Düzenli Artan Sayıların Toplamı

Ardışık sayılar konusundan, özellikle ardışık sayılar toplamı konusundan MEB'in ve ÖSYM'nin yapmış olduğu hemen hemen bütün sınavlarda  çok fazla soru sorulmaktadır. Bu tip soruları çözmek kesinlikle çok basittir. Ancak bu soruları çözmek değil, hızlı çözmek önemlidir. Bu sayfada kullanabileceğiniz en pratik ve kolay formülleri örnekli anlatımla göstereceğiz.  

KISA BAŞLIKLAR:

ARDIŞIK SAYILAR NEDİR?

Ardışık sayılar kısaca belirli bir kurala göre birbirini takip eden sayılara denilir. Bu sayıların aralarındaki fark her zaman aynıdır.  

• Ardışık Sayılar : Bir soruda ardışık sayılar denildiğinde: rakamlar arasındaki fark 1 'dir (birdir). 

Örneğin: a, b, c, d, e ve f ardışık sayılardır şeklinde sorular gelebilir. Bu şekildeki sorularda rakamlar arasında ki fark sadece 1 (bir'dir) 

             3, 4 , 5 , 6 , 7 , 8 rakamları örnek gösterilebilir. 

• Ardışık Çift Sayılar : Rakamlar arasındaki fark her zaman 2'dir.  Ayrıca bütün sayılar çift sayıdır. 

Örneğin:  6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20 rakamları örnek gösterilebilir. 

• Ardışık Tek Sayılar : Rakamlar arasındaki fark her zaman 2'dir. Ancak bu tip sorularda bütün rakamlar tektir.  

Örnek : 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19 rakamları örnek gösterilebilir. 

• Diğer Ardışık Sayılar : Örneğin: 9, 13, 17, 21, 25, 29, 33 

Bu rakamlar arasındaki fark sabit 4'tür. 

ARDIŞIK SAYILAR TOPLAMI FORMÜLLERİ

Matematikte açıkçası en kolay sorular belkide bu konudan çıkmaktadır. Ancak bu tip sorular sınavlarda çok büyük zaman kaybettirir. Bu durumda yapmamız gereken soruları çözerken formülleri ezberlemektir. 

Not: Matematikte formül ezberlemek için bol bol soru çözmeniz gereklidir. Gerekirse aynı soruları, yada benzer soruları sürekli çözünüz. Ardışık sayılar toplamı formülü üzerine bu sayfada yer alan çözümlü sorularımızı sürekli çözmenizi öneririz. 

TERİMLER TOPLAMI : Size tane ardışık sayı verildiğini ve bu sayıların toplamlarını bulmanızı istediklerini düşününüz. Tek tek bu rakamları toplamanıza gerek yok.  Hemen aşağıda yer alan formülü inceleyiniz. 

ARDIŞIK SAYILARIN TOPLAMA FORMÜLÜ (1+2+3+ n= ?)

Arkadaşlar yukarıda verdiğimiz formül bütün ardışık sayılarda geçerli olan formüldür. Ancak bazı sorularda daha hızlı olmanız için daha kısa formülleri ezberlemeniz gereklidir. 

1'den başlayıp devam eden normal ardışık sayılarda toplama formülü aşağıdaki gibidir: 

1 + 2 + 3 + 4 + n = n . (n + 1) / 2 formülünü uygularız.   Son terim ile Son terimin bir fazlasını çarparız. Daha sonra ise bu rakamı 2'ye böleriz. 

• Basit Örnek : 1+2+3+4++10 = ? 

Son terim 10 ve son terimin bir fazlası 11'dir. 10 x 11 = eder. Bu rakamı 2'ye bölersek eğer 55 eder. 

Sağlaması : 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55 eder. 

• Örnek : 1+2+3+ = sonucu kaçtır. 

x = / 2 =  eder. 

ARDIŞIK TEK SAYILARIN TOPLAMA FORMÜLÜ

Yukarıda verdiğimiz formül ardışık sayıların tamamında geçerli formüldür. Ancak 1'den başlayan tekil ardışık sayılarda sonuca gitmeniz için çok daha kısa bir formül vardır. 

1+3+5+ 2n - 1 = n² 

Açıklaması : 1+3+5+ = kaç eder

9 rakamının n olarak açıklaması şudur:  2n - 1 = 9 ise   n = 5 eder.  Bu durumda n² = 5 x 5 = 25 eder. 

Sağlama :  1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 eder. 

Zor Örnek : 1+ 3 + 5 + + = 

• 'un n cinsinden değerini bulacağız.
  • = 2n - 1 
  • = 2n
  • = 2
• Yukarıda ki işlemin sonucu bu durumda = ² = x yani 

ARDIŞIK ÇİFT SAYILARIN TOPLAMA FORMÜLÜ

Yukarıda ki formülde genel formülü vermiştik. Ancak 2'den başlayan çift ardışık sayıların toplamlarında aşağıdaki kısa formülü uygulayınız. 

2 + 4 + 6 + n = n x (n +1) 

• 2n rakamı bu işlemde son terimin 2n şeklinde gösterilmesidir. Örneğin son terim 10 ise n = 5'tir.  
• 2 + 4 + + + 10 = ?
  • 10 = 2n 
  • n =5 eder. 
  • Formülü uygularsak : 5 x (5 +1) = 30 olur. 

Sağlaması : 2 + 4 + 6 + 8 + 10 = 30 olur. 

ARDIŞIK SAYILAR ÇÖZÜMLÜ SORULAR

ÇÖZÜMLÜ SORU 1 :      2+3+4+5+ + + = TOPLAMI KAÇTIR

Gördüğünüz gibi yüzlerce ardışık sayı var normal toplama yapmamız bir saatimizi alır belki de. Yukarıda ki formül ile bir kaç dakikaya toplama işlemini yapabiliriz. 

• 1. Adım : Terim sayısını bulacağız

• 2. Adım: Terim sayısını bulduktan sonra direk toplama formülümüzü uygulayacağız. 

 ÇÖZÜMLÜ SORU 2 : 1+3+5+ + 15 = TOPLAMI KAÇTIR 

• 1. Adım : Yukarıda ki formüle göre terim sayısını bulacağız.
  • 15 - 1 = 14 olur. (Son terimden ilk terimi çıkarırız.)
  • Çıkan sonuç olan 14 rakamını artış miktarı olan 2'ye böleriz. 7 olur.
  • Daha sonra ise 1 ile toplarız. 8 adet terim var bu toplamada. 
• 2. Adım : Terim sayımız 8 
  • 15 + 1  = 16 
  • 16 / 2 = 8
  • 8 x 8 = 64 dür bu işlemin sonucu. 

1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 = 64 sonucunun çıktığını göreceksiniz. 

ÇÖZÜMLÜ SORU 3 : Ardışık 6 tane çift doğal sayının toplamı  olduğuna göre bu sayıların en büyüğü kaçtır. 

• Çözüm : x + (x+2) + (x + 4) + (x+ 6) + (x + 8) + (x + 10) =
  •   6x + 30 =
  •   6x = 84
  •   x = 14
  • En Büyük Sayı x +10 olduğuna göre sonuç= 24'dür. 

Ardışık sayılar, 1 den başlayarak düzenli aralıklarla artan tek tam sayıların toplamı hesap makinesi. Ardışık sayılar, tek sayılar, çift sayılar toplamı üzerine hazırladığımız script yazılımları ile online matematik işlemlerini yapabilirsiniz. Hazırladığımız scriptin en önemli özelliği işlemleri yapılış sırasına göre aşama aşama matetiksel olarak göstermesidir. Umarız faydalı bir çalışma olmuştur.

Ardışık tek tam sayılar konu anlatımı

Ardışık sayı nedir? Belli bir kurala göre bir birini takip eden sayı gruplarına ardışık sayılar denir.
Ardışık tam doğal sayılar; …,-5,-4,-3,-2,-1,0, 1, 2, 3, 4, 5, …
Ardışık tek tam sayılar : …, -9, -7, -5,-3,-1, 0, 1, 3, 5, 7, 9, 11, … gibi sayı dizisidir.

Ardışık Tek Sayılar Toplamı Formülü

1,3,5,7,9 şeklinde 1 sayısından başlayarak n sayısına kadar sıralı tek sayıların toplamı formülü aşağıdaki gibidir.

1+3+5+7+&#;+(2n-1)=n*n=n2

Çözümlü Soru

Soru : 1 den 99 &#;a kadar olan ardışık tek tam sayıların toplamı kaçtır?
1 + 3 + 5 + 7 &#;+ 99 = ?
Cevap : Önce formülümüzü yani ardışık tek sayılar formülünü yazalım.
1+3+5+7+&#;+(2n-1)= n * n

şimdi n değerini bulalım.
2n — 1 = 99
2n =
n = 50
İkinci aşama.
n * n = ?
50 * 50 =

Not : Bütün çift sayıların toplamı daima çifttir. n ifadesi sorudaki çift ve tek sayı ifadesine göre değer alacaktır.
Sayfamızda yer alan ardışık çift sayılar toplama hesap makinesi kullanarak yaptığımız işlemlerin sonuçlarının doğruluğunu kontrol edebilirsiniz.

Ardışık Sayılar ve Artitmetik Dizi Toplamı kpss matematik dersinin bu bölümde anlatılacak konularıdır. Özellikle ardışık sayılar konusu kpss soruları içinde önemli bir yere sahiptir. Aritmetik dizi toplamı konusu da ardışık sayılarla bağıntılı bir konudur. Şimdi ilk konu olan ardışık sayılar konusunu işleyelim.

Ardışık Sayılar

Belli bir kurala göre art arda yazılan sayılara ardışık sayılar denilmektedir. Kpss matematik konuları içinde ardışık sayılar ardışık tam, tek tam ve çift tam sayılar olarak işlenmektedir.

Kpss matematik ardışık sayılar konusunda genel olarak sayılar arasındaki farkların kaç olduğu bilinirse bu konu ile ilgili Kpss&#;de sorulan soruların cevaplanmasında yeterli olacaktır.

1) Ardışık Tam Sayılar: &#;&#;&#; -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 &#;&#;&#; şeklinde art arda sıralanan sayılara ardışık tam sayılar denilmektedir. Bu sayılar arasındaki farklar 1&#;dir.

Ardışık tam sayıları formülize etmek istersek n, n+1, n+2, n+3, n+4 şeklinde sembollerle ifade edebiliriz.

2) Ardışık Çift Tam Sayılar: &#;&#;.. -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6 &#;&#;&#;.. şeklinde art arda sıralanmış sayılara ardışık çift tam sayılar denilmektedir. Ardışık çift tam sayılar arasındaki farklar 2&#;dir.

Ardışık çift tam sayıları formülize etmek istersek n, n+2, n+4, n+6, n+8 şeklinde sembollerle ifade edebiliriz.

3) Ardışık Tek Tam Sayılar: &#;&#;&#; -7, -5, -3, -1, 1, 3, 5, 7 &#;&#;&#;.. şeklinde art arda sıralanmış tek sayılara ardışık tem tam sayılar denilmektedir. Ardışık tek tam sayılar arasındaki farklar yine 2&#;dir.

Ardışık tek tam sayıları formülize etmek istersek n, n+2, n+4, n+6, n+8 şeklinde sembollerle ifade edebiliriz.

Burada gösterilen &#;n&#; ifadeleri ardışık çift ve ardışık tek tam sayılarda hangisinde formülize ediliyorsa ona göre tek veya çift olarak seçilmelidir. Sembolize edilen bu formüller aynı gözükür ama farklı (tek ya da çift) rakamları ifade etmektedir.

Ardışık sayılar kpss genel yetenek matematik soruları içinde farklı şekillerde karşımıza gelmektedir. Ardışık sayılarla ilgili kpss soru örnekleri aşağıdaki gibidir.

Aritmetik Dizi Toplamı

Kpss matematik dersinde sayı çeşitlerinin bir diğer konusu olan aritmetik dizi toplamı, ardışık terimleri arasındaki farkı sabit olan sayı dizilerine aritmetik dizi denilmektedir.

Aritmetik terimler arasındaki farka ortak fark adı verilir.

Aritmetik diziler tek ve çift olacağı gibi, tek çift karışık sayılardan da oluşabilmektedir.

Kpss matematik sorularında aritmetik diziler terim sayısı ve terimler toplamı olarak karşımıza çıkmaktadır.

Kpss genel yetenek matematik dersine ait sayı çeşitlerinden ardışık sayılar ve aritmetik dizi toplamı konuları tamamlanmıştır. Bir sonraki kpss matematik dersinin konusu Faktöriyel olacaktır.