Bir Kağıt Kaç Kere Katlanır

Genel Kültür

Bilim

Kağıt Katlama Hakkında Bir Hayli Şaşırtan 11 Bilgi

1. 3 kez ikiye katlandığında tırnak kalınlığınıza ulaşır.

2. 7. kez katlandığında 128 sayfalık bir defterle eşdeğerdir.

3. 23 kere katlandığında ise bu rakam 1 kilometre seviyelerine çıkacaktır.

4. 30. katlama sizi atmosfer dışına çıkarır ki bu da 100 kilometreye ulaşmışız demektir.

5. 42. katlayışınız Ay'a ulaşmanızı sağlar.

6. 51'deyse artık Güneş'in sıcak kollarında olursunuz.

7. 81 katlama 127,786 ışık yılı uzaklığa yani, Andromeda Galaksisi’nin genişliğine denktir.

8. 90 katlama ise 130,8 milyon ışık yılı genişliğinde yani Virgo (Başak ) takım yıldızından yani 110 milyon ışık yılı genişlikten daha fazlaya gelir.

9. 103. katlamadan sonra gözlenebilir Evren’in dışına yani 13 milyar ışık yılı çapına ulaşırsınız.

10. Futbol sahası büyüklüğündeki bir kağıdı 11 kez katlamak

11. Kağıt katlama rekoru 12 katlamayla 86 doğumlu Britney'de

t kalınlığında uzun bir kağıdı -hep aynı yönde- n defa ikiye bölmek için gerekli uzunluk formülü

t kalınlığında uzun bir kağıdı -istenilen yönlerde- n defa ikiye bölmek için gerekli uzunluk formülü

Elinizde bir parça kağıt tutun, şimdi ikiye katlayın, sonra tekrar ikiye katlayın. Bunu en fazla kaç defa yapabiliyorsunuz? Diğer bir deyişle bir kağıt en fazla kaç defa katlanır?

Aslında bu soru matematikte Bedsheet Problem (çarşaf problemi) olarak bilinir ve istendiği takdirde kağıt dışında katlanma özelliği olan herhangi bir şey ile de denenebilir. Aslında bir kağıt parçasını en fazla 7 kez ikiye katlayabileceğinizi savunan birçok insan var. Ancak yanılıyorlar…

Bir Kağıt En Fazla Kaç Defa Katlanır?

Bir kağıt parçası 7 defadan fazla katlanabilir. Bu dünyanın birçok yerinde defalarca yapıldı. Sadece, başarıya ulaşan insanlar normalden biraz farklı yöntemler izlediler. Kullandıkları kağıt bir defterden kopardıkları standart bir yaprak değildi. Bu nedenle kendi başınıza bunu evde denerken başarıya ulaşmanız pek olası değil.

Aslında 2002 yılında, Kaliforniya, Pomona’da bir lise öğrencisi olan Britney Gallivan, çok büyük bir kağıdı on iki kez katlayarak rekor kırdı. Ancak diğer deneyenler gibi ortadan ikiye katlamak yerine farklı yönlere katlamayı tercih etti. Başarısının sırrı bu idi.

Gallivan sadece bir dünya rekoru kırmadı; ayrıca herhangi bir kağıt parçasının tek bir yönde veya birden çok yönde kaç defa katlanabileceğini hesaplamak için denklemler buldu. Böylece bir kağıt en fazla kaç defa katlanır sorusunu matematiksel bir temele oturttu.

Bir Kağıdı Defalarca Katlamak Neden Bu Kadar Zor?

Gallivan’ın bulduğu denklemler ile bir kağıdın kaç kez katlanabileceğini hesaplamak mümkün. Ancak bunun için onun da yaptığı gibi uzun ince bir sayfaya ihtiyaç var. Sonucunda bir sayfa ne kadar çok katlanırsa, ortaya çıkan yığın o kadar kalın olacaktır. Zaten asıl sorun da budur.

Sonuçta sadece 0,1 mm kalınlığında bir kağıt alıp ikiye katlarsanız, yeni kalınlık 0,2 mm olacaktır. Bir biçimde katlamaya devam ederseniz, 7 katlamanın devamında başlangıçtaki kağıdınızın boyutu 128 sayfaya denk gelecektir. Ayrıca, yüksekliğin artmasıyla, kağıdın katlanmasını sağlayacak kuvveti uygulamak için daha az genişliğe sahip olursunuz. 

Bir şeyi defalarca ikiye katlamak, üstel büyümeyi anlamanın iyi bir yoludur. Bir boyut veya sayı üstel olarak büyüdüğünde, her adımda üs bir kere artmasına rağmen başlangıçtaki sayı çok hızlı bir şekilde büyür. Bu nedenle bir kağıdı katlayarak aya hatta ötesine uzanan bir merdiven bile yapabilirsiniz :) Aslında bununla ilgili bir yanılgımız da mevcuttur. Detaylar burada: Üstel Büyüme Yanılgısı: Bu Matematik Hatası Riskleri Neden Hafife Aldığımızı Açıklıyor

Kağıt Katlayarak Ay’a Bile Gidebilirsiniz!

Örneğin, muhtemelen bir milimetrenin onda biri kalınlığında olan, normal, bir kağıt yaprağını düşünelim. İlk katlamadan sonra, kağıt bir milimetrenin onda ikisi olacaktır; ikinci katlamadan sonra, kalınlık bir milimetrenin onda dördü olacaktır. 25 katlamadan sonra kağıt parçası 1 kilometre kalınlığında olacaktır. Bunun bir düşünce deneyi olduğunu kabul edelim ve kağıdımızı katlamaya devam edelim.

42 kat sonra kağıdınız sizi Ay’a ulaşacak kadar kalınlaşır. 51’inci katlama sonucunda ise Güneş’e ulaşabilirsiniz. Hızla ileriye sarıp 81 kere katlaya bildiğinizi varsayalım. Bu neredeyse 127.786 ışık yılı uzaklığa karşılık gelir. Yani bu sayede Andromeda’ya kadar ulaşabilirsiniz.

Diyelim ki çok güçlüsünüz, hala katlamaya devam edebiliyorsunuz. 90. katlayışınızda kağıdın kalınlığı 130,8 milyon ışık yılı mesafeye dek erişmenizi sağlar. Bu da, Samanyolu da dahil yaklaşık 100 galaksiyi içine alan Başak takımyıldızının genişliğine eşittir.

Ama hemen durmayın, biraz daha devam edin. Zira 103. katlayışınızla birlikte gözlemlenebilen evrenin sınırları dışına çıkabilirsiniz ki bu da çapı 93 milyar ışık yılı olan bir alan demektir. Sanırız bu örnekle birlikte üstel büyümenin nasıl şaşırtıcı sonuçlar yaratabileceğini anlamışsınızdır. Ayrıca göz atmak isterseniz: Kalbiniz Hayatınız Boyunca Kaç Kez Atar Ve Bu Ne Anlama Gelir?

Kaynaklar ve ileri okumalar:

Size Bir Mesajımız Var!

Matematiksel, 2015 yılından beri yayında olan ve Türkiye’de matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak bilimin bütünsel yapısı itibari ile diğer bilim dalları ile ilgili konular da ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak veya Patreon üzerinden ufak bir bağış yaparak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım.

Matematiksel

WebTekno''dan alınan bilgilere göre; internette genelde herhangi bir kağıdın en fazla 7 kez katlanabileceği, daha fazlasının mümkün olmadığı yazar. Peki, bu bilgi ne kadar doğru? Gerçekten de kağıdın boyu fark etmeksizin en fazla 7 kez mi katlayabiliriz?

Bu bilgi internette çok uzun süredir dolaşıyor olsa da tam olarak doğru olmadığını söyleyebiliriz. Dünya üzerinde en çok kullanılan kağıt boyutu A formatlı kağıtlardır. Bunlar arasında özellikle de 21 x 29,7 cm boyuta sahip A4 kağıdı en ünlüsüdür. Bu ve benzeri boyutlardaki kağıtlar, kendi boyutlarına göre en fazla 7 kez katlanabilirler.

Bu açıdan baktığımızda, A4 kağıtların en fazla 7 kez katlanabileceği doğru bir bilgidir, ancak kağıdın boyutu büyüdüğünde katlanma sayısı da artarak devam edecektir. Hadi gelin şimdi matematiğin çılgınlığını anlamamıza yardımcı olacak bir kağıdın kaç kez katlanabileceği konusuna açıklık getirelim.

Bir kağıdı katlamak neden zor?

Aslında bir kağıdı katlamak zor değil. Sadece işin içerisine matematik girdiğinde işler karışıyor. Çünkü üslü sayılardan bildiğiniz gibi küçük sayılar tıpkı kağıt katlamada olduğu gibi kendileriyle çarpılmaya devam ettikçe çok büyük sayılar oluşturabilir.

Bu noktada 0,1 mm kalınlığında bir kağıdınız olduğunu düşünün. Bu kağıdı katlamaya başladığınızda ilk başta hiç zorlanmazsınız, ancak bir süre sonra kağıt kalınlaşacağı için sizi zorlamaya başlayacak. Bir kağıdı 7 kez katladığınızda elde edeceğiniz kalınlık 128 sayfanın kalınlığına eşdeğer olacaktır. Bu kalınlığa ulaştıktan sonra A4 ölçülerinde bir kağıdı daha fazla katlayamazdınız. Bu noktada aklınıza pres makinesi gelebilir, ancak A4 kağıdı 7''den daha fazla kez katlamaya kalkarsanız, kağıdınız iç strese dayanamayarak parçalanacaktır.

Eğer kağıdınızın boyutunu büyütecek olursanız kağıdı daha fazla sayıda katlayabilirsiniz. Bu noktada bir test yapan Mythbusters ekibi, futbol sahası boyutluna sahip bir kağıdı tam 11 kez katlamayı başardı. Bu alandaki rekora baktığımızda ise 2002 yılında Kaliforniya''da bir lise öğrencisi olan Britney Gallivan, çok büyük bir kağıdı kendi matematiksel formülü sayesinde 12 kez katlamayı başardı. Kağıdı ortadan ikiye ayırmak yerine farklı yöntemleri tercih eden Gallivan, bu başarısıyla Guinness Rekorlar Kitabı''na girdi.

Kağıdı katlayarak ne kadar kalınlığa ulaşabilirsiniz?

Şimdi bir düşünce deneyi yapalım. 0,1 mm kalınlığa sahip kağıdı alalım ve herhangi bir kısıtlama olmadan katlamaya devam ettiğimizi düşünelim. Üstel büyümeye örnek olan kağıt katlama deneyinde 0,1 mm kalınlığındaki kağıdımızı 25 kez katladığımızda kağıdın kalınlığı 1 kilometre olacaktır. 

25 kez katlamışken devam etmek istiyoruz diyelim. Katlaya katlaya devam ettik ve kağıdımızı toplamda 42 kez katladık. Kağıdımızın bir ucu Dünya''dayken diğer ucunu Ay''a ulaştıracağımız bir kalınlığa ulaştık. Elbette burada durmayalım. Kağıdı 9 kez daha katlayıp toplamda 51 kez katlamış olalım. Kağıdımızın kalınlığı o kadar büyük ki Güneş''imize kadar ulaştı. Madem gaza geldik burada kağıdımızın yanmamış olduğunu düşünelim. 

Kağıdımızı 39 kez daha katlayıp toplamda 90 kez katlamış olalım. Böyle bir durumda kağıdımızın kalınlığı tam tamına 130,8 milyon ışık yılı olacak. Bu kalınlığın anlamı, Samanyolu''nun da içinde olduğu toplamda 100 galaksiyi içinde barındıran Başak Takımyıldızı''nın boyutuna eş demek.

Yolculuğumuz burada bitti mi; elbette hayır. Hazır 90 kez katlamışken 13 kez daha katlasak ne olabilir ki? 103. kez katladığımızda kağıdımızın kalınlığı gözlemlenebilen evrenin çapı olarak kabul edilen 93 milyar ışık yılına ulaşmış oluyor. Bu düşünce deneyi, kağıdın 7 kez katlanabileceğinden çok daha ötesini, mümkün olmasa da sınırların ne olduğunu anlamamıza yardımcı oluyor.