Önermenin Olumsuzu
Önermeler
Doğruluğu ya da yanlışlığı kesin olan bir hüküm bildiren ifadelere önerme denir. Önermeler genellikle \( p \), \( q \), \( r \), \( s \), \( t \) gibi küçük harflerle gösterilir.
Bir önermenin tek bir doğruluk değeri vardır, buna göre bir önerme ya doğrudur ya da yanlıştır. Bir önerme aynı anda hem doğru hem yanlış, ne doğru ne yanlış, ya da kısmen doğru kısmen yanlış olamaz. Bir ifadenin önerme olabilmesi için kesin hüküm bildirmesi ve ifadenin doğruluğu veya yanlışlığı konusunda herkesin hemfikir olması gerekir.
Soru, emir ve ünlem cümleleri önerme değildir.
| İfade | Önerme? | Açıklama |
|---|---|---|
| Manisa güzel bir şehirdir. | Önerme değil | Herkes Manisa'nın güzel olduğu konusunda hemfikir olmayabileceği için kesin hüküm belirtmez. |
| Ali'nin boyu m'dir. | Önerme | Ali'nin boyunun m olup olmadığını ölçerek belirleyebileceğimiz için kesin hüküm belirtir. |
| \( 2 + 2 = 5 \) | Önerme | İfadenin yanlışlığı kesin olduğu için bir önermedir. |
| \( x \lt 5 \) | Önerme değil | \( x \)'in değerini bilmediğimiz için ifadenin doğruluğu/yanlışlığını belirleyemeyiz. |
| Kapıyı kapat. | Önerme değil | Bir emir cümlesi olarak doğruluk/yanlışlık belirten bir ifade değildir. |
SORU 1:
Aşağıdakilerden hangisi bir önermedir?
(a) Hiçbir şey beklediğim gibi olmadı.
(b) Sorularıma cevap vermelisin.
(c) Toplama işleminin değişme özelliği var mıdır?
(d) Herkes birbirine yardımcı olsun.
(e) Karbon bir element değildir.
Çözümü GösterDoğruluğu ya da yanlışlığı kesin olan bir hüküm bildiren ifadelere önerme denir.
Buna göre (a), (b), (c) ve (d) şıkları kesin bir hüküm bildirmediği için önerme değildir.
(e) şıkkındaki ifade yanlış olsa da kesin bir hüküm bildirdiği için önermedir.
Soru sorun Soruda hata bildirin
Bir Önermenin Doğruluk Değeri
Bir önerme doğru ise doğruluk değeri "1" veya "D" ile, yanlış ise "0" veya "Y" ile gösterilir.
Bir önermenin doğruluk değeri \( \equiv \) işareti ile gösterilir.
\( p \) önermesi doğru ise, \( p \equiv 1 \) şeklinde yazılır ve "p denktir 1'e" şeklinde okunur.
\( p \) önermesi yanlış ise, \( p \equiv 0 \) şeklinde yazılır ve "p denktir 0'a" şeklinde okunur.
ÖRNEK:
\( p \): "Ay dünyanın uydusudur."
\( q \): "1 kilometre metredir."
\( p \equiv 1 \)
\( q \equiv 0 \)
SORU 2:
\( p \): "\( a \cdot b = 0 \) ise \( a \) ve \( b \)'den sadece biri 0 olabilir."
\( q \): "\( a = -b \) ise \( a \) ve \( b \) eşit olamaz."
\( r \): "\( a \gt b \) ise \( -a \lt -b \) olur."
Yukarıdaki önermelerin doğruluk değerleri nedir?
Çözümü GösterBir önerme doğru ise doğruluk değeri "1" veya "D" ile, yanlış ise "0" veya "Y" ile gösterilir.
\( a \cdot b = 0 \) ise sayıların ikisi de 0 olabilir, dolayısıyla \( p \) önermesi yanlıştır.
\( a = -b \) ise sayılar 0 ve eşit olabilir, dolayısıyla \( q \) önermesi yanlıştır.
Eşitsizlik işlem özelliklerine göre \( r \) önermesi doğrudur.
Buna göre üç önermenin doğruluk değerleri aşağıdaki gibi olur.
\( p \equiv 0, \quad q \equiv 0, \quad r \equiv 1 \)
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 3:
\( p \): "1'in toplamaya ve çarpmaya göre tersi aynıdır."
\( q \): "\( x \in \mathbb{Z^+} \) ise \( 0 \lt \dfrac{1}{x} \le 1 \) olur."
\( r \): "-2 asal sayıdır."
Yukarıdaki önermelerden hangilerinin doğruluk değeri 0'dır?
Çözümü GösterBir önerme doğru ise doğruluk değeri "1" veya "D" ile, yanlış ise "0" veya "Y" ile gösterilir.
Bir \( a \) reel sayısının toplamaya göre tersi \( -a \), çarpmaya göre tersi \( \frac{1}{a} \)'dır. Buna göre 1'in toplamaya göre tersi -1, çarpmaya göre tersi 1'dir, dolayısıyla \( p \) önermesinin doğruluk değeri 0'dır.
\( q \) önermesinin doğruluk değeri 1'dir.
Negatif sayılarda asallığa bakılmaz. \( r \) önermesinin doğruluk değeri 0'dır.
Buna göre \( p \) ve \( r \) önermelerinin doğruluk değeri 0'dır.
Soru sorun Soruda hata bildirin
Doğruluk Tablosu
Bir önermenin tüm olası doğruluk değerlerinin listelendiği tabloya doğruluk tablosu denir.
Bir \( p \) önermesinin doğruluk tablosu aşağıdaki gibidir. Tek bir önerme olarak \( p \)'nin 2 olası değeri olabileceği için (doğru ve yanlış), \( p \)'nin doğruluk tablosu iki satırdan oluşmaktadır.
Denk Önermeler
Doğruluk değerleri aynı (ikisi de doğru ya da ikisi de yanlış) olan önermelere denk önermeler denir.
\( p \) ve \( q \) birbirine denk önermeler ise: \( p \equiv q \)
\( p \) ve \( q \) birbirine denk önermeler değil ise: \( p \not\equiv q \)
ÖRNEK:
\( p \): Pi sayısı 3 ve 4 arasındadır.
\( q \): Bir üçgenin iç açıları toplamı °'dir.
\( r \): Paralelkenarın 5 kenarı vardır.
\( p \equiv q \equiv 1 \)
\( r \equiv 0 \)
\( p \not\equiv r \)
Bir Önermenin Değili (Olumsuzu)
Bir önermenin hükmünün değiştirilmesiyle elde edilen yeni önermeye bu önermenin değili ya da olumsuzu denir. Bir önerme doğru ise değili yanlış, yanlış ise değili doğrudur. \( p \) önermesinin değili \( p' \), \( \sim p \) ya da \( \lnot p \) ile gösterilir.
Aşağıdaki tabloda \( p \) önermesinin ve değilinin doğruluk tablosu verilmiştir.
| \( p \) | \( p' \) |
|---|---|
| \( 1 \) | \( 0 \) |
| \( 0 \) | \( 1 \) |
Bir önermenin değilinin değili kendisidir.
\( (p')' \equiv p \)
İSPATI GÖSTER
Aşağıdaki tabloda renkli işaretlenmiş iki kolonu karşılaştırdığımızda, her satırda aynı sonucu elde ettiğimizi, dolayısıyla bir önermenin değilinin değilinin kendisine denk olduğunu söyleyebiliriz.
| \( p \) | \( p' \) | \( (p')' \) |
|---|---|---|
| \( 1 \) | \( 0 \) | \( 1 \) |
| \( 0 \) | \( 1 \) | \( 0 \) |
İspatta hata bildirin
Matematiksel eşitlik ya da eşitsizlikler, işaretleri aşağıdaki gibi değiştirilerek olumsuz hale getirilir.
| İşaret | Değili |
|---|---|
| \( a = b \) | \( a \ne b \) |
| \( a \ne b \) | \( a = b \) |
| \( a \gt b \) | \( a \le b \) |
| \( a \ge b \) | \( a \lt b \) |
| \( a \lt b \) | \( a \ge b \) |
| \( a \le b \) | \( a \gt b \) |
Bir önermenin değilini alırken cümlenin sonuna "değildir" ifadesi getirmek yeterlidir.
| Önerme ve Değili | Notlar |
|---|---|
\( p \): Türkiye'nin başkenti İstanbul'dur. \( p' \): Türkiye'nin başkenti İstanbul değildir. | Önermenin değili "Türkiye'nin başkenti Ankara'dır." değildir, çünkü Ankara İstanbul dışındaki tüm olasılıkları kapsamamaktadır. Ayrıca bir önermenin değilinin değili kendisine denk olmalıdır, "Türkiye'nin başkenti Ankara'dır." önermesinin değili "Türkiye'nin başkenti İstanbul'dur." önermesi olamaz. |
\( q \): Karenin iç açıları toplamı °'dir. \( q' \): Karenin iç açıları toplamı ° değildir. | Önermenin değili "Karenin iç açıları toplamı °'dir." değildir. |
SORU 4:
Aşağıdaki önermelerden hangileri birbirine denktir?
\( p \): 6! sayısı 30 ile tam bölünür.
\( q \): Tüm doğal sayılar pozitiftir.
\( r \): 8 tam kare bir sayıdır.
Çözümü GösterBir önerme doğru ise doğruluk değeri "1", yanlış ise "0" ile gösterilir.
\( 6! \) ifadesi 30'un asal çarpanları olan 2, 3 ve 5 sayılarını içerdiği için \( p \) önermesinin doğruluk değeri 1'dir.
Bir doğal sayı olan 0 pozitif olmadığı için \( q \) önermesinin doğruluk değeri 0'dır.
8 bir tam sayının karesi olmadığı için \( r \) önermesinin doğruluk değeri 0'dır.
Buna göre \( q \) ve \( r \) önermeleri birbirine denktir ve 0'dır.
\( q \equiv r \equiv 0 \)
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 5:
\( p \), \( q' \) ve \( r' \) önermeleri birbirine denk olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
(a) \( p' \equiv r' \)
(b) \( (p')' \equiv q \)
(c) \( (q')' \equiv r \)
(d) \( (p')' \equiv r \)
(e) \( p' \equiv q' \)
Çözümü Göster\( p \equiv r' \) olduğu için \( p' \equiv r' \) doğru olamaz. (a) şıkkı yanlıştır.
\( p \equiv q' \) olduğu için \( (p')' \equiv p \equiv q \) doğru olamaz. (b) şıkkı yanlıştır.
\( q' \equiv r' \) olduğu için \( (q')' \equiv q \equiv r \) doğru olur. (c) şıkkı doğrudur.
\( p \equiv r' \) olduğu için \( (p')' \equiv p \equiv r \) doğru olamaz. (d) şıkkı yanlıştır.
\( p \equiv r' \) olduğu için \( p' \equiv q' \) doğru olamaz. (e) şıkkı yanlıştır.
Buna göre doğru seçenek (c)'dir.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 6:
\( p:\) \( \pi \) irrasyonel bir sayıdır.
\( q: \) Sayı doğrusunda 3'e uzaklığı 4 olan sayıların çarpımı \( a \)'dır.
Yukarıda verilen iki önerme denk olduğuna göre \( a \) kaçtır?
Çözümü Göster\( p \) önermesi doğru olduğu için \( q \) önermesi de doğru olmalıdır.
\( q \) önermesine göre \( \abs{x - 3} = 4 \)
\( x = -1 \) veya \( x = 7 \) olur.
\( a = -1 \cdot 7 = -7 \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 7:
\( p \): "Karesi \( -1 \) olan sayıya sanal birim denir."
\( q \): "\( \abs{x \cdot y} = \abs{x} \cdot \abs{y} \)"
\( r \): "Karenin dört köşegeni vardır."
\( s \): "\( EBOB(a, b) = 3 \) ise \( a \cdot b \) tek sayıdır."
Yukarıdaki önermelerden hangileri "İki basamaklı en küçük çift tam sayı 10'dur." önermesine denktir?
Çözümü GösterDoğruluk değerleri aynı (ikisi de doğru ya da ikisi de yanlış) olan önermelere denk önermeler denir.
İki basamaklı en küçük çift tam sayı \( \)'dir, dolayısıyla "İki basamaklı en küçük çift tam sayı 10'dur." önermesinin doğruluk değeri 0'dır.
\( p \) ve \( q \) önermelerinin doğruluk değeri 1'dir.
Karenin 2 köşegeni vardır, dolayısıyla \( r \) önermesinin doğruluk değeri 0'dır.
EBOB'ları 3 olan iki sayıdan biri tek diğeri çift olabilir (3 ve 6 gibi), dolayısıyla çarpımları çift sayı olabilir. \( s \) önermesinin doğruluk değeri 0'dır.
Buna göre \( r \) ve \( s \) önermelerinin doğruluk değeri soruda verilen önermenin doğruluk değerine denktir.
Soru sorun Soruda hata bildirin