Aritmetik Dizi Formülleri 12 Sınıf

Merhaba arkadaşlar size bu yazımızda Matematik Konuları hakkında bilgi vereceğiz. Yazımızı okuyarak  bilgi sahibi olabilirsiniz. Diziler konusu ile ilgili bütün soruların cevabı sizleri bekliyor&#;

Dizinin Tanımı Özellikleri

Pozitif doğal sayılar kümesinden gerçek sayılar kümesine tanımlanan her fonksiyona gerçek sayı dizisi veya dizi denir.

Genel Terimi an olan dizi;

Dizinin Özellikleri

Sabit Dizi: Bütün terimleri birbirine eşit olan dizilerdir.

Aritmetik Dizi ve Özellikleri

Ardışık terimleri arasındaki fark eşit olan diziye aritmetik dizi denir. Her n Є Z⁺ ve d Є R için  eşitliğini sağlayan dizilerdir. Burada d, aritmetik dizinin ortak farkıdır.

Örnek:

Aritmetik Dizinin Özellikleri

Geometrik Dizi ve Özellikleri

Ardışık terimleri arasındaki oran sabit olan dizilere geometrik dizi denir. Bu sabit oran, ortak çarpandır (r).

Geometrik Dizilerde Genel Terim

a_n+1 = a_n . r
a₂ = a₁ . r
a₃ = a₂ . r = a₁ . r²
a₄ = a₃ . r = a₁ . r³
….
a_n = a_n-1 . r = a₁ . r^n-1

Sonuç olarak geometrik dizinin genel terimi a_n = a₁ . r^n-1bulunur.

Geometrik Dizinin Özellikleri

1.İlk terim a1, ortak çarpanı r olan geometrik dizinin genel terimi

2. Bir geometrik dizide bir terimin karesi kendisinden eşit uzaklıkta bulunan iki terimin çarpımına eşittir.

3. Bir geometrik dizide ilk n terimin toplamı S_n ise;

2. Ortak çarpanı bulmak için ;

Ardışık iki terim verildiğinde:

Herhangi iki terim verildiğinde:

a,&#;., b sayıları arasına n terim yerleştirip bir geometrik dizi oluşturmak için;

Fibonacci Dizisi

Her terimi kendisinden önce gelen iki terimin toplamı şeklinde yazılabilen dizilere fibonaccidizisi denir.

Fibonacci dizisinin terimleri 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55&#;

Fibonacci dizisinin en önemli özelliklerinden biri , bu dizinin ardışık terimleri oranının, terimler büyüdükçe altın orana yaklaşmasıdır.

Fibonacci dizisinin genel terimi F_n ile gösterilirse, bu dizinin indirgenme bağıntısı F₁=F₂=1 olmak üzere,

F_n+2=F_n+1+F_n olur.

Sınıf Matematik Konuları için tıklayınız

Sınıfta Yer Alan Diğer Ders ve Konuları için Tıklayınız.

Matematikte kullanılan dizi sözcüğü ile günlük hayatta kullanılan dizi sözcüğü aslında birbirinden çok farklı değildir. “Satranç taşlarını, satranç tahtasına dizmek”, “Ansiklopedi takımını, alfabetik sıraya göre kitaplığa dizmek”, “Bardakları ikişer ikişer rafa dizmek” ifadeleri dizi sözcüğünün günlük hayatta kullanılan örnekleridir.
{1, 2, 3, 4, 5, }
{2, 4, 6, 8, 10, }
{5, 10, 15, 20, }
kümelerinin elemanlarının oluşturduğu dizilim ise dizi sözcüğünün matematiksel anlamda kullanılan örnekleridir. Her iki örnekte de nesnelerin veya sayıların belirli bir kurala göre dizilimi söz konusudur.

Dizi Kavramı: A ≠ Q olmak üzere ƒ:Z⁺ --> A tanımlı her fonksiyona dizi denir. Diğer bir ifadeyle tanım kümesi pozitif tam sayılar kümesi olan her fonksiyona dizi denir.
n eleman Z⁺ için ƒ(n) = a_n ifadesine dizinin n. terimi veya genel terimi denir.
A = R ise diziye reel sayılar dizisi denir.
Bir reel sayı dizisi,
ƒ = {(1,a₁), (2,a₂), (3,a₃), , (n,a_n), } şeklinde gösterilir. a₁, a₂, a₃ reel sayılarına sırasıyla dizinin birinci, ikinci ve üçüncü terimi denir. Dizi genel terimleri ile belirlidir. Genel terimleri verilmeden yazılan sayı grupları dizi belirtmez.
Sonlu dizi olduğu belirtilmediği sürece her dizinin sonsuz dizi olduğu anlaşılmalıdır.
Bütün terimleri birbirine eşit olan dizilere sabit dizi denir.
Dizi, tanım kümesi sayma sayıları olan bir fonksiyondur. a_n dizisi bir fonksiyon olduğuna göre fonksiyonun özellikleri dizi için de kullanılabilir.
Genel terimi a_n olan bir dizide, n yerine terim numarası yazılarak dizinin terimi bulunur.
Bir terimi kendinden önceki bir veya birkaç terim cinsinden tanımlanan dizilere indirgemeli dizi, tanımlama bağıntısına da indirgeme bağıntısı denir.
Ardışık terimleri arasındaki fark aynı sabit sayıya eşit olan dizilere aritmetik dizi denir. Sonlu bir aritmetik dizide baştan ve sondan eşit uzaklıkta bulunan terimlerin toplamı eşittir.
Ardışık terimleri arasındaki oran sabit olan dizilere geometrik dizi denir. Sabit orana ise ortak çarpan denir.

Soru: Bir konveks (dış bükey) beşgenin iç açılarını ölçüleri bir aritmetik dizinin ardışık beş terimidir. Bu beşgenin en büyük açısının ölçüsü ° olduğuna göre, en küçük açısının ölçüsü kaç derecedir?
A) 98 B) 94 C) 88 D) 86 E) 72

Soru: İlk terimi x, ortak farkı y olan bir aritmetik dizinin 4. ve 7. terimleri bir geometrik dizinin ilk üç terimi olduğuna göre x ile y arasındaki bağıntı aşağıdakilerden hangisidir?
A)x=y B)x=-2y C)x=2y
D) 2x = -3y E) 2x = 3y

Soru: Bir aritmetik dizinin ilk 10 teriminin aritmetik ortalaması 6, ilk 20 teriminin aritmetik ortalaması 16'dır. Buna göre, dizinin terimi kaçtır?
A) 10 B) 15 C) 20 D) 25 E) 30

İndirgemeli Dizi: Her terimi kendinden önceki bazı terimleri türünden yazılabilen dizilere İndirgemeli dizi denir.

Diziler konusu sınıf matematik müfredatında yer almakta olup olasılık konusundan sonra gelen konudur. Dizilerden Lys matematik sınavında soru gelmektedir. Ygs de ise dizilerden soru çıkmamaktadır.

Diziler konu başlıkları;

• Dizinin tanımı
• Sonlu dizi, sonsuz dizi ve sabit dizi tanımları
• Dizilerin eşitliği
• Dizilerde işlemler (Toplama, çıkarma, çarpma, bölme)
• Monoton diziler
• Alt dizi
• Aritmetik dizi ve özellikleri
• Aritmetik dizinin ilk n teriminin toplamı
• Geometrik dizi ve özellikleri
• Geometrik dizinin ilk n teriminin toplamı