Hesap Makinesi Ile Fazör Hesaplama

Definitions and Formulas

Karmaşık sayı, bir reel kısım ve bir sanal kısım a + bi toplamı biçimindeki bir sayıdır. Elektrik mühendisliğinde (elektrik mühendisleri dünyanın geri kalanından farklı düşünür!) i veya j sembolüne hayali birim denir ve i denklemi ile tanımlanır. ² = –1. Başka bir deyişle, i eksi birin (√–1) kareköküdür.

Gerçek kısım gerçek bir sayıdır ve hayali kısım, negatif bir sayının karekökü olan hayali bir sayıdır. Genellikle hayali kısım, eksi birin kareköküyle çarpılan bir gerçek sayıya indirgenir. Örneğin,

Representation of Complex Numbers

Cartesian complex plane

Karmaşık sayıların matematiksel gösterimi, bir karmaşık sayıyı gerçek ve sanal bölümlerine ayırmak için iki operatör kullanır: Re(z) ve Im(z). Tüm gerçek sayıların bir sayı doğrusu üzerindeki noktalar olarak düşünülebilmesi gibi, sıralı bir reel sayı çiftiyle tanımlanan karmaşık bir z sayısı (Re(z) , Im(z))), karmaşık düzlem adı verilen iki boyutlu bir uzayda bir nokta ile temsil edilebilir. Karmaşık düzlemin yatay ekseni karmaşık sayının reel kısmına, düşey eksen ise sanal kısma karşılık gelir. Gerçek sayıların sanal kısmı sıfır olduğu için, gerçek sayı doğrusu ile karmaşık düzlemin gerçek (yatay) ekseni aynı olduğunu görebiliriz.

Polar complex plane

A complex number z = x + jy = r ∠φ is represented as a point and a vector in the complex plane

Karmaşık bir sayı z, kutupsal koordinat sisteminde karmaşık düzlemin başka bir türünü kullanan kutupsal gösterimde de gösterilebilir. Bu temsil, orijinden başlayıp z karmaşık noktasında biten bir vektörün r büyüklüğünü (modülü) ve aralarındaki φ açısını kullanır. bu vektör ve saat yönünde ölçülen pozitif gerçek eksen. Bu açıya argüman denir.

The magnitude of a complex number z = x + iy is given by the following:

The argument φ is determined using the two-argument arctangent arctan2(y,x) function:

r büyüklüğü ve argüman φ bağımsız değişkeni birlikte kutupsal formda karmaşık sayıları temsil eder, çünkü kombinasyonları karmaşık sayıyı kutupsal düzlemde temsil eden noktanın benzersiz bir konumunu belirtir. Dikdörtgen koordinatları kutupsal olanlardan elde etmek için aşağıdaki formülü kullanırız:

Euler’s formula establishes the relationship between the trigonometric functions and the complex exponential function for any real number φ:

Euler'in formülü, bir sinüzoidin birçok alanda uygun olan karmaşık bir üstel fonksiyon olarak temsil edilmesini sağlar. Fizik ve elektrik mühendisliğinde, karmaşık sayıların kutupsal gösterimi, sinüzoidal gerilimlerin ve akımların temsili için yaygın olarak kullanılır. Bu gösterimde, “modül” (“büyüklük”) ve “argüman” terimleri yerine “genlik” ve “faz” terimleri kullanılmaktadır.

Genliği A, açısal frekansı ω ve başlangıç ​​fazı θ olan sinüzoidal bir işlevi temsil eden karmaşık bir sayıya fazör (faz vektöründen) denir. Karmaşık sayı görselleştirme, fazörler ve kutuptan dikdörtgene ve kutuptan dikdörtgene dönüştürme hakkında daha fazla bilgiyi Fazör Dönüştürme Hesaplayıcımızda bulabilirsiniz.

Relations and Operations

Complex numbers follow the same algebra rules as ordinary numbers. The quantity of i is treated as a constant and whenever an i² is encountered, it is replaced by –1.

Equality of Complex Numbers

Two complex numbers x + yi and n + mi are equal if and only if x = n and y = m.

Complex Conjugate

The complex conjugate of a number is found by changing the sign of the imaginary part. For example, the following two numbers are complex conjugates:

In physics and electrical engineering, a complex conjugate is often denoted as z*. A conjugate example (click to view in the calculator):

Addition and subtraction

The sum and difference of two complex numbers m + ni and p + qi are defined as

and

That is, to add or subtract two complex numbers, one has to separately add or subtract their real or imaginary parts. Examples (click to view):

Multiplication

Dikdörtgen biçimindeki iki karmaşık sayı, sırayla bir sayıdaki her bir terimin diğer sayıdaki iki terimle çarpılması ve elde edilen gerçek ve sanal terimlerin (elektrik mühendisliğinde j terimleri olarak adlandırılır) birleştirilmesiyle çarpılır. i² = –1 tanımı da çarpma işleminde kullanılır. Örneğin:

Kutup biçiminde, iki karmaşık sayının çarpımı daha kolaydır ve büyüklüklerin çarpımını ve açıların eklenmesini basitleştirir, örneğin:

Reciprocal and division

Reciprocal of a non-zero complex number z = a + bi in rectangular form is accomplished by multiplying both the numerator (in this case, 1) and the denominator by the complex conjugate of the denominator (in this case, the complex number) and then combining terms and simplifying:

Division of two complex numbers a + bi and c + di in rectangular form is accomplished by the same principle using the complex conjugate of the denominator:

Çarpma gibi, iki sayının kutup biçiminde bölünmesi daha kolaydır. İki sayının bölümünün büyüklüğü, payın büyüklüğünün paydanın büyüklüğüne bölünmesiyle belirlenir. Bölümün açısı, pay açısından payda açısının çıkarılmasıyla belirlenir. Örneğin,

Square Root

Bir karmaşık sayının sanal kısmı sıfır değilse, bu sayının karekökleri pozitif ve negatif işaretli bir çift karmaşık sayıdır. Pozitif bir sayı, karekökün ana değeri olarak kabul edilir. Bu hesap makinesi, karmaşık bir sayının yalnızca temel (pozitif) karekökünü bulacaktır. Karmaşık bir sayının dikdörtgen gösterimi için aşağıdaki formül kullanılır:

where sgn(y) is the sign function of y, which is defined as follows:

Applications

Karmaşık sayılar, geometri, kontrol teorisi (karmaşık bir düzlem kullanan Nyquist kararlılık kriteri), elektrik mühendisliği ve sinyal analizi (periyodik sinyaller karmaşık sayılarla rahatlıkla tanımlanabilir), kuantum mekaniği, teori gibi gerçek hayattaki uygulamalarda yaygın olarak kullanılmaktadır. görelilik ve diğer birçok alan. Yaklaşık yıl önce icat edilen karmaşık sayıları genişleten kuaterniyonlar, bilgisayar grafiklerinde, eylemsiz gezinmede ve kontrol teorisinde kullanılmaktadır.

Bu makale Anatoly Zolotkov tarafından yazılmıştır