Öabt Lise Matematik Ders Notları Pdf Lider

1 LİSE MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ KONU ANLATIMI MODÜL - 1 ANALİZ

2 ÖABT YAYINLARI Genel Yaın Yönetmeni Savaş DOĞAN Genel Yaın Yönetmen Yardımcısı Arzu ALAN Yazar Ahmet YILDIRIM Orhan Gökhan GÖKDAŞ ISBN Safa Düzeni AYMİR Yaınevi Dizgi Birimi Baskı Tarihi Ankara BASKI Sistem Ofset Basım Yaım Tic. Ltd. Şti. Strazburg Caddesi No: 31/17 Sıhhie / Çankaa / ANKARA Tel: İletişim Adresi Serhat Mah. Mehmet Akif Erso Cad. No: 33 Yenimahalle / ANKARA Cep: () [email protected] COPYRIGHT AYMİR YAYINEVİ Yaım Hakkı Bu kitabın her türlü aım hakkı Amir Yaın Basım Dağıtım Ltd. Şti. e aittir. Bu kitabın baskısından ve saılı Fikir ve Sanat Eserleri Yasası hükümleri gereğince kanak gösterilerek bile olsa alıntı apılamaz, herhangi bir şekilde çoğaltılamaz, genel ağ ve diğer elektronik ortamlarda aımlanamaz. BU KİTAP T.C. KÜLTÜR BAKANLIĞI BANDROLÜ İLE SATILMAKTADIR.

3 Değerli Öğretmen Adaları; Milli Eğitim Bakanlığı her ıl öğretmen ihtiacını, adaların KPSS sonuçlarına göre aptığı atamalarla sağlamaktadır. Atamalarda referans alınan başarı puanları üç farklı testin sonuçlarına göre elde edilmekte ve adaların KPSS puanı hesaplanmaktadır. KPSS 11 puanı aşağıdaki bölümler ve ağırlıklandırmalardan oluşmaktadır: Genel Yetenek Testi % 15 Genel Kültür Testi % 15 Eğitim Bilimleri Testi % 0 Öğretmenlik Alan Bilgisi Testi % 50 Atama puanlarında en büük etkie sahip olan Öğretmenlik Alan Bilgisi Testi nin genel apısını Eğitim Fakültelerinde verilmekte olan akademik müfredat, ilgili alanının öğretim programı ve öğretim öntemleri oluşturmaktadır. Bu doğrultuda aınımız, alanında uzman azar kadromuz tarafından sınavın kapsamı, akademik apısı ve soru tarzları dikkate alınarak titiz bir çalışma sonucu hazırlanmıştır. Kitabın hazırlanmasında ve aımlanmasında desteğini esirgemeen, Dizgi Bölümü Sorumlusu Zeliha DEMİRKAYA&#;a, Lider Yaınevi redaksion ekibine ve Kurumsallaşma Koordinatörümüz Engin POLAT a teşekkür ederim. Tüm adaların aşamında ve eğitim sürecinde başarı dileklerimle Genel Yaın Yönetmeni Savaş DOĞAN

4

5 İÇİNDEKİLER BAĞINTI FONKSİYON 3 Bağıntı 3 Fonksion 5 Özel Tanımlı Fonksionlar Tek ve Çift Fonksionlar Mutlak Değer Fonksionu İşaret (Signum) Fonksionu Tam Değer Fonksionu LİMİT Sağ ve Sol Limitler Sandviç Teoremi Trigonometrik Fonksionların Limitleri Genişletilmiş Gerçel Saılar Kümesinde Limit 7 SÜREKLILIK Süreksizlik Çeşitleri Aradeğer Teoremi Bolzano Teoremi TÜREV Türev ve Süreklilik İlişkisi Türev Almada Genel Kurallar Ters Fonksionun Türevi Trigonometrik Fonksionların Türevi Ters Trigonometrik Fonksionların Türevleri Logaritmik Fonksionların Türevi Üstel Fonksionun Türevi Logaritma Yardımıla Türev Hiperbolik Fonksionların Türevi Ters Hiperbolik Fonksionların Türevi Parametrik Fonksionların Türevleri Kapalı Fonksionların Türevleri Yüksek Mertebeden Türevler Polinom-Türev İlişkisi Türevin Geometrik Anlamı Türevle İlgili Teoremler Türevin Limite Ugulanması Diferansiel ardımıla aklaşık değer hesabı 67

6 19 - Artan-Azalan Fonksionlar Fonksionların Maksimum ve Minimum Noktaları Maksimum-Minimum Problemleri Konkavite ve Büküm Noktası Eğri Grafikleri İNTEGRAL Belirsiz İntegral İntegral Alma Yöntemleri Belirli İntegral İntegral Ugulamaları Genelleştirilmiş İntegraller Birinci Çeşit Genelleştirilmiş İntegraller İçin Yakınsaklık Testleri Karşılaştırma Testi Limit Karşılaştırma Testi İkinci Çeşit Genelleştirilmiş İntegraller İçin Yakınsaklık Testleri Karşılaştırma testi Limit testi KUTUPSAL KOORDINATLAR Genel Kavramlar Kutupsal Koordinatlarda Eğri Çizimi Kutupsal Koordinatlarda Alan Hesabı Kutupsal Koordinatlarda Ya Uzunluğu Hesabı DIZILER VE SERILER Diziler Seriler Pozitif Terimler İçin Yakınsak Testleri Karşılaştırma Testleri Limit Karşılaştırma Testi İntegral Testi Oran Testi Kök Testi Alterne Seriler ve Bu Serilerin Yakınsağı Kuvvet Serileri TAYLOR VE MACLAURIN SERILERI

7 ÇOK DEĞİŞKENLİ FONKSİYONLAR Tanım ve Görüntü Kümeleri Limit ve Süreklilik Kısmi Türevler Zincir Kuralı Yönlü Türevler Maksimum ve Minimumlar Lagrange Çarpanları ÇOK KATLI İNTEGRALLER İki Katlı İntegraller İki Katlı İntegrallerin Ugulamaları Üç Katlı İntegraller 1 KUADRATIK YÜZEYLER VE R n TOPOLOJİSİ 4 BÖLÜM TESTLERİ ANALİZ / TESTİ ANALİZ / TESTİ ANALİZ / TESTİ ANALİZ / TESTİ ANALİZ / TESTİ ANALİZ / TESTİ ANALİZ / TESTİ ANALİZ / TESTİ ANALİZ / TESTİ ANALİZ / TESTİ ANALİZ / TESTİ ANALİZ / TESTİ ANALİZ / TESTİ ANALİZ / TESTİ ANALİZ / TESTİ ANALİZ / TESTİ ANALİZ / TESTİ ANALİZ / TESTİ ANALİZ / TESTİ ANALİZ / TESTİ ANALİZ / TESTİ ANALİZ / TESTİ ANALİZ / TESTİ ANALİZ / TESTİ ANALİZ / TESTİ ANALİZ / TESTİ

8

9 ANALİZ ANALİZ 1. BÖLÜM

10

11 1. ÜNİTE BAĞINTI-FONKSİYON MATEMATİK BAĞINTI ada ve bdb, (a,b) ifadesine sıralı ikili denir. a&#;a birinci bileşen b&#;e ikinci bileşen denir. (a, b) ile (c, d) sıralı ikililerinin eşit olması için a c ve b d olmalıdır. ada ve b d B için tüm (a, b) sıralı ikililerin kümesi AB ile gösterilir. AB&#;nin herhangi bir alt kümesine A&#;dan B&#;e bağıntı denir. A B ise A&#;dan A&#;a bir bağıntı denir. Bağıntılar b, c, gibi sembollerle gösterilir. (, ) db ise b ile gösterilebilir. A dan B e tanımlı bağıntı saısı S(A).S(B) S(AB) kadardır. Bağıntının tersi: b bağıntısı A&#;dan B&#;e bağıntı olsun Bf AB b 1 {(, ) (, ) db} bağıntısına b&#;nın tersi denir. b {(1,,), (, ), (1, 3)} ise b 1 {(, 1), (, ), (3, 1)} 3. Ters Simetri Özelliği için (, ) d b için (, ) "b oluorsa b ters simetriktir denir. (, ) db olması ters simetrii bozmaz, arıca en az bir (, ) db için (, ) db oluorsa ters simetri değildir. 4. Geçişme Özelliği (, ), (, z) d b için (, z) db oluorsa b geçişkendir. ÖĞRETEN SORU b (, ) l + 6} olarak verilior. bkb 1 aşağıdakilerden hangisidir? A) B) 1 C) 0 D) 1 E) (, ) db iken (, ) d b 1 ise kesişim kümesi iki bağlantııda sağlamalıdır. b için b için + 6 ortak çözülürse, bulunur. CEVAP: E A {a, b, c, d} olmak üzere aşağıdaki b bağıntısının hangi özellikleri sağladığını belirleiniz. b {(a, a), (b, b), (d, d), (a, c), (c, d), (c, a)} (c, c) "b olduğundan ansıan değildir. (c, d) db iken (d, c) " b olduğu için simetrik değildir. (a, c) db ve (c, a) db olduğundan ters simetrik değildir. (a, c), (c, d) d b ancak (a, d) "b olduğundan geçişken değildir. ÖĞRETEN SORU BAĞINTININ ÖZELLİKLERİ 1. Yansıma özelliği b, A&#;da tanımlı bir bağıntı olsun. da için (, ) db ise b&#;a ansıan denir. b ansıan değil + 7 d Aiç in^, hdb s(a) n ise A üzerinde n n tane ansıan bağıntı azılabilir.. Simetrik bağıntı (, ) d b için (, ) db oluorsa simetriktir. (, ) db için (, ) " b ise simetrik değildir. A {1,, 3, 4} olmak üzere A&#;dan A&#;a azılabilecek boş olmaan bir bağıntının ansıan, geçişli, simetrik ve ters simetrik özelliğini sağlaması için en az kaç elemanlı olmalıdır? A) 4 B) 6 C) 8 D) 10 E) 1 b {(1, 1), (, ), (3, 3), (4, 4) olmalıdır ansıandır. Her eleman tersi vardır. Simetriktir. Ters simetriktir. (, ) db ters simetrii bozmaz. En az 4 elemanlı olmalıdır. CEVAP: A 3

12 MATEMATİK DENKLİK BAĞINTISI Boş olmaan A kümesinde tanımlı b bağıntısı ansıma, simetri ve geçişme özelliklerini sağlıorsa b&#;a denklik bağıntısı denir. Z&#;de tanımlı b: {(, ):4 } olsun. Denklik bağıntısı olup olmadığını inceleelim. I. Yansıma dz için (, ) db ani 4, 4 0 dır. Yansıandır. II. (, ) dz için 4 ise 4k dır. 4k, 4 olur simetriktir. III.,, z db için 4 ve 4 - z ise 4( ) + ( z) olduğundan 4 z dir. Geçişlidir ve denklik bağıntısıdır. b bağıntısı üzerinde 0Q, 1Q, Q, 3Q denklik bağıntıları şöledir 0Q {, 8, 4, 0, 4, } 1Q {, 3, 1, 5, } Q {, 6,,, 6, } 3Q {, 1, 3, 7, } A {a, b, c} olmak üzere b {(a, a), {b, b}, (c, c), (a, b), (b, c), (a, c)} bağıntısı sıralama bağıntısı mıdır? I. Yansıandır. (a, a), (b, b), (c, c) db II. (a, b), (b, c), (a, c) tersleri oktur. Ters simetriktir. III. (a, b), (b, c) db iken (a, c) db geçişlidir. Diagramı a b c a b c (A, ) kısmi sıralı küme olsun. I. Eğer A&#;nın bir elemanından sonra gelen eleman oksa o elemana büük eleman denir. (Birden fazla büük eleman olabilir.) II. Eğer A&#;nın bir elemanından önce gelen eleman oksa o elemana küçük eleman denir. (Birden fazla olabilir.) III. Eğer A&#;nın bir elemanı bütün elemanlardan önce (sonra) geliorsa o elemana en küçük (en büük) eleman denir. Denklik bağıntısı sorularında a&#;nın denklik bağıntısı soruluorsa a azılır. bulunur. SIRALAMA BAĞINTISI A kümesi üzerinde tanımlı b bağıntısı ansıma, geçişme ve ters simetri özelliklerini sağlıorsa b&#;a sıralama bağıntısıdır denir. Sıralama bağıntısı ile gösterilir. (, ) d + ile ifade edilir. A {a, b, c, d, e, f, g} olmak üzere aşağıda diagramı verilen bağıntıı inceleelim. g Diğer bir ifadele elemanları kıaslanabilir ( ) olan bağıntıa denir. Her eleman birbirile kıaslanamaz ise A&#;a kısmi (kısmen) sıralı küme denir. d e c f Tam Sıralı Küme: Tüm elemanları ile sıralanabilen kümee denir. Örneğin, Z, N İi Sıralı Küme: Boş kümeden farklı her alt kümesinin en küçük elemanı var olan kümee ii sıralı küme denir. N, sama saıları kümeleri ii sıralıdır. Z tam sıralıdır, ancak en küçük elemanı olmadığından ii sıralı değildir. a b I. En küçük elemanı oktur, en küçük elemanları vardır a ve b dir. (a, b) a da (b, a) "b olduğundan kıaslanamazlar. II. En büük elemanı oktur, elemanları vardır, d, g, f dır. Kıaslanamazlar. III. a c e g ve b c e g dır a da b c d, a da a c f dir. Tüm elemanları kıaslanamazlar. 4

13 BAĞINTI-FONKSİYON 8 ÖĞRETEN SORU A {1,, 3, 4, 6, 8, 9, 1, 18, 4} b {(, ) daa: } olmak üzere B {3, 4, 6} ile ilgili olarak hangileri doğrudur? I. En büük eleman 4 tür. II. En küçük eleman 1 dir. III. inf (B) 1 dir. IV. sup(b) 1 dir. A) I, II B) II, III C) I, III D) III, IV E) II, III, IV B 9 Hasse Diagramı En büük elemanı oktur. En küçük elemanı oktur. inf (B) 1 dir. 3, 4, 6&#;a bölünen en üçük saı (1)dir doğru. sup(b) 4 tür. Doğru 3, 4 ve 6 ı bölen en büük saı 4 CEVAP: D I. ansıandır. (, )db II. Her elemanın tersi var. Simetriktir, ters simetrik değildir. III. (, 3) db ve (3, 4) db fakat (, 4) zb, b geçişken değil o halde denklik bağıntısı değil. IV. b ters simetrik olmadığından sıralama bağıntısı değildir. CEVAP: A FONKSİYON A Ø ve B Ø olmak üzere A&#;nın bir ve alnız bir elemanı B&#;nin herhangi bir elemanına karşılık geliorsa A " B&#;e fonksion denir. A tanım kümesi B değer kümesi f:a " B denir. Bir f() ifadesinin fonksion olabilmesi için eksenine dik doğrular çizilir bu doğrular eğrii en az iki noktada keserse fonksion değildir. f() biçiminde ise &#;e dik doğrular çizilir. I II f() f() fonksion değil fonksion fonksion ÖĞRETEN SORU Fonksion Çeşitleri I. Örten ve İçine Fonksion f: A " B fonksionu için f(a) B ise örten fonksiondur. Örten olmaan fonksiona içine fonksion denir. A {1,, 3, 4} ile ilgili b bağıntısının diagramı aşağıda verilmiştir Buna göre, I. Yansıandır. II. Simetriktir. III. Denklik bağıntısıdır. IV. Sıralama bağıntısıdır. ifadelerinden hangileri doğrudur? A) I, II B) II, III C) I, III D) I, II, III E) II, III, IV a < 0, f: R " B f() a + b + c örten ise kolları aşağı bir parabol belirtir. T(r, k) olmak üzere Değer kümesi (, k] B dir. b b r - a, k fb - ldır. a a > 0 olsadı B [k, ) olurdu. II. Birebir Fonksion f: A " B, 1, d A için 1 & f( 1 ) f( ) sağlanırsa birebirdir denir. 5

14 MATEMATİK f() fonksionu grafiğinin birebir olduğunu anlamak için, eksenine paralel doğrular çizilir. Grafiği birden fazla erde kesiorsa birebir değildir. f() f() f() f() f() f() birebir değil birebir değil birebir IV. SABİT FONKSİYON f: A " B bir fonksion cdb olmak üzere f() c fonksionuna sabit fonksion denir. f(a) c dir. f] g a + b c d ve g m n k ] g a + b + c a b Tanımlı oldukları aralıkta sabit fonksionsa f için c d m n k g için a b c dir. ÖĞRETEN SORU f: A " R f() birebir ve artan ise A kümesi aşağıdakilerden hangisi olabilir? A) [1, ) B) [0, ] C) [, ] D) (, ] E) [, ) Kolları ukarı olan parabol, azalan 3 O artan [, ) aralığında artan ve birebir CEVAP: E V. TERS FONKSİYON Bir fonksionun tersinin fonksion olabilmesi için 1 1 ve örten olması gerekir. Tanımlı olduğu aralıkta birebir ve örten fonksionlarda kendisi artan ise tersi de artan kendisi azalan ise tersi de azalandır. ÖĞRETEN SORU b - 6 f:r {a} " R {3} f() + 4 birebir ve örten ise a.b? A) 6 B) 1 C) 0 D) 6 E) 1 f() için olmalıdır a 4 - b! 0 f 1 () için f () 3- b! 0 - b b 3 a.b 1 artan ve birebir CEVAP: B III. BİRİM FONKSİYON A 0 olmak üzere f: A " A f() fonksionuna birim fonksion denir. I n ile gösterilir. f 1 : A " A dır. BİLEŞKE FONKSİYON f: A " B ve g: B " C iki fonksion olsun. gof: A " C, gof() g(f()) fonksionuna bileşke fonksion denir. Birim fonksion birebirdir. Özellik 1 1 fonksionların bileşkesi 1 1 dir. Örten fonksionların bileşkesi örtendir. gof birebir ve örten ise f kesin birebir, g kesin örtendir. (bileşke fonksionlar birebir ve örten ise ilk işlem apılan fonksion kesin birebirdir ve son işlem apılan fonksion örtendir.) (fog()) 1 g 1 of 1 (), tir. 6

15 BAĞINTI-FONKSİYON ÖĞRETEN SORU I. f birebirdir. II. g örtendir. III. g birebirdir. fog() f(g()) fonksionu birebir ise hangisi kesin doğrudur? A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) I, II E) I, III fog() birebir ve g( 1 ) g( ) olsun. fog( 1 ) fog( ) ve 1 olur. g birebirdir. Diğerleri için orum apılamaz. CEVAP: C ÖĞRETEN SORU f: X " Y bir fonksion A, B, 3 Y dir. I. f ] A, Bg3 f ] Ag, f ] Bg II. f 1 (A) ø ise A ø III. f örten ise f(f 1 A) A hangileri kesin doğrudur? A) I, II, III B) II, III C) I, III D) Yalnız I E) Yalnız III I. Kesin doğru. Teoremden. II. f 1 (A) ø ise f içine fonksion olmuş olup A elemanları ile eşleşen eleman olmamış olabilir ani A boştan farklı olabilir. (Yanlıştır) III. f örten olduğu için doğrudur. CEVAP: C Özellikler: f: A " B fonksion X 1, X f A ve Y 1, Y f B için 1. f(x 1 jx ) f(x 1 )jf(x ). f(x 1 kx ) f(x 1 )kf(x ) 1 1 iken 3. f(x 1 ) \ f(x ) f(x 1 \ X ) 1 1 iken 4. f 1 (Y 1 jy ) f 1 (Y 1 )jf 1 (Y ) 5. f 1 (Y 1 ky ) f 1 (Y 1 )kf 1 (Y ) 6. X 1 fx & f(x 1 )ff(x ) ÖĞRETEN SORU f: [a, b] " [d, c] sürekli ve kesin azalandır. f(a) c, f(b) d olduğuna göre I. f nin tersi vardır. II. f 1 fonksionu [d, c] üzerinde artandır. III. f 1 fonksionu integrallenebilir. ifadelerinden hangileri doğrudur? A) Yalnız I B) I, II C) I, III D) II, III E) I, II, III Bir aralıkta sürekli ve kesin azalan fonksionlar birebir ve örtendir. Tersi vardır ve tersi de azalandır. I doğru II anlıştır. Sürekli fonksionlar integrallenebilirler. III doğru CEVAP: C ÖĞRETEN SORU I. fog 1 1 ise g 1 1 dir. II. gof örten ise g örtendir. III. f(akb) f(a)kf(b) IV. gof() g() ise f birim fonksiondur. Hangileri kesin doğrudur? A) I, II B) II, III C) I, III D) I, IV E) II, IV I. fog 1 1 ise ilk işleme giren (g) birebirdir. Doğru II. gof örtense an işlem apan (g) örtendir, f hakkında orum apılamaz. III. Birebir olursa doğrudur. Aksi halde anlıştır. IV. gof() g() ise f() tir. f birebirdir. Doğru. CEVAP: D 7

16 MATEMATİK ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR 1 Tek ve Çift Fonksionlar f: A"B, f() fonksionu verilsin. 6!A için f( ) f() ise f() fonksionu TEK fonksion, 6!A için f( ) f() ise f() fonksionu ÇİFT fonksiondur f : R "R, f() 4 cos için f( ) ( ) 4 cos( ) 4 cos f() f() çift fonksiondur. f: IR " IR, f() 3 + fonksionunu düşünelim. f( ) ( ) 3 + ( ) 3 Özellikler İki çift fonksionun (vea iki tek fonksionun) çarpımı vea bölümü çift fonksiondur. Bir tek bir çift fonksionun çarpımı vea bölümü tek fonksiondur. Çift fonksionların tüm kuvvetleri çifttir. Tek fonksionların tek tamsaı kuvvetleri tek, çift tamsaı kuvvetleri çifttir. ( 3 + ) f() f() tek fonksiondur. f : R "R, f() 3 5 fonksionunu düşünelim. f( ) 3( ) 5 ( ) (3 5 ) f() f() tek fonksiondur. f: IR " IR, F () cos sin + 5 fonksionu için sin " Tek 3 " Tek fonksion olur. cos + 5 " çift f: IR " IR, f() + cos için f( ) ( ) + cos( ) + cos f() f() çift fonksiondur. cos f : R "R, f() sin + fonksionu için cos " çift & tek fonksion olur. sin + " tek 8

17 BAĞINTI-FONKSİYON f: IR {0} "R tan f () fonksionu için tan " tek Çift fonksion olur. tek ÖĞRETEN SORU Aşağıdakilerden hangileri çift fonksiondur? A) f() 3 sin B) f() C) f() 5 (a) "Tek (c) " Çift D) f() cos + (b) "Tek (d) " Çift CEVAP: C ve D şıkları f : R "R, f() sin + 4 sin & çift 4 çift fonksion olur. + 4 & çift f: IR "IR, f() sin + fonksionu için f( ) sin( ) + ( ) sin + Ne tek ne çift fonksiondur. Aşağıdakilerden hangileri çift fonksiondur? (a) f() + 3 (b) f() cos 3 (c) f() sin 5 + cos (d) f() sin f : R "R, f() tan + 1 fonksionu için f( ) tan( ) + 1 tan + 1 Ne tek ne çift fonksiondur. (a) Ne tek ne çift (b) Çift (c) Ne tek ne çift (d) Tek Sadece (b) şıkkı 9

18 MATEMATİK Kural Çift fonksionların grafiği O eksenine göre simetriktir. f: IR "IR olmak üzere Tek fonksionların grafiği orijine göre simetriktir. f () fonksionunu parçalı olarak ifade edin. f () kritik noktalar 1 Z , < 0 ] f () [ , 0 # # 1 ] + , > 1 \ Z- 4+ 3, < 0 ] f () [- + 3, 0 # # 1 ] , > 1 \ f : R " R için Mutlak Değer Fonksionu Tanım: A IR olmak üzere, f: A "IR için f () f (), f ( ) $ 0 ise ) -f (),() f < 0 ise şeklinde tanımlı fonksiona mutlak değer fonksionu denir. f() ( - 1) + + fonksionunu parçalı olarak ifade ediniz. f() kritik noktalar 1 Z , ] < - f() [ , - # # 1 ] + 1 \, > 1 Z ], < - f() [ 3, - # # 1 ] + 1 \, > 1 10

19 LİSE MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ KONU ANLATIMI MODÜL - DİFERANSİYEL DENKLEMLER İSTATİSTİK - OLASILIK LİNEER CEBİR

20 ÖABT YAYINLARI Genel Yaın Yönetmeni Savaş DOĞAN Genel Yaın Yönetmen Yardımcısı Arzu ALAN Yazar Ahmet YILDIRIM Orhan Gökhan GÖKDAŞ ISBN Safa Düzeni AYMİR Yaınevi Dizgi Birimi Baskı Tarihi Ankara BASKI Sistem Ofset Basım Yaım Tic. Ltd. Şti. Strazburg Caddesi No: 31/17 Sıhhie / Çankaa / ANKARA Tel: İletişim Adresi Serhat Mah. Mehmet Akif Erso Cad. No: 33 Yenimahalle / ANKARA Cep: () [email protected] COPYRIGHT AYMİR YAYINEVİ Yaım Hakkı Bu kitabın her türlü aım hakkı Amir Yaın Basım Dağıtım Ltd. Şti. e aittir. Bu kitabın baskısından ve saılı Fikir ve Sanat Eserleri Yasası hükümleri gereğince kanak gösterilerek bile olsa alıntı apılamaz, herhangi bir şekilde çoğaltılamaz, genel ağ ve diğer elektronik ortamlarda aımlanamaz. BU KİTAP T.C. KÜLTÜR BAKANLIĞI BANDROLÜ İLE SATILMAKTADIR.

21 Değerli Öğretmen Adaları; Milli Eğitim Bakanlığı her ıl öğretmen ihtiacını, adaların KPSS sonuçlarına göre aptığı atamalarla sağlamaktadır. Atamalarda referans alınan başarı puanları üç farklı testin sonuçlarına göre elde edilmekte ve adaların KPSS puanı hesaplanmaktadır. KPSS 11 puanı aşağıdaki bölümler ve ağırlıklandırmalardan oluşmaktadır: Genel Yetenek Testi % 15 Genel Kültür Testi % 15 Eğitim Bilimleri Testi % 0 Öğretmenlik Alan Bilgisi Testi % 50 Atama puanlarında en büük etkie sahip olan Öğretmenlik Alan Bilgisi Testi nin genel apısını Eğitim Fakültelerinde verilmekte olan akademik müfredat, ilgili alanının öğretim programı ve öğretim öntemleri oluşturmaktadır. Bu doğrultuda aınımız, alanında uzman azar kadromuz tarafından sınavın kapsamı, akademik apısı ve soru tarzları dikkate alınarak titiz bir çalışma sonucu hazırlanmıştır. Kitabın hazırlanmasında ve aımlanmasında desteğini esirgemeen Dizgi Bölümü Sorumlusu Zeliha DEMİRKAYA&#;a, Lider Yaınevi redaksion ekibine ve Kurumsallaşma Koordinatörümüz Engin POLAT a teşekkür ederim. Tüm adaların aşamında ve eğitim sürecinde başarı dileklerimle Genel Yaın Yönetmeni Savaş DOĞAN

22

23 İÇİNDEKİLER 1. BÖLÜM DİFERANSİYEL DENKLEMLER

24

25 1. BÖLÜM DENKLEMLER DİFERANSİYEL DENKLEMLER DİFERANSİYEL 1. BÖLÜM

26

27 1. BÖLÜM DİFERANSİYEL DENKLEMLER MATEMATİK DİFERANSİYEL DENKLEMLER Tanım: Bilinmeen bir fonksion ve bu fonksiona ait türleri içeren denklemlere diferansiel denklemler denir. Fonksion bir değişkene bağlı ise adi diferansiel denklem, birden fazla değişkene bağlı ise kısmi diferansiel denklem adını alır. ı + tan, d - 3 e, d ( ı ) 3 3 denklemleri birer adi diferansiel denklemlerdir. u u + 3u, F() 0 olduğunda homojen diferansiel denklem, F() 0 olduğunda ise homojen olmaan diferansiel denklem adını alır. ııı ıı + 5 cos, ıı + sin. 0, denklemleri lineer iken, ııı + e. ı + 0 ( ıı ) ln. sin denklemleri lineer değildir. u u u denklemleri ise kısmi diferansiel z denklemlere örnektirler. Adi difransiel denklemleri F(,, ı, ıı,, (n) ) 0 ile ifade ederiz. Biz diferansiel denklemler olarak adi diferansiel denklemleri ele alacağız. Tanım: Bir diferansiel denklemdeki en üksek mertebeden türevin mertebesine diferansiel denklemin mertebesi denir. En üksek mertebeden türevin kuvvetine ise diferansiel denklemin derecesi denir. Aşağıdaki diferansiel denklemlerden hangisi. mertebeden lineer diferansiel denklemdir? ÖĞRETEN SORU A) ( )d + 3d 0 B) ( ı ) + ln sin C) ıı +. ı ln 0 D) ıı + sin. ı 3 0 ııı ( ıı ) 3 5 tan (3. mertebe, 1. derece) ( ıı ) 3 3 sec (. mertebe, 3. derece). ıı + cos.( ı ) (. mertebe, 1. derece) Tanım: n. mertebeden lineer diferansiel denklem a n () (n) + a n 1 () (n 1) +a o () F() ile gösterilir. Bu şekilde ifade edilemeen diferansiel denklemlere lineer olmaan diferansiel denklemler denir. E) ııı ıı + 0 a 1. mertebeden ve lineer değil b 1. mertebeden ve lineer değil c. mertebeden fakat lineer değil d. mertebeden ve lineer olduğundan doğrudur. e 3. mertebeden ve lineer CEVAP: D 3

28 MATEMATİK ÖĞRETEN SORU Aşağıdaki diferansiel denklemlerden hangisi 3. mertebeden lineer difiransiel denklemdir? A) ( ll ) 3 3. sec. sin B) lll + e 0 C) ( lll ) sin. 0 D) ( l ) 3 0 E) ll 3 cos a. mertebe ve lineer değil b 3. mertebe ve lineer olduğundan anıttır. c 3. mertebe fakat lineer değil d 1. mertebe ve lineer değil e. mertebe ve lineer değil CEVAP: B ÖĞRETEN SORU ll 3sin. l + e. 0 diferansiel denklemi için kaç tanesi doğrudur? l. Lineer ll. Homojen lll.. dereceden lv. Adi diferansiel denklem V. 1. mertebeden A) 1 B) C) 3 D) 4 E) 5 l. Denklem lineerdir. ll. F() 0 olduğundan homojendir. lll. 1. dereceden X lv. Adi diferansiel denklem V.. mertebeden X CEVAP: C ÖĞRETEN SORU I. Denklem lineerdir. 3 ııı + ln. ıı 3 sec diferansiel denklemi için kaç tanesi doğrudur? I. Lineer II. Homojen III. 3. mertebeden IV.. dereceden V. Kısmi diferansiel denklem A) 1 B) C) 3 D) 4 E) 5 II. F() sec 0, dolaısıla homojen değildir. 7 III. 3. mertebedendir. 3 IV. 1. derecedendir. 7 V. Adi diferansiel denklemdir. 7 CEVAP: B Başlangıç - Değer ve Sınır Değer Problemleri Diferansiel denklemlerin çözümü denklemin mertebesine bağlı olarak bir vea birden fazla sabit içerir. Bu sabitlerin bulunabilmesi için denklem ile beraber ek koşullar verilmelidir. Bu koşullar bağımsız değişkenin bir tek değeri için tanımlanıorsa bu probleme başlangıç - değer problemi, birden fazla değer için tanımlanıorsa sınır - değer problemi denir. Örneğin; ıı (0), ı (0) 1 başlangıç - değer problemidir, çünkü sadece 0 değeri var, fakat ıı (0) 1, (1) 3 ise sınır-değer problemidir. Çünkü 0 ve 1 değerleri vardır. 4

29 DİFERANSİYEL DENKLEMLER ÖĞRETEN SORU Aşağıdakilerden hangisi başlangıç - değer problemidir? A) ıı + 0 (0) 1, (r) 1 B) ıı 0 (0) 1, (1) 3 C) ıı + e 0 (1) e, ı (1) e D) ıı sin. 0 (1) r, ı () r E) ıı (0) 5, ı (1) 3 ÖĞRETEN SORU ıı (0) 1, ` r j problemi için hangisi sölenemez? A) Sınır-değer problemidir. B) Lineerdir. C) Homojendir. D). mertebedendir. E). derecedendir. ıı mertebe, 1. derecedir. Dolaısıla doğru anıt e) şıkkıdr. CEVAP: E c şıkkında sadece 1 değeri için koşullar olduğundan başlangıç-değer problemidir. CEVAP: C ll + e. e (0) 1, l (1) e ÖĞRETEN SORU problemi için hangisi sölenemez? A) Homojendir. B) Sınır - değer problemidir. C) Lineerdir. D). mertebedendir. E) Adi diferansiel denklem içerir. ÖĞRETEN SORU Aşağıdaki denklemlerden hangileri başlangıç değer problemidir? l. lll + 0 (0) 1, l (0), ll (0) 1 ll. ll + e 0 (0) 1, (1) e lll. ll + 0 r ( 0) 1, ` j 3 lv. ll ln. 0 ( ) 5, ( ) 5 A) Yalnız l B) ll ve lll C) l ve lv D) ll ve lv E) Yalnız lll l. sadece 0 değeri için koşullar var. lv. sadece değeri için koşullar var. CEVAP: C F() e 0 olduğundan homojen değildir. CEVAP: A Değişkenlerine Arılabilir Diferansiel Denklemler d Tanım: M(,)d + N(,)d 0 vea d f (,) şeklinde ifade edilen birinci mertebeden diferansiel denklem f 1 ().g 1 ()d + f ()g ()d 0 formunda azılabiliorsa bu tip diferansiel denklemlere değişkenlerine arılabilir diferansiel denklemler denir. Denklemin genel çözümü f1 () g() f () d + % g () d 0 % $ ile hesaplanır. 1 5

30 MATEMATİK (cos)d ( + 1)sind 0 diferansiel denkleminin genel çözümünü bulunuz. Denklem değişkenlerine arılabilir olduğundan sin # d cos d - # # 0 ile çözümü hesaplarız u cos v ÖĞRETEN SORU ( 3 3 )d + ( + )d 0 diferansiel denkleminin genel çözümü hangisidir? 1 3 A) ln - c 1 1 B) ln - c C) ln 3ln 4 c D) ln() + 3 c E) ln + 5 c d du sind dv 1 # du dv 1 u + # v # 0 & ln u+ ln v ln c u $ v c u$ v C & ^ + 1h$ cos C 3 (1 ) d + (1 + ) d 0 # 1 - d 3 - a - k + # _ + i d # ln c ln 1 1 c - CEVAP: B I diferansiel denkleminin genel çözümünü bulunuz. d d d ( 1 + )& d olduğundan 1 + denklem değişkenlerine arılabilirdir. d # # d & arctan c ÖĞRETEN SORU d d $ sec diferansiel denkleminin genel çözümü hangisidir? A) sec + cos c B) cos + 3 c C).sec c D) sin c E) cos + sin c d d cos & # cos d # d sin + c CEVAP: D ÖĞRETEN SORU e 3 d + e + d 0 diferansiel denkleminin genel çözümü hangisidir? A) e + e c B) e 3 e c C) e c D) e + e 3 c E) e c e 3 d + e.e d 0 # ed+ # e d # 0 e + e c CEVAP: A 6

31 DİFERANSİYEL DENKLEMLER ÖĞRETEN SORU d n d + (ln) d 0 diferansiel denkleminin genel çözümünü hangisidir? 4 ^ln h A) + - c B) 3 + ln c 4 ln C) c D) 4 ln ln c 3 E) + ln c 4 4 # ( 4 3 ) d+ # ( ln d ) # # ln d c 1 ln u d du d dv v 4 + ln. - $ 1 d c 4 ln c ÖĞRETEN SORU # CEVAP: C d d sin ( + ) - 1 diferansiel denkleminin çözümü aşağıdakilerden hangisidir? A) cos( + ) c B) sin ( + ) c C) sin( + ) c D) cot ( + ) c E) + cot( + ) c + u dönüşümü aparız d du d du 1 + d d & d d -1 du du d - 1 sin u - 1 & cot sin d &- u + c u + cot( + ) c CEVAP: E ÖĞRETEN SORU d d ( ) diferansiel denkleminin çözümü hangisidir? A) 1 ln( ) c B) 1. ( ) c C) 1 cot( ) c D) arctan a k c ^4+ + 5h 3 E) 3 - c u dönüşümü aparız. d du d du 4 + d d & d d - 4 du du d - 4 u & # # d 4 + u 1 arctan u + c CEVAP: D ÖĞRETEN SORU d d + cot 0 ( ) 0 4 başlangıç değer probleminin çözümü hangisidir? A) ln( + 1) cos 4 B) ln(cos) + 4 C) cos ln(sin) 4 D) ln sin ln E) - ln( cos ) d cot + d 0 sin d # cos + # d # 0 &- lncos + c () 0 & ln1 + c c - ln( cos ) CEVAP: E 7

32 MATEMATİK ÖĞRETEN SORU a + 1 k d + a - 1 k d 0 (0) 1 başlangıç - değer probleminin çözümü hangisidir? A) 3 0 B) ( + 1) ( 1) 8 C) ( 1) ( + 1) D) ( + ln) + ( ln) 3 E). ( + 1) 1 e + 1 o 1 d + c - m d 0 # d # + 1 # 0 ( )d + 3d 0 denklemi için d d d 0 & d 1 3 $ a - k f` j olduğundan denklem homojendir. ` sin j d + ( + ) d 0 denklemi için d sin d sin d & d - f` j 1 + olduğundan denklem homojendir ln( - 1) + ln( + 1) ln c ( 1) ( + 1) c (0) 1 ( 1). c c ( 1) ( + 1) CEVAP: C ( )d 3 d 0 denklemi için ( ) 3 d d d d f` j olduğundan denklem homojendir. (arctan ) d d 0 denklemi için d d arctan f` j olduğundan denklem homojendir. Aşağıdaki diferansiel denklemlerden hangisi homojendir? ÖĞRETEN SORU A) ( 3 3 )d + d 0 B) sin` j d + ^ 3- h d 0 C) _ - id + ( - ) d 0 Homojen Diferansiel Denklemler Tanım: M(,)d + N(,)d 0 şeklindeki birinci mertebeden diferansiel denklem d d f` j olacak şekilde in bir fonksionu olarak ifade edilebiliorsa bu tip denklemlere homojen diferansiel denklemler denir. c) şıkkı için d d - D) `ln j d + ( - 1 ) d 0 E) ( + 1)d + (3 )d $ olduğundan denklem homojendir. f` j CEVAP: C 8

33 DİFERANSİYEL DENKLEMLER ÖĞRETEN SORU Aşağıdaki diferansiel denklemlerden hangisi homojendir? d - A) d B) + 1 C) ( 3 3 ) d d 0 D) ` tan j d + ( - ) d 0 E) `ln + 1jd + ( 3+ ) d 0 D şıkkı için 1 d tan tan d - - $ f` j olduğundan denklem homojendir. CEVAP: D d d + + diferansiel denklemini çözünüz. d d olduğundan denklem homojendir. dv dv v+ d v v d 1 + v arctanv ln + c arctan ln + c elde edilir. # dv 1 + v # d Homojen Diferansiel Denklemlerin Çözümü Homojen diferansiel denklemler sahiptirler. Bu tip denklemleri çözmek için v d d d d f` j formuna _ b ` dv v+ d b a dönüşümü kullanılır, bu saede denklem değişkenlerine arılabilir hale getirilir. ( + )d d 0 diferansiel denklemini çözünüz. d + d homojendir. & d d v dönüşümü aparak; dv 1 dv 1 v + d v + v & d v # d vdv # 1 + olduğundan denklem v ln + c & - ln c elde edilir. ` + cos j d - cos d 0 diferansiel denkleminin çözümü hangisidir? A) cos ln ÖĞRETEN + c SORU B) sin - ln c C) cosec - ln c D) tan + e c E) cot - ln c d cos 1 d + + olduğundan denklem cos cos homojendir. dv 1 v + d cos v + v & # cosvdv # sinv ln + c sin - ln c d CEVAP: B 9

34 MATEMATİK ÖĞRETEN SORU d d e + (1) 0 Başlangıç değer probleminin çözümü hangisidir? A) e 1 B) e ln` j 1 C) e + ln - D) e + ln 1 - E) e + ln 1 dv v -v d v+ d e + v & # e dv # e v ln + c e v - + ln + c 0 e + ln + c 0 (1) 0 e 0 + ln1 + c c 0 c 1 (ln ln + ) d d CEVAP: D _ - - id- d 0 4 ( 1) 1 ÖĞRETEN Başlangıç-değer probleminin çözümü SORU hangisidir? r A) arcsin + ln r B) arccos - ln 4 r C) arctan + ln 4 D) sin - ln sin 1 E) cos e r - d d - - d d dv v+ d v- 1 -v & arcsinv + ln c arcsin + ln c (1) 1& arcsin1 + ln1 c & # # # dv 1 - v d + r c 0 CEVAP: A ÖĞRETEN SORU diferansiel denkleminin çözümü hangisidir? A) ln + c B) ln cln C) ln - c D) ln c E) ln` j c ` ln + d j d d ln + d dv dv vlnv + v v + d vlnv d # d dv # v( ln v) ln(lnv) ln + lnc ln(ln ) ln(c) ln c CEVAP: E ÖĞRETEN SORU ( 3 + 4)d + (3 1)d 0 diferansiel denklemini homojen diferansiel denklem haline getirmek için hangi dönüşüm kullanılır? A) X + 3 Y B) X 1 Y 3 C) X + 1 Y + D) X Y + 1 E) X 1 Y

35 DİFERANSİYEL DENKLEMLER İki doğru paralel olmadığından X + h Y + k dönüşümü kullanılır. h ve k değerleri ise 3/ h 3k h k 1 0 denkleminin çözümünden elde edilir. h 3k h + 3k h & h 1 k ÖĞRETEN SORU X + 1 Y + elde edilir. CEVAP: C (3 + 5) d + ( 4 6) d 0 diferansiel denklemini homojen hale getirmek için hangi dönüşüm kullanılır? A) X + 3 Y + 1 B) X + Y 1 C) X + 4 Y D) X Y 1 E) X + 1 Y İki doğru paralel olmadığından X + h Y + k dönüşümü kullanılır. h ve k değerleri ise 3h + k / h 4k 6 0 denklemlerinin çözümünden elde edilir. 3h + k 5 0 3h + 1k k k 1 ve h X + Y 1 elde edilir. CEVAP: B Tam Diferansiel Denklemler M(,)d + N(,)d 0 diferansiel denklemi için M N eşitliği gerçekleniorsa denkleme tam diferansiel denklem denir. ( 3 + sin)d + (3 )d 0 diferansiel denklemi M _ 3 b M N ` olduğundan N 3 b a tam diferansiel denklemdir. Fakat ( 3 + ln)d + ()d 0 diferansiel denklemi M N M N 3, &! olduğundan tam diferansiel denklem değildir. (sin + 3ln) d + ( cos) d 0 diferansiel denklemi M sin M N 4 N sin olduğundan tam diferansiel denklemdir. Fakat (. tan + cos)d + ( sin)d 0 diferansiel denklemi M tan M N 4! N -cos olduğundan tam diferansiel denklem değildir. 11

36 MATEMATİK ÖĞRETEN SORU Aşağıdaki diferansiel denklemlerden hangisi TAM diferansiel denklemdir? A) ( + )d + ( 3 ln)d 0 B) ( + tan)d + (sin 3)d 0 C) (sin + cos)d + (ln)d 0 D) (5 + 16)d + (8 tan)d 0 E) (3 + 5)d ( 3 + 8)d 0 d) şıkkı için M N 16 olduğundan denklem TAM dır. CEVAP: D ( + cos)d + ( sin + )d 0 diferansiel denklemini çözünüz. M N - sin olduğundan denklem TAM diferansiel denklemdir. F # Md +, () # ( + cos ) d +,() + cos + l() F N & sin + l ı () sin + l() + c + cos + c elde edilir. ÖĞRETEN SORU Aşağıdaki diferansiel denklemlerden hangisi TAM diferansiel denklemdir? A) (cos )d + (ln sin)d 0 B) (e + 3)d + (e )d 0 C) ( + + 1) d + ( ) d 0 D) (tan + 1) d + (cot 3) d 0 E) (3 + 5) d + ( 3 + 8)d 0 E şıkkı için M N 3 olduğundan denklem TAM diferansiel denklemdir. CEVAP: E ( +. ln)d + d 0 diferansiel denklemini çözünüz. M N olduğundan denklem TAM diferansiel Tam Diferansiel Denklemin Çözümü M(,)d + N(,)d 0 denklemi TAM diferansiel denklem ise; _ F(,) # Md (,) +,( ) b sisteminden F(,) c F (,) ` N (,) b a çözümü elde edilir. denklemdir. # # F Md+ l() ( + ln ) d + l () F l N & + l () l() c ln + l () 3 + ln c elde edilir. 1

37 LİSE MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ KONU ANLATIMI MODÜL - 3 ANALİTİK GEOMETRİ SAYILAR TEORİSİ VE SOYUT CEBİR ALAN EĞİTİMİ

38 ÖABT YAYINLARI Genel Yaın Yönetmeni Savaş DOĞAN Genel Yaın Yönetmen Yardımcısı Arzu ALAN Yazarlar Ahmet YILDIRIM Orhan Gökhan GÖKDAŞ Alan Eğitimi Gülsev GÜRSOY ISBN Safa Düzeni AYMİR Yaınevi Dizgi Birimi Baskı Tarihi Ankara BASKI Sistem Ofset Basım Yaım Tic. Ltd. Şti. Strazburg Caddesi No: 31/17 Sıhhie / Çankaa / ANKARA Tel: İletişim Adresi Serhat Mah. Mehmet Akif Erso Cad. No: 33 Yenimahalle / ANKARA Cep: () [email protected] COPYRIGHT AYMİR YAYINEVİ Yaım Hakkı Bu kitabın her türlü aım hakkı Amir Yaın Basım Dağıtım Ltd. Şti. e aittir. Bu kitabın baskısından ve saılı Fikir ve Sanat Eserleri Yasası hükümleri gereğince kanak gösterilerek bile olsa alıntı apılamaz, herhangi bir şekilde çoğaltılamaz, genel ağ ve diğer elektronik ortamlarda aımlanamaz. BU KİTAP T.C. KÜLTÜR BAKANLIĞI BANDROLÜ İLE SATILMAKTADIR.

39 Değerli Öğretmen Adaları; Milli Eğitim Bakanlığı her ıl öğretmen ihtiacını, adaların KPSS sonuçlarına göre aptığı atamalarla sağlamaktadır. Atamalarda referans alınan başarı puanları üç farklı testin sonuçlarına göre elde edilmekte ve adaların KPSS puanı hesaplanmaktadır. KPSS 11 puanı aşağıdaki bölümler ve ağırlıklandırmalardan oluşmaktadır: Genel Yetenek Testi % 15 Genel Kültür Testi % 15 Eğitim Bilimleri Testi % 0 Öğretmenlik Alan Bilgisi Testi % 50 Atama puanlarında en büük etkie sahip olan Öğretmenlik Alan Bilgisi Testi nin genel apısını Eğitim Fakültelerinde verilmekte olan akademik müfredat, ilgili alanının öğretim programı ve öğretim öntemleri oluşturmaktadır. Bu doğrultuda aınımız, alanında uzman azar kadromuz tarafından sınavın kapsamı, akademik apısı ve soru tarzları dikkate alınarak titiz bir çalışma sonucu hazırlanmıştır. Kitabın hazırlanmasında ve aımlanmasında desteğini esirgemeen Dizgi Bölümü Sorumlusu Zeliha DEMİRKAYA a, Lider Yaınevi redaksion ekibine ve Kurumsallaşma Koordinatörümüz Engin POLAT a teşekkür ederim. Tüm adaların aşamında ve eğitim sürecinde başarı dileklerimle Genel Yaın Yönetmeni Savaş DOĞAN

40

41 İÇİNDEKİLER 1. BÖLÜM ANALİTİK GEOMETRİ

42

43 1. BÖLÜM GEOMETRİ ANALİTİK GEOMETRİ ANALİTİK 1. BÖLÜM

44

45 1. BÖLÜM ANALİTİK GEOMETRİ MATEMATİK ANALİTİK GEOMETRİ 1) DÜZLEMDE VEKTÖRLER A. İki nokta arasındaki uzaklık A(X 1, Y 1 ) ve B(X, Y ) verilen iki nokta olmak üzere AB ^ - h + ^ - h ile iki nokta arasındaki uzaklık bulunur. 1 1 B vektörleri için I. A B & 1 / 1 dir. II. A (bou, normu) III. AB B- A , - 1@ IV. A+ B 6 1+, V. // 1 1 A B & k & A kb P(,5) ve Q( 1,1) noktaları arasındaki uzaklık kaçtır? PQ ^+ 1h + ^h A ( k +, 3) ve B4 (, m - ) için Köşeleri P(0,3), Q(, 1), R(6,1) olan PQR üçgeninin çeşiti nedir? A B olduğuna göre k + m kaçtır? A B k + 4 & k k +m 7 m 3 & m 5 PQ QR PR PQ + QR PR üçgendir. oldğundan üçgen ikizkenar dik B. Vektörler Yönlü doğru parçalarına vektör adı verilir. Başlangıç noktası A, bitiş noktası B olan bir vektör AB ile gösterilir. Vektörün bou (normu) AB ile gösterilir. C. Düzlemde Vektörler Başlangıç noktası orijin olan OP vektörüne konum vektörü denir. A 1 1 A(1, 3), B( 1, ), C(0, 3), D(1, 4) olduğuna göre AB $ CD değeri nedir? AB B- A (-1, )-( 13, ) (- 1, ) CD D- C ( 14, )-( 03, ) ( 11, ) AB CD $ 10 3

46 MATEMATİK A(, 1) ve B( + 1, + ) noktaları için AB konum vektörü AB (- 13, ) ise ve değerleri nelerdir? D. Birim Vektör Uzunluğu 1 birim olan vektöre birim vektör denir. A (, ) birim vektör ise A A (,) vektörü için olmalı. AB B- A ( + -1, - + ) -(, - 1) ( + 3, + 3) ( 1,3) & & 0 & 1 & 1 I. Temel birim vektörler e i ^10, h / e j ^01, h şeklindedir. 1 A ^, h ^, 0h+ ^0, h ^1, 0h+ $ ^0, 1h ile ifade edilir. $ e + $ e 1 $ i+ $ j II. Anı önlü birim vektör A ^, h u d, n A A 6, - 1@, B olmak üzere A- C 3B olduğuna göre C vektörü nedir? A- 3B C (, 1) 3.( 1, 3) C (4 + 3, 9) (7, 11) C III. Zıt önlü birim vektör A, - u - -^ h - d-, n A A( 1, -) ve B( - 3, m + ) vektörleri verilior. A// B ise m değeri kaçtır? & m + 6 m + m 4 A^50, h ve B^, - 4h olmak üzere AB vektörü ile anı önlü ve zıt önlü birim vektörler nelerdir? AB B- A ^, -4h - ^50, h ^-3, -4h AB ^ 3, 4 3 u - - h, AB 5 a k & anı önlü birim ^ h vektör - u a 3 5, 4 k 5 & zıt önlü birim vektör 4

47 ANALİTİK GEOMETRİ E. Doğrusal (Lineer) Bileşim m, ndr olmak üzere; ^ma+ nbh vektör toplamına A ve B vektörlerinin doğrusal bileşimi denir. A ve B vektörleri sıfırdan farklı ve birbirine paralel olmaan vektörler iseler, arıca düzlemdeki her vektör A ve B nin doğrusal bileşimi şeklinde azılabiliorsa # AB, - kümesine düzlemin tabanı denir. F. İki Vektörün Skaler (İç) Çarpımı Sıfırdan farklı A ^1, 1h ve B ^, h vektörleri arasındaki açı i olmak üzere iç çarpım iki şekilde hesaplanır. I. A$ B < AB, > 1$ + 1$ II. A$ B < AB, > A $ B $ cos i e1 ^10, h vee ( 01, ) olmak üzere # e1, e- kümesine ise temel taban denir. A ^, h e1+ e şeklinde azılabilir. Düzlemde sıfırdan farklı A^1, 1h ve B^, h vektörleri verilior. İki vektör paralel ise lineer (doğrusal) bağımlıdır. 1 1 A// B & İç Çarpımın Özellikleri 1. A A A $. A$ B B$ A 3. A$ A 0& A 0 4. A$ ^B+ Ch A$ B+ A$ C 5. A B & A$ B 0 6. A// B & A$ B A. B A ^k, h ve B ^-1, 3h vektörleri lineer bağımlı olduğuna göre k değeri kaçtır? 7. A$ B G A $ B k & 3k - & k - 3 A 3e - e, B 4e + 3e ve C e + 5e vektörleri için C vektörünü A bileşimi olarak azın. ve B vektörlerinin lineer C m$ A+ nb & ^1, 5h m$ ^3, - h + n$ ^4, 3h 3m + 4n 1 6m + 8n m + 3n 5 3 6m + 9n 15 17n 17 & n 1 m 1 C - A+ B 0 a b a+ AB b c + b c+ CB 1 1 b a+ c+ 0 & b a+ c A B C AB BC olmak üzere b i a vec türünden bulunuz. 5

48 MATEMATİK A ABC bir üçgen, G ağırlık merkezi olmak üzere; ABC üçgeni içerisinde herhangi bir P noktası alınıor. G ağırlık merkezi olmak üzere PA + PB + PC toplamı nedir? B + F G E D 1 AD ^ AB + ACh 1 BE ^ BA + BCh 1 CF ^ CB + CAh 0 C AD + BE + CF değeri nedir? AB + BA 0 AC + CA 0 BC + CB 0 B G A P C PA PG + GA PB PG + GB 0 + PC PG + GC PA + PB + PC 3PG A ABC bir üçgen, DC 3 BD AD $ AB + $ AC ise ve değerleri nedir? B D C A(3,1) noktasından geçen ve OP vektörüne dik olan doğrunun denklemi nedir? AD AB + BD / 3 AD AC + CD 3AD 3AB + 3BD AD AC + CD 0 4AD 3AB + AC 3 1 AD 4 AB + 4 AC OP vektörünün eğimi tan \ 1 dir. Diklik koşulundan 1 bu vektöre dik olan doğrunun eğimi - dir &

49 ANALİTİK GEOMETRİ A(,1), B(0,3), C( 1,4), D(3,) noktaları için AB $ CD değeri kaçtır? AB B- A ( 03, )-(- 1, ) (, ) CD D- C ( 3, )-(- 14, ) ( 4, - ) AB $ CD (, ) $ ( 4, - ) A(,4), B(1, 3), C(3,5) noktaları ABC üçgeninin köşeleri olmak üzere ve G, ABC üçgeninin ağırlık merkezi olmak üzere GB $ GC iç çarpımı kaçtır? A G B (, ) G A B 3 C (,) C A ( 1, -3), B( - 1, ) vektörleri arasındaki açınının kosinüsü kaçtır? GB B- G ( 1, -3)- (, ) ( 1, 5) GC C- G ( 35, )-(, ) (1,3) GB $ GC (-1,- 5) $ ( 13, ) A$ B A $ B cos i $ 5 $ cosi & $ cos i 1 cos - A 3e -e 1 B e + ( k- ) e 1 4 vektörleri dik olduğuna göre k değeri kaçtır? A$ B 0 & ( 3, -) $ (, k - ) 0 6- k+ 4 0 & k 10 k 5 A B 3 A ve B vektörleri arasındaki açının ko- 5 1 sinüsü ise A+ B değeri kaçtır? A+ B A + B + A$ B A+ B A + B + A $ B $ cos i $ 3$ & A+ B 7 7

50 MATEMATİK D C + 1 olmak üzere + k eşitsizliğini sağlaan en büük kdr saısı kaçtır? A 8 AB $ AC AB $ AC $ cos \ 8 8 $ AC $ 64 AC B ABCD bir dikdörtgen AB 8 olduğuna göre AB $ AC iç çarpımı kaçtır? u ve j vektörleri için; - u $ j # u$ j # u $ j eşitsizliği vardır. u (,) olmak üzere j (1, ) u$ j # u $ j + # + $ 1+ 1 # + $ 3 & $ 3 1 k 3 A 6 B 3 AB $ AC iç çarpımı kaçtır? Kosinüs Teoreminden a b + c seafoodplus.infoâ cos cos 43 48cos 43 & cosâ 48 AB $ AC AB $ AC $ cos  $ 4$ 48 C ABC üçgeni için; AB 6, AC 4, BC 3 verilior. H H A D G a B C E G a 3 a cisim köşegeni \ F C üze köşegeni Şekildeki küp için CH $ CG 8 ise küpün bir arıtı kaçtır? CH $ CG CH $ CG $ cos \ a a 3 $ a $ 8 a 3 a 8 a bulunur. 8

51 ANALİTİK GEOMETRİ G. İzdüşüm Vektörü F E A D B C ABCDEF düzgün altıgeni için, AB olmak üzere BE $ BD iç çarpımı kaçtır? O A i OC A C A$ B İzdüşüm vektörü OC $ B ve B B dik izdüşüm vektörü uzunluğu AR vektörünün BR vektörü üzerindeki dik izdüşüm vektörü OC vektörüdür. AB. OC ile bulunur. B E 60 D F C % 3 BE $ BD $ cos 30 4$ 3 $ 1 A B ur [,4] vektörünün jr [1,] vektörü üzerindeki dik izdüşüm vektörünü ve dik izdüşüm vektörü uzunluğunu bulunuz. u $ j ^-4, h $ ^1, h C $ j 5 $ ^1, h j a k^ 1, h 5 6 ^ 1, h a, k 5 C u $ j ^ 4, $ 1, 8 - h ^ h - + j elde edilir. a b+ c, b c olmak üzere a / b 3 b ise cos`a, j değeri nedir? a b+ c a 3k i / / cr cos` 1 a, bj 3 u 3ee, j 4e1 vektörleri verilior. jr nin ur üzerindeki dik izdüşüm vektörünün uzunluğu kaçtır? β b k j $ u ^40, h$ ^3, - 4h 1 c u 5 5 9

52 MATEMATİK PR (,1) vektörünün doğrusu üzerindeki dik izdüşümün uzunluğu kaçtır? doğrusunun eğimi m 3 tür. Dolaısıla RR (1,3) olacak şekilde bir vektör düşünebiliriz. P$ R ^1, h$ ^13, h 3 5 C + R B. İki noktası bilinen doğru denklemi A( 0, 0 ) ve B( 1, 1 ) noktalarından geçen doğru denklemi; r r 0 + ^AB h $ t & Vektörel 0 + ( 1 0 ).t 0 + ( 1 0 ).t & & Parametrik Kartezen. Doğru Denklemi A. Verilen bir noktadan geçen ve verilen bir vektöre paralel olan doğru denklemi A( 0, 0 ) noktasından geçen ve ur(a,b) vektörüne paralel olan doğrunun denklemi; r r 0 + ur.t & Vektörel denklem 0 + a.t 0 + b.t - a & Parametrik denklem - b & Kartezen denklem 0 0 A(1,0) ve B(3, 1) noktalarından geçen doğrunun vektörel-parametrik-kartezen denklemini bulunuz. AB B- A ( 3, -1)-( 10, ) (, - 1) (,) r (1,0) + (, 1).t (1 + t, t) 1+ t 3Parametrik t & Vektörel & Kartezen P(,1) noktasından geçen ve ur ( 1,3) vektörüne paralel olan doğrunun vektörel, parametrik, kartezen denklemini azınız. (,) r (,1) + ( 1,3).t ( t, 1 + 3t) & vektörel t Parametrik 1 + 3t & Kartezen C. Eksen parçaları cinsinden doğru denklemi q 0 p - eksenini A(p,0) ve - eksenini B(0,q) noktasından kesen doğrunun denklemi p + q 1 10

KARGO BEDAVA

Kurumsal Fatura

Tahmini Kargoya Teslim: 9 gün içinde

• Boyut:Cep Boyu
• Sınav Tipi:KPSS
• Basım Dili:Türkçe
• Yazar:Komisyon
• Kitap İçeriği:Konu Özetli Soru Bankası
• Basım Yılı:

---

• 15 gün içinde ücretsiz iade. Detaylı bilgi için tıklayın.
• Bu ürün Dijital Hoca tarafından gönderilecektir.
• İlköğretim Matematik ÖABT Video Ders 55 DERS SAATİ ANALİZ 21 DERS SAATİ LİNER 24 DERS SAATİ SOYUT CEBİR/SOYUT MATEMATİK 24 DERS SAATİ DİFARENSİYAL DENKLEMLER 16 DERS SAATİ İSTATİSTİK OLASILIK 20 DERS SAATİ ANALİTİK GEOMETRİ 16 DERS SAATİ ALAN EĞİTİMİ NOTLAR SİSTEME PDF OLARAK YÜKLENECEKTİR 40 Ders Saati Yıl Sonu Video Genel Tekrar Kampı 20 DERS SAATİ ANALİZ, LİNER, SOYUT CEBİR/SOYUT MATEMATİK,DİFARENSİYEL DENKLEMLER 12 DERS SAATİ İSTATİSTİK OLASILIK/ANALİTİK GEOMETRİ 8 DERS SAATİ ALAN EĞİTİMİ ALANINDA UZMAN KADRO SORU ÇÖZÜMLERİ GÖNDERİLEN FLASH BİR YIL GEÇERLİ OLACAKTIR İNDİRİLEBİLİR DERS NOTLARI İNTERNET BAĞLANTISI OLMADAN KULLANIM MEVCUTTUR DERSLERİMİZ DÖNEMİNE AİTTİR
• Bu üründen en fazla 10 adet sipariş verilebilir. 10 adetin üzerindeki siparişleri Trendyol iptal etme hakkını saklı tutar.
• Kampanya fiyatından satılmak üzere 50 adetten fazla stok sunulmuştur.
• İncelemiş olduğunuz ürünün satış fiyatını satıcı belirlemektedir.
• Bu ürün indirim kampanyasına dahil değildir.
• Bir ürün, birden fazla satıcı tarafından satılabilir. Birden fazla satıcı tarafından satışa sunulan ürünlerin satıcıları ürün için belirledikleri fiyata, satıcı puanlarına, teslimat statülerine, ürünlerdeki promosyonlara, kargonun bedava olup olmamasına ve ürünlerin hızlı teslimat ile teslim edilip edilememesine, ürünlerin stok ve kategorileri bilgilerine göre sıralanmaktadır.

ÜRÜNÜN TÜM ÖZELLİKLERİ

Ürün Değerlendirmeleri

Ürün Bilgileri

dijital hoca akademi Ilköğretim Matematik Öabt Flash Bellek Video Ders Paketi

• İlköğretim Matematik ÖABT Video Ders 55 DERS SAATİ ANALİZ 21 DERS SAATİ LİNER 24 DERS SAATİ SOYUT CEBİR/SOYUT MATEMATİK 24 DERS SAATİ DİFARENSİYAL DENKLEMLER 16 DERS SAATİ İSTATİSTİK OLASILIK 20 DERS SAATİ ANALİTİK GEOMETRİ 16 DERS SAATİ ALAN EĞİTİMİ NOTLAR SİSTEME PDF OLARAK YÜKLENECEKTİR 40 Ders Saati Yıl Sonu Video Genel Tekrar Kampı 20 DERS SAATİ ANALİZ, LİNER, SOYUT CEBİR/SOYUT MATEMATİK,DİFARENSİYEL DENKLEMLER 12 DERS SAATİ İSTATİSTİK OLASILIK/ANALİTİK GEOMETRİ 8 DERS SAATİ ALAN EĞİTİMİ ALANINDA UZMAN KADRO SORU ÇÖZÜMLERİ GÖNDERİLEN FLASH BİR YIL GEÇERLİ OLACAKTIR İNDİRİLEBİLİR DERS NOTLARI İNTERNET BAĞLANTISI OLMADAN KULLANIM MEVCUTTUR DERSLERİMİZ DÖNEMİNE AİTTİR
• Bu üründen en fazla 10 adet sipariş verilebilir. 10 adetin üzerindeki siparişleri Trendyol iptal etme hakkını saklı tutar.
• Kampanya fiyatından satılmak üzere 50 adetten fazla stok sunulmuştur.
• İncelemiş olduğunuz ürünün satış fiyatını satıcı belirlemektedir.
• Bu ürün indirim kampanyasına dahil değildir.
• Bir ürün, birden fazla satıcı tarafından satılabilir. Birden fazla satıcı tarafından satışa sunulan ürünlerin satıcıları ürün için belirledikleri fiyata, satıcı puanlarına, teslimat statülerine, ürünlerdeki promosyonlara, kargonun bedava olup olmamasına ve ürünlerin hızlı teslimat ile teslim edilip edilememesine, ürünlerin stok ve kategorileri bilgilerine göre sıralanmaktadır.

---

Ürün Özellikleri

• BoyutCep Boyu
• Sınav TipiKPSS
• Basım DiliTürkçe
• YazarKomisyon
• Kitap İçeriğiKonu Özetli Soru Bankası
• Basım Yılı
• Setli/TekilTekil Ürün