzde görüntü kümesi \( (0, +\infty) \) aralığıdır.
Bu aralığa sabit terim olarak 5 eklediğimizde görüntü kümesi \( (5, +\infty) \) olur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU
\( f(x) = 3 + 2^{2x - x^2} \) fonksiyonunun en geniş görüntü kümesi nedir?
Çözümü Göster
Fonksiyonun tanımsız olduğu bir değer olmadığı için en geniş tanım kümesi tüm reel sayılardır.
\( 2^{2x - x^2} \) ifadesi tabanı 1'den büyük olan bir üstel fonksiyondur ve grafiğini düşündüğümüzde fonksiyon en küçük değerini üssünün en küçük değerinde, en büyük değerini üssünün en büyük değerinde alır.
\( 2x - x^2 \) ifadesi bir paraboldür ve başkatsayısı negatif olduğu için en küçük değeri \( -\infty \) olur, en büyük değerini de tepe noktasında alır.
\( T(r, k) \) parabolün tepe noktası olmak üzere,
\( a = -1, \quad b = 2, \quad c = 0 \)
\( r = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{2}{-2} = 1 \)
Buna göre \( x = 1 \) noktasında \( 2x - x^2 \) parabolü, dolayısıyla \( 2^{2x - x^2} \) ifadesi ve \( f(x) \) en büyük değerini alır.
\( f(1) = 3 + 2^{2 \cdot 1 - 1^2} = 5 \)
Fonksiyonun en küçük değerini bulalım.
\( 2x - x^2 \) ifadesi negatif sonsuza giderken \( 2^{2x - x^2} \) ifadesi 0'a yaklaşır, ama 0 değerini almaz. \( f(x) \) de bu durumda sabit terim olan 3'e yaklaşır, ama 3 değerini almaz.
Buna göre fonksiyonun en geniş görüntü kümesi \( (3, 5] \) olur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU
\( f(x) = 2^x + 5^x + 2^{-x} + 5^{-x} + 6 \) fonksiyonunun en geniş tanım kümesi için görüntü kümesini bulunuz.
İlk iki terim tam kare ifadeler olduğu için negatif olamazlar. \( x = 0 \) olduğunda iki ifadenin de içi sıfır olduğu için bu iki ifade ayrı ayrı sıfıra eşit ya da sıfırdan büyük olur.
Ayrıca \( x \) pozitif sonsuza giderken iki ifade de ayrı ayrı pozitif sonsuza gider.
\( f(x) = \sqrt{\dfrac{4^{-x} - 2}{3^x - 1 }} \) fonksiyonunun en geniş tanım kümesini bulunuz.
Çözümü Göster
Bu fonksiyonun tanımlı olabilmesi için kök içindeki ifade sıfıra eşit ya da sıfırdan büyük olmalıdır ve paydadaki ifade sıfırdan farklı olmalıdır.
\( \dfrac{4^{-x} - 2}{3^x - 1} \ge 0 \)
Payı sıfır yapan değeri bulalım.
\( 4^{-x} - 2 = 0 \)
\( 4^{-x} = 2 \)
\( 2^{-2x} = 2^1 \)
Üslü ifadeler arasındaki eşitlikte tabanlar birbirine eşit ve -1, 0, 1'den farklı ise üsler de eşittir.
\( -2x = 1 \)
\( x = -\dfrac{1}{2} \)
Paydayı sıfır yapan değeri bulalım.
\( 3^x - 1 = 0 \)
\( x = 0 \)
Bu değerleri kullanarak eşitsizlik için işaret tablosu yapalım.
Buna göre verilen ifade \( [-\frac{1}{2}, 0) \) aralığında tanımlıdır.
Tanım kümesi: \( x \in [-\frac{1}{2}, 0) \)
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU
\( f(x) = 3\sqrt{4 - x^2} \) fonksiyonun reel sayılardaki en geniş tanım kümesi \( A \) ve görüntü kümesi \( B \) olduğuna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi ya da hangileri doğrudur?
I. \( A = [-2, 2] \)
II. \( B = [0, 6] \)
III. \( A \cap B = [-2, 6] \)
Çözümü Göster
Derecesi çift sayı olan köklü ifadelerin içi negatif olamaz.
\( 4 - x^2 \ge 0 \)
\( (2 - x)(2 + x) \ge 0 \)
\( x \in [-2, 2] \)
Buna göre fonksiyonun en geniş tanım kümesi \( A = [-2, 2] \) olur. I. öncül doğrudur.
Kök içindeki ifade negatif başkatsayılı bir paraboldür ve kolları aşağı yönlüdür. Bu parabolün alabileceği en küçük ve en büyük değerleri bulmak için tepe noktasındaki ve tanım kümesinin sınır değerlerindeki fonksiyon değerlerini bulalım.
Denklemi \( y = 4 - x^2 \) olan parabolün tepe noktasının apsis değeri \( x = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{-2} = 0 \) olur.
\( f(0) = 3\sqrt{4 - 0^2} = 6 \)
\( f(-2) = 3\sqrt{4 - (-2)^2} = 0 \)
\( f(2) = 3\sqrt{4 - 2^2} = 0 \)
Buna göre fonksiyonun tanım aralığında aldığı en küçük ve en büyük değerler \( 0 \) ve \( 6 \)'dır, dolayısıyla görüntü kümesi \( B = [0, 6] \) olur. II. öncül doğrudur.
Tanım ve görüntü kümelerinin kesişimi \( A \cap B = [0, 2] \) aralığıdır. III. öncül yanlıştır.