Limitte Belirsizlik Durumları

\( \lim_{x \to 1} \dfrac{x^{40} - 1}{x^{20} - 1} \) limitinde,

\( \lim_{x \to 1} (x^{40} - 1) = 1^{40} - 1 = 0 \)

\( \lim_{x \to 1} (x^{20} - 1) = 1^{20} - 1 = 0 \)

olduğu için, \( \dfrac{0}{0} \) belirsizliği vardır.

Payı kare farkı şeklinde çarpanlarına ayırdığımızda paydadaki ifadeyi bir çarpan olarak elde ederiz.

\( x^{40} - 1 \) \( = (x^{20})^2 - 1^2 \) \( = (x^{20} - 1)(x^{20} + 1) \)

Paydaki ifadeyi yukarıdaki şekilde çarpanlarına ayırıp ortak çarpanları sadeleştirelim.

\( \lim_{x \to 1} \dfrac{x^{40} - 1}{x^{20} - 1} \) \( = \lim_{x \to 1} \dfrac{(x^{20} - 1)(x^{20} + 1)}{x^{20} - 1} \)

\( = \lim_{x \to 1} (x^{20} + 1) \)

Pay ve paydayı sıfır yapan çarpanları sadeleştirmiş olduk. Kalan ifadede direkt yerine koyma yöntemiyle limit değerini bulabiliriz.

\( = 1^{20} + 1 = 2 \) buluruz.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

\( \lim_{x \to 8} \dfrac{\sqrt[3]{x} - 2}{x - 8} \) limitinde,

\( \lim_{x \to 8} (\sqrt[3]{x} - 2) = \sqrt[3]{8} - 2 = 0 \)

\( \lim_{x \to 8} (x - 8) = 8 - 8 = 0 \)

olduğu için, \( \dfrac{0}{0} \) belirsizliği vardır.

Paydayı küp farkı şeklinde çarpanlarına ayırdığımızda paydaki ifadeyi bir çarpan olarak elde ederiz.

\( x - 8 = \sqrt[3]{x}^3 - 2^3 = (\sqrt[3]{x} - 2)(\sqrt[3]{x}^2 + 2\sqrt[3]{x} + 2^2) \)

Paydadaki ifadeyi yukarıdaki şekilde çarpanlarına ayırıp ortak çarpanları sadeleştirelim.

\( \lim_{x \to 8} \dfrac{\sqrt[3]{x} - 2}{x - 8} \) \( = \lim_{x \to 8} \dfrac{\sqrt[3]{x} - 2}{(\sqrt[3]{x} - 2)(\sqrt[3]{x}^2 + 2\sqrt[3]{x} + 2^2)} \)

\( = \lim_{x \to 8} \dfrac{1}{\sqrt[3]{x}^2 + 2\sqrt[3]{x} + 2^2} \)

Pay ve paydayı sıfır yapan çarpanları sadeleştirmiş olduk. Kalan ifadede direkt yerine koyma yöntemiyle limit değerini bulabiliriz.

\( = \dfrac{1}{\sqrt[3]{8}^2 + 2\sqrt[3]{8} + 2^2} \)

\( = \dfrac{1}{2^2 + 2 \cdot 2 + 2^2} \)

\( = \dfrac{1}{12} \) bulunur.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

\( \lim_{x \to -3} \dfrac{2x^2 + 5x - 3}{x^2 + 5x + 6} \) limitinde,

\( \lim_{x \to -3} (2x^2 + 5x - 3) = 2(-3)^2 + 5(-3) - 3 = 0 \)

\( \lim_{x \to -3} (x^2 + 5x + 6) = (-3)^2 + 5(-3) + 6 = 0 \)

olduğu için, \( \dfrac{0}{0} \) belirsizliği vardır.

-3 pay ve paydadaki ikinci derece ifadelerin ikisini de sıfır yaptığı için iki ifadenin de bir kökü olmalıdır, bu yüzden iki ifadeyi de çarpanlarına ayıralım.

\( 2x^2 + 5x - 3 = (2x - 1)(x + 3) \)

\( x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3) \)

Pay ve paydadaki ifadeleri yukarıdaki şekilde çarpanlarına ayırıp ortak çarpanları sadeleştirelim.

\( \lim_{x \to -3} \dfrac{2x^2 + 5x - 3}{x^2 + 5x + 6} \) \( = \lim_{x \to -3} \dfrac{(2x - 1)(x + 3)}{(x + 2)(x + 3)} \)

\( = \lim_{x \to -3} \dfrac{2x - 1}{x + 2} \)

Pay ve paydayı sıfır yapan çarpanları sadeleştirmiş olduk. Kalan ifadede direkt yerine koyma yöntemiyle limit değerini bulabiliriz.

\( = \dfrac{2(-3) - 1}{-3 + 2} \)

\( = \dfrac{-7}{-1} = 7 \) bulunur.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

\( \lim_{x \to 4} \dfrac{x^3 - 6x^2 + 5x + 12}{x - 4} \) limitinde,

\( \lim_{x \to 4} (x^3 - 6x^2 + 5x + 12) = 4^3 - 6(4)^2 + 5(4) + 12 = 0 \)

\( \lim_{x \to 4} (x - 4) = 4 - 4 = 0 \)

olduğu için, \( \dfrac{0}{0} \) belirsizliği vardır.

4 pay ve paydadaki ifadelerin ikisini de sıfır yaptığı için iki ifadenin de bir kökü olmalıdır. Paydaki üçüncü dereceden ifadeyi çarpanlarına ayırmak için elimizde kolay bir yöntem olmadığı için polinom bölmesi ile bu ifadeyi \( x - 4 \)'e bölerek diğer çarpanını bulalım (polinom bölme işleminin detaylarını burada vermeyeceğiz).

\( x^3 - 6x^2 + 5x + 12 = (x - 4)(x^2 - 2x - 3) \)

Pay ve paydadaki ifadeleri yukarıdaki şekilde çarpanlarına ayırıp ortak çarpanları sadeleştirelim.

\( lim_{x \to 4} \dfrac{x^3 - 6x^2 + 5x + 12}{x - 4} \) \( = lim_{x \to 4} \dfrac{(x - 4)(x^2 - 2x - 3)}{x - 4} \)

\( = lim_{x \to 4} (x^2 - 2x - 3) \)

Pay ve paydayı sıfır yapan çarpanları sadeleştirmiş olduk. Kalan ifadede direkt yerine koyma yöntemiyle limit değerini bulabiliriz.

\( = 4^2 - 2(4) - 3 \)

\( = 16 - 8 - 3 = 5 \) bulunur.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

Verilen limit ifadesinin reel sayı bir sonucu olduğuna göre limitin tanımlı olduğu sonucuna varabiliriz.

\( \lim_{x \to 3} \dfrac{ax^2 - 18}{x - 3} \) limitinde,

\( \lim_{x \to 3} (x - 3) = 3 - 3 = 0 \)

\( \lim_{x \to 3} (ax^2 - 18) = a3^2 - 18 = 0 \)

\( a = 2 \)

\( a \) değerini limit ifadesinde yerine koyalım ve çarpanlara ayırma yöntemiyle ifadeyi sadeleştirelim.

\( \lim_{x \to 3} \dfrac{2x^2 - 18}{x - 3} \)

\( = \lim_{x \to 3} \dfrac{2(x^2 - 9)}{x - 3} \)

\( = \lim_{x \to 3} \dfrac{2(x - 3)(x + 3)}{x - 3} \)

\( = \lim_{x \to 3} 2(x + 3) \)

Pay ve paydayı sıfır yapan çarpanları sadeleştirmiş olduk. Kalan ifadede direkt yerine koyma yöntemiyle limit değerini bulabiliriz.

\( = 2(3 + 3) = 12 = b \)

Buna göre, \( a + b = 2 + 12 = 14 \) bulunur.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

\( \lim_{x \to 2} \dfrac{\sqrt{x + 7} - 3}{\sqrt{x - 1} - 1} \) limitinde,

\( \lim_{x \to 2} (\sqrt{x + 7} - 3) = \sqrt{2 + 7} - 3 = 0 \)

\( \lim_{x \to 2} (\sqrt{x - 1} - 1) = \sqrt{2 - 1} - 1 = 0 \)

olduğu için, \( \dfrac{0}{0} \) belirsizliği vardır.

Hem pay hem de payda köklü ifade içerdiği için, bu belirsizliği gidermek için payı ve paydayı bu iki köklü ifadenin eşlenikleri ile çarpalım.

\( \lim_{x \to 2} [ \dfrac{\sqrt{x + 7} - 3}{\sqrt{x - 1} - 1} \cdot \) \( \dfrac{(\sqrt{x + 7} + 3)(\sqrt{x - 1} + 1)}{(\sqrt{x + 7} + 3)(\sqrt{x - 1} + 1)} ] \)

\( = \lim_{x \to 2} \dfrac{(\sqrt{x + 7}^2 - 3^2)(\sqrt{x - 1} + 1)}{(\sqrt{x - 1}^2 - 1^2)(\sqrt{x + 7} + 3)} \)

\( = \lim_{x \to 2} \dfrac{(x + 7 - 9)(\sqrt{x - 1} + 1)}{(x - 1 - 1)(\sqrt{x + 7} + 3)} \)

\( = \lim_{x \to 2} \dfrac{(x - 2)(\sqrt{x - 1} + 1)}{(x - 2)(\sqrt{x + 7} + 3)} \)

Pay ve paydadaki ortak \( (x - 2) \) çarpanını sadeleştirelim.

\( = \lim_{x \to 2} \dfrac{\sqrt{x - 1} + 1}{\sqrt{x + 7} + 3} \)

Pay ve paydayı sıfır yapan çarpanları sadeleştirmiş olduk. Kalan ifadede direkt yerine koyma yöntemiyle limit değerini bulabiliriz.

\( = \dfrac{\sqrt{2 - 1} + 1}{\sqrt{2 + 7} + 3} \)

\( = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3} \) bulunur.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

Önce pay ve paydadaki ifadelerin ayrı ayrı limitini bulalım.

İki ifade de birer polinom fonksiyonudur. Polinom fonksiyonunun bir noktadaki limit değeri o noktadaki fonksiyon değerine eşittir.

\( \lim_{x \to -3} (x^2 + 5x + 6) = (-3)^2 + 5(-3) + 6 = 0 \)

\( \lim_{x \to -3} (x + 3) = -3 + 3 = 0 \)

Payın ve paydanın bu noktadaki limitleri ayrı ayrı sıfır olduğu için limit ifadesinde \( \frac{0}{0} \) belirsizliği vardır.

İfadenin payının ve paydasının ortak bir çarpanı varsa ve limitini aldığımız değer bu çarpanı sıfır yapıyorsa payı ve paydayı çarpanlarına ayırarak ve bu ortak çarpanı sadeleştirerek belirsizliği giderebiliriz. Belirsizlik ortadan kalktıktan sonra ifadenin bu sadeleşmiş haliyle limit değerini tekrar hesaplayabiliriz.

\( \lim_{x \to -3} \dfrac{x^2 + 5x + 6}{x + 3} \)

\( = \lim_{x \to -3} \dfrac{(x + 2)(x + 3)}{x + 3} \)

\( = \lim_{x \to -3} (x + 2) \)

\( = -3 + 2 = -1 \) bulunur.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

Önce pay ve paydadaki ifadelerin ayrı ayrı limitini bulalım.

Sinüs ve kosinüs fonksiyonları tüm reel sayılarda süreklidir. Sürekli fonksiyonlar arasındaki toplama, çıkarma, çarpma ve (payda sıfırdan farklı olmak koşuluyla) bölme işlemleri sonucunda oluşan fonksiyonlar da süreklidir.

Buna göre pay ve paydadaki ifadeler tüm reel sayılarda süreklidir ve doğrudan yerine koyma yöntemi ile limit değerlerini bulabiliriz.

\( \lim_{x \to 0} (1 - \cos(2x)) = 1 - 1 = 0 \)

\( \lim_{x \to 0} (\sin{x} \cdot \cos{x}) = 0 \cdot 1 = 0 \)

Payın ve paydanın bu noktadaki limitleri ayrı ayrı sıfır olduğu için limit ifadesinde \( \frac{0}{0} \) belirsizliği vardır.

Trigonometrik özdeşlikleri kullanarak payı ve paydayı sadeleştirelim.

Kosinüs iki kat açı formülü aşağıdaki gibidir.

\( \cos(2x) = 1 - 2\sin^2{x} \)

\( \lim_{x \to 0} \dfrac{1 - (1 - 2\sin^2{x})}{\sin{x} \cdot \cos{x}} \)

\( = \lim_{x \to 0} \dfrac{2\sin^2{x}}{\sin{x} \cdot \cos{x}} \)

\( = \lim_{x \to 0} \dfrac{2\sin{x}}{\cos{x}} = \lim_{x \to 0} (2\tan{x}) \)

Tanjant fonksiyonu \( x = 0 \) noktasında sürekli olduğu için doğrudan yerine koyma yöntemi ile limit değerini bulabiliriz.

\( = 2\tan{0} = 0 \) bulunur.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

Önce pay ve paydadaki ifadelerin ayrı ayrı limitini bulalım.

Sinüs ve kosinüs fonksiyonları tüm reel sayılarda süreklidir. Sürekli fonksiyonlar arasındaki toplama, çıkarma, çarpma ve (payda sıfırdan farklı olmak koşuluyla) bölme işlemleri sonucunda oluşan fonksiyonlar da süreklidir.

Buna göre pay ve paydadaki ifadeler tüm reel sayılarda süreklidir ve doğrudan yerine koyma yöntemi ile limit değerlerini bulabiliriz.

\( \lim_{x \to 0} \sin(2x) = 0 \)

\( \lim_{x \to 0} (x \cdot \cos{x}) = 0 \cdot 1 = 0 \)

Payın ve paydanın bu noktadaki limitleri ayrı ayrı sıfır olduğu için limit ifadesinde \( \frac{0}{0} \) belirsizliği vardır.

Trigonometrik özdeşlikleri kullanarak payı ve paydayı sadeleştirelim.

Sinüs iki kat açı formülü aşağıdaki gibidir.

\( \sin(2x) = 2\sin{x} \cdot \cos{x} \)

\( \lim_{x \to 0} \dfrac{2\sin{x} \cdot \cos{x}}{x \cdot \cos{x}} \)

\( = \lim_{x \to 0} \dfrac{2\sin{x}}{x} = 2 \cdot \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin{x}}{x} \)

\( \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin{x}}{x} = 1 \) olduğunu ispatıyla birlikte göstermiştik.

\( = 2 \cdot 1 = 2 \) bulunur.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

Önce pay ve paydadaki ifadelerin ayrı ayrı limitini bulalım.

Birim fonksiyon ve kosinüs fonksiyonu tüm reel sayılarda süreklidir. Sürekli fonksiyonlar arasındaki toplama, çıkarma, çarpma ve (payda sıfırdan farklı olmak koşuluyla) bölme işlemleri sonucunda oluşan fonksiyonlar da süreklidir.

Buna göre pay ve paydadaki ifadeler tüm reel sayılarda süreklidir ve doğrudan yerine koyma yöntemi ile limit değerlerini bulabiliriz.

\( \lim_{x \to 0} (1 - \cos(2x)) = 1 - 1 = 0 \)

\( \lim_{x \to 0} (x \cdot (1 + \cos{x}) = 0 \cdot 2 = 0 \)

Payın ve paydanın bu noktadaki limitleri ayrı ayrı sıfır olduğu için limit ifadesinde \( \frac{0}{0} \) belirsizliği vardır.

Trigonometrik özdeşlikleri kullanarak payı ve paydayı sadeleştirelim.

Kosinüs iki kat açı formülü aşağıdaki gibidir.

\( \cos(2x) = 2\cos^2{x} - 1 \)

\( \lim_{x \to 0} \dfrac{1 - (2\cos^2{x} - 1)}{x \cdot (1 + \cos{x})} \)

\( = \lim_{x \to 0} \dfrac{2 - 2\cos^2{x}}{x \cdot (1 + \cos{x})} \)

\( = \lim_{x \to 0} \dfrac{2(1 - \cos^2{x})}{x \cdot (1 + \cos{x})} \)

Kare farkı özdeşliğini kullanalım.

\( = \lim_{x \to 0} \dfrac{2(1 - \cos{x})(1 + \cos{x})}{x \cdot (1 + \cos{x})} \)

\( = \lim_{x \to 0} \dfrac{2(1 - \cos{x})}{x} \)

\( = 2 \cdot \lim_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos{x}}{x} \)

\( \lim_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos{x}}{x} = 0 \) olduğunu ispatıyla birlikte göstermiştik.

\( = 2 \cdot 0 = 0 \) bulunur.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

Önce pay ve paydadaki ifadelerin ayrı ayrı limitini bulalım.

Birim fonksiyon ve kosinüs fonksiyonu tüm reel sayılarda, tanjant fonksiyonu \( \{ \frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z} \} \) hariç tüm noktalarda süreklidir. Sürekli fonksiyonlar arasındaki toplama, çıkarma, çarpma ve (payda sıfırdan farklı olmak koşuluyla) bölme işlemleri sonucunda oluşan fonksiyonlar da süreklidir.

Buna göre pay ve paydadaki ifadeler tüm reel sayılarda süreklidir ve doğrudan yerine koyma yöntemi ile limit değerlerini bulabiliriz.

\( \lim_{x \to 0} (\tan(2x) \cdot \cos(2x)) = 0 \cdot 1 = 0 \)

\( \lim_{x \to 0} (x \cdot \cos^2{x}) = 0 \cdot 1 = 0 \)

Payın ve paydanın bu noktadaki limitleri ayrı ayrı sıfır olduğu için limit ifadesinde \( \frac{0}{0} \) belirsizliği vardır.

Trigonometrik özdeşlikleri kullanarak payı ve paydayı sadeleştirelim.

Tanjant iki kat açı formülü aşağıdaki gibidir.

\( \tan(2x) = \dfrac{2 \cdot \tan{x}}{1 - \tan^2{x}} \)

\( \lim_{x \to 0} \dfrac{\frac{2 \cdot \tan{x}}{1 - \tan^2{x}} \cdot \cos(2x)}{x \cdot \cos^2{x}} \)

\( = \lim_{x \to 0} \dfrac{\frac{2 \cdot \tan{x}}{1 - \frac{\sin^2{x}}{\cos^2{x}}} \cdot \cos(2x)}{x \cdot \cos^2{x}} \)

\( = \lim_{x \to 0} \dfrac{\frac{2 \cdot \tan{x} \cdot \cos^2{x}}{\cos^2{x} - \sin^2{x}} \cdot \cos(2x)}{x \cdot \cos^2{x}} \)

Kosinüs iki kat açı formülü aşağıdaki gibidir.

\( \cos(2x) = \cos^2{x} - \sin^2{x} \)

\( = \lim_{x \to 0} \dfrac{\frac{2 \cdot \tan{x} \cdot \cos^2{x}}{\cos(2x)} \cdot \cos(2x)}{x \cdot \cos^2{x}} \)

\( = \lim_{x \to 0} \dfrac{2 \cdot \tan{x} \cdot \cos^2{x}}{x \cdot \cos^2{x}} \)

\( = \lim_{x \to 0} \dfrac{2 \cdot \tan{x}}{x} = 2 \cdot \lim_{x \to 0} \dfrac{\tan{x}}{x} \)

\( \lim_{x \to 0} \dfrac{\tan{x}}{x} = 1 \) olduğunu ispatıyla birlikte göstermiştik.

\( = 2 \cdot 1 = 2 \) bulunur.

Soru sorun   Soruda hata bildirin