136 Nın Karekökü
Napier'in kemikleri
Napier'in kemikleri, John Napier tarafından oluşturulan bir abaküstür. Pratik olarak çarpma, bölme ve karekök alma işlemleri için kullanılabilir. Napier, bu eserini Rabdology adıyla 'nin sonunda, İskoçyaEdinburgh'da yayımlamıştır. Napier'in kemikleri, Napier'in adıyla ilişkili olan logaritma ile aynı şey değildir.
Abaküs bir tahta ve bir çerçeveden oluşur. Kullanıcı, Napier’in çubuklarını çarpma veya bölmeyi yapmak için bu çerçeveli tahtaya yerleştirir. Tahtanın sol kenarı, 1'den 9’a kadar numaraları içeren 9 kareye bölünmüştür. Napier'in çubukları, ahşapçubuklar, metal veya kartondan oluşur. Bir çubuk yüzeyinde 9 kare vardır. En üstteki hariç diğer kareler sağ üst köşeden sol alt köşeye doğru köşegen şekilde ikiye ayrılmıştır. En üstteki karede tek rakam vardır. Diğer karelerde en üstteki rakamın iki katı, üç katı, dört katı, beş katı ve böylece son kareye kadar dokuz katı yer alacak şekilde çift rakam bulunur.
Bu set 0'dan 9'a kadar 10 çubuktan oluşur.
Çarpma[değiştir Karekök Challenging Questions in Precalculus - Calculus For High School Students
Ana SayfaKitapDers ve EğitimDers KitaplarıÜniversiteye HazırlıkÜniversiteye Hazırlık Konu ve SoruKarekök Challenging Questions in Precalculus - Calculus For High School Students
![Karekök Challenging Questions in Precalculus - Calculus For High School Students - 1]()
Bu ürüne henüz yorum yapılmadı. 
- ,71 TL x 3 Ay Taksit
- 59,85 TL x 6 Ay Taksit
- ,71 TL x 3 Ay Taksit
- 59,85 TL x 6 Ay Taksit
![kitabevimden]()
Kapıda Ödeme Seçeneği!
Dilerseniz Kapıda Ödeme seçeneğiyle alışverişlerinizi tamamlayabilirsiniz.
Kargo Bedava
Bu ürünün kargosundan ücret alınmayacak.
Kargomata Teslimat
Kargo beklemeyin paketlerinizi Kargomattan istediğiniz zaman alın.
Toptan Fiyat İste
Ürünü 10 adetten fazla alacaksanız bizimle iletişime geçin
- Ürün Açıklamaları
- Ürün Yorumları (0)
- Taksit Seçenekleri
Değerlendirme yapabilmek için bu ürünü satın almış olmanız gerekmektedir.
Taksit Seçenekleri
Kareköklü Sayılarda Çarpma İşlemi
Alanı 64 cm2 olan kare şeklindeki çini bir panonun bir kenarının uzunluğunu bulalım.
Çözüm:
Karenin alanı, bir kenar uzunluğunun kendisi ile çarpımına eşit olduğuna göre, acaba hangi sayının kendisi ile çarpımı 64 e eşittir?
Bu sorunun cevabı karenin bir kenar uzunluğunu verecektir.
64 = 82 = 8 x 8 eşitliğinden karenin bir kenar uzunluğunun 8 cm olduğu anlaşılır.
Alanı 64 cm2 olan bir karenin bir kenar uzunluğu için 64 ün karekökü bulunur:
64−−√==8
olur.
Verilen sayının, hangi sayının karesi olduğunu bulma işlemi, karekök almadır. Karekök √¯ sembolü ile gösterilir.
3–√3
ifadesi karekök üç,
16−−√16
ifadesi karekök onaltı olarak okunur.
25 sayısının hangi sayının karesi olduğunu bulalım.
Çözüm:
Kendisi ile çarpıldığında 25 elde edilen sayılar:
25 = 52 = ve
25 = (-5)2 = (-5).(-5) dir.
Ancak bir sayının karekökü pozitif bir sayı olabileceği için;
25−−√==5
olur.
√¯ sembolünü, bir sayının pozitif karekökünü bulmak için kullanırız. Yani bir sayının karekökü pozitif bir sayıdır.
Aşağıdaki tabloda karenin kenar uzunluğuna (br) karşılık alanının kaç br2 olduğu verilmiştir
Kenarlar
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Alanlar
1
4
9
16
25
36
49
64
81
Bu durumda alanını bildiğimiz bir karenin bir kenar uzunluğunu bulabilmek için karenin alanının karekökünü almalıyız.
Alanı 49 br2 olan karenin bir kenar uzunluğu
49−−√=7br,49=7br,
Alanı br2 olan karenin bir kenar uzunluğu
−−−√==10
Karekökleri tam sayı olan doğal sayılar (1,4,9,16,25,36,49,64,81,,,,,), tam kare sayılar olarak adlandırılır.
Aşağıda;
−−−√+−−−√64−−√−9–√+−9
işleminin sonucunu bulmak için yapılan işlemler verilmiştir.
Bu çözümde kaçıncı adımda hata yapılmıştır?
1. adım:
−−−√+−−−√64−−√−9–√+−9
2. adım:
25+−−√8−+−3
3. adım:
25++
4. adım:
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4
Yandaki sorunun videolu çözümü:
82+−−−−−−−√+
işleminin sonucu kaçtır?
A)
B)
13–√13
C)
−−√
D)
11
Yandaki sorunun videolu çözümü:
Ersin
3–√3
metre boyundadır. Ersin'in boyunu yaklaşık olarak tahmin edip sayı doğrusunda gösterelim.
Çözüm:
3–√3
sayısına en yakın tam kare sayılar 1 ve 4 tür. Bu sayıları
1 < 3 < 4 şeklinde sıralayabiliriz.
Sıraladığımız sayıların kareköklerini alalım:
1–√1
<
3–√3
<
4–√4
olur.
Buradan
1 <
3–√3
< 2 yazabiliriz.
3–√3
sayısının 1 ile 2 arasında bir sayı olduğunu tahmin edebiliriz. Ayrıca 3 sayısı 1 sayısına 4 sayısından daha uzak olduğu için
3–√3
sayısı 2 ye birden daha yakındır.
Yaptığımız tahmini, hesap makinesi kullanarak kontrol edelim:
Bunu için hesap makinesine 3 yazıp karekök tuşuna basmamız yeterlidir.
Bu durumda Ersin'in boyu,
3–√3
= 1, olur.
Şimdide
3–√3
sayısını sayı doğrusunda gösterelim:
Kareköklü sayılar çarpılırken (varsa), kat sayılar çarpılarakçarpıma kat sayı olarak yazılır. Kareköklü iki sayı ise tek bir karekök içerisine yazılarak çarpılır ve çarpıma yazılır.
a ≥ 0 ve b ≥ 0 olmak üzere;
xa−−√+yb√=(x.y).a.b−−−√xa+yb=(x.y).a.b
Kareköklü sayılarda toplama işleminde, farklı kareköklü sayıları aynı karekök içerisinde toplayamıyorduk. Oysa çarpma işleminde bu mümkündür.
Birbirinin aynısı olan iki kareköklü sayının sonucu, bu sayılardan birinin kareköksüz haline eşittir.
32–√–√=−−−√=−−√==
2–√.3–√=−−−√=26–√==26
2–√.3–√.5–√=−−−−√=30−−√==30
25–√.7–√=−−−√=−−√==
(−2–√).(−2–√)=−−−√=4–√=2(−2).(−2)==4=2
52–√–√
işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A)
B)
55–√55
C)
–√
D)
–√
Yandaki sorunun videolu çözümü:
Karekök içindeki bir sayıyı
ab√ab
şeklinde yazmak için aşağıdaki işlemler sırasıyla uygulanır.
- Karekök içindeki sayı, çarpanlarından birisi bir doğal sayının karesi olacak şekilde iki sayının çarpımı şeklinde yazılır.
- Tam kare olan çarpan karekök dışına çıkarılır. Yani, kareköklü sayının kat sayısı olur.
a > 0 olmak üzere;
a2.b−−−−√=a.b√a2.b=a.b
18−−√=−−−√=−−−√=32–√18===32
24−−√=−−−√=−−−√=26–√24===26
−−√=−−−−√=−−−√=–√=–√====
−38–√=−−−−√=−−−−√=−–√=−62–√−38=−=−=−=−62
8–√+−−√−−−−√8+−
işleminin sonucunu bulalım.
Çözüm:
8–√+−−√−−−−√=−−−√+−−−√−−−−−√=22–√+–√−–√=(2+15−10)2–√=72–√8+−=+−=22+−=(2+15−10)2=72
x−−−−√−x−−−−√−8.x−−−√=x−x−8.x=8
ise, x in değeri kaçtır?
A) 32 B) 16 C) 8 D) 4
Yandaki sorunun videolu çözümü:
ab√ab
şeklindeki bir ifadenin kat sayısını karekök içine almak için aşağıdaki işlemler sırasıyla uygulanır.
- Kat sayının karesi alınarak karekök içindeki sayının yanına çarpım olarak yazılır.
- Karekök içindeki sayıyla çarpılır ve çarpım karekök içine yazılır.
a > 0 olmak üzere;
ab√=a2.b−−−−√ab=a2.b
23–√=−−−√=−−−√=12−−√23===12
–√=−−−−√=−−−−√=−−−√===
–√=(12)−−−−−−−√=−−−√=54−−√=(12)==54
−57–√=−−−−√=−−−−−√=−−−−√−57=−=−=−
Pozitif kareköklü sayılarda, karekök içindeki sayıların büyüklüğüne göre sıralama yapılır. Şayet karekökün dışında karekökün katsayısı varsa ilk önce bu kat sayı içeri alınır, ondan sonra sıralama yapılır.
0 ≤ a < b < c ise,
a−−√<b√<c√a<b<c
35–√ , 43–√ , 52–√ ve , 43 , 52 ve 7
sayılarını küçükten büyüğe doğru sıralayalım.
Çözüm:
35–√=−−−√=−−−√=45−−√35===45
43–√=−−−√=−−−−√=48−−√43===48
52–√=−−−√=−−−−√=50−−√52===50
7=72−−√=49−−√7=72=49
45 < 48 < 49 < 50 olduğundan,
45−−√<48−−√<49−−√<50−−√45<48<49<50
dir. Yani,
35–√<43–√<7<52–√35<43<7<52
dir.
Kareköklü sayılarda sıralama yaparken ya bütün sayıları karekök içine almalı, ya da bütün sayıları karekök dışına çıkarmalı.
a=15−−√ , b=25–√ , c=4a=15 , b=25 , c=4
olduğuna göre,
a, b ve c nin doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?
A) a < b < c B) b < a < c
C) a < c < b D) c < a < b
Yandaki sorunun videolu çözümü:
a ≥ 0 ve b > 0 olmak üzere;
ab−−√=a−−√b√ab=ab
49−−√=4–√9–√==49=23
−−−√=25−−√36−−√===56
−−−√=81−−√49−−√===97
−−−√=1–√16−−√===14
3–√12−−√=−−−−−⎷=14−−√=1–√4–√===14=14=12
20−−√5–√
işleminin sonucu kaçtır?
A)
2–√2
B)
3–√3
C)
22
D)
5–√5
Yandaki sorunun videolu çözümü:
Kareköklü sayıların içerisinde toplama çıkarma işlemleri varsa önce bu işlemler tamamlanır. Daha sonra Bilgi Kutusundaki anlatılanlar uygulanır.
1−−−−−−−√+9–√25−−√1−+
işleminin sonucunu bulalım.
Çözüm:
1−−−−−−−√=11(25)−−−−−−−−−⎷=−−−−−−−−√=−−−√=16−−√25−−√=−=11(25)−=−===45
Öncelikle karekök içerisindeki işlemleri yaptık. Bunu unutmayın.
Bu durumda;
1−−−−−−−√+9–√25−−√=45+35=−+=45+35=75
olur.
+−−−−−−−−−−−−−√+−
işleminin sonucu kaçtır?
A)
B)
C)
D)
Yandaki sorunun videolu çözümü:
−−−−−−−−√−−−−−−−−√−−−
işleminin sonucu kaçtır?
A)
11
B)
2–√
C)
–√
D)
–√
Yandaki sorunun videolu çözümü:
Kareköklü sayılarda ondalık kesirlerle karşılaştığınızda bu ondalık kesirlerin, rasyonel sayıya çevrilebileceğini hatırlayınız.
0,01−−−−√=−−−−√=1–√−−−√=,01===
0,25−−−−√=−−−−√=25−−√−−−√==,25====12
53–√−–√63–√−–√+0,03−−−−√0,−−−−−√53−−+0,,
işleminin sonucunu bulalım.
Çözüm:
53–√−–√63–√−–√+0,03−−−−√0,−−−−−√=5.(3–√−22–√)6.(3–√−22–√)+0,,−−−−−√=56+−−−−−⎷=56+−−−√=56+16=66=−−+0,,=5.(3−22)6.(3−22)+0,,=56+=56+=56+16=66=1
Bu soruda sadeleştirme yapmak için ortak paranteze alma işlemi yaptık.
4 , 12–√ , 3–√24 , 12 , 32
sayılarını küçükten büyüğe doğru sıralayalım.
Çözüm:
Öncelikle verilen bütün sayıları karekök içerisine alalım.
4=42−−√=16−−√4=42=16
12–√=−−−√=12−−√12==12
3–√2=−−−√=34−−√32==34
Bu durumda
12<34<<34<16
olduğu için,
12–√<3–√2<<32<4
olur.
Kenar uzunluğu 1 br olan olan karenin köşegen uzunluğunun bir rasyonel sayı olmadığı anlaşıldıktan sonra, rasyonel sayıların oranları ve paylaşımları ölçmede yeterli olmasına rağmen, uzunlukları ifade etmek konusunda yetersiz olduğu ortaya çıktı. Bu yetersizliği gidermek için yeni sayılara ihtiyaç duyuldu.
Her rasyonel sayının bir ondalık açılımı vardır. Fakat, bazı ondalık açılımlara karşılık gelen bir rasyonel sayı olmayabilir.
Söz gelimi; 2, gibi virgülden sonrası tahmin edilemeyen ondalık açılımlara karşılık gelen rasyonel sayı bulunamaz. Bunun gibi sayılara, irrasyonel (rasyonel olmayan) sayılar denir.
4,3¯¯¯4,3¯
sayısının rasyonel olup olmadığını inceleyelim.
Çözüm:
Devirli ondalıklı sayıları;
Sayının Tamamı-Devretmeyen KısımVirgülden Sonra(Devreden Sayı Kadar 9 Devretmeyen Sayı Kadar 0)Sayının Tamamı-Devretmeyen KısımVirgülden Sonra(Devreden Sayı Kadar 9 Devretmeyen Sayı Kadar 0)
formülü ile kesirli sayılara çevirebildiğimizi hatırlayın. Bu durumda;
43−49=−49=
şeklinde yazılabildiğinden rasyonel sayıdır.
NOT: İki tam sayının oranı şeklinde yazılamayan sayı irrasyoneldir.
Sayma sayılar kümesi:
S= {1,2,3,4,}
Doğal sayılar kümesi:
N= {0,1,2,3,4,}
Tam sayılar kümesi:
Z= {,-3,-2,-1,0,1,2,3,}
Rasyonel sayılar kümesi:
Q={ab: a,b ∈Z ve b≠0}Q={ab: a,b ∈Z ve b≠0}
İrrasyonel sayılar kümesi:
I={abşeklinde yazılamayan sayılar a,b∈Z ve b≠0 }I={abşeklinde yazılamayan sayılar a,b∈Z ve b≠0 }
Gerçek sayılar kümesi:
Rasyonel sayılar ile irrasyonel sayılar kümesinin birleşimi Gerçek Sayılar kümesini oluşturur.
R = Q ∪ I
Π (pi) sayısının irrasyonel sayı olup olmadığını inceleyelim:
Π (pi) sayısı irrasyoneldir.
ve 3,14 sayıları Π nin yaklaşık değerleridir.
Gerçekte Π sayısı virgülden sonrası belli bir düzende devam etmeyen bir sayıdır.
Π = 3,
=3,¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯=3,¯
olduğundan Π sayısı ile
sayısı birbirine eşit değildir.
Kareköklü sayılar toplanırken, kat sayıların toplamı ortak kareköke kat sayı olarak yazılır.
ax−−√+bx−−√=(a+b).x−−√ax+bx=(a+b).x
32–√+72–√=(3+7).2–√=–√32+72=(3+7).2=
87–√+–√=(8+12).7–√=–√87+=(8+12).7=
10−−√+−−√=(1+5)−−√=−−√10+=(1+5)=
15−−√+15−−√=(1+1)−−√=−−√15+15=(1+1)=
Bir penguen birinci gün
25–√25
km, ikinci gün
45–√45
km yol gidiyor. Buna göre, penguenin bu iki günde gittiği toplam yolun kaç km olduğunu bulalım.
Çözüm:
İki günde gidilen toplam yol,
25–√+45–√=(2+4).5–√=65–√25+45=(2+4).5=65
km olur.
25–√+75–√+5–√25+75+5
işleminin sonucu kaçtır?
A)
–√
B)
95–√95
C)
85–√85
D)
−−√
Yandaki sorunun videolu çözümü:
a.b ≠ 0 ve a ≠ b olmak üzere;
a−−√+b√≠a+b−−−−√a+b≠a+b
36−−√+64−−√36+64
sayısının
36+64−−−−−−√36+64
sayısına eşit olup olmadığını inceleyelim:
36−−√+64−−√=62−−√+82−−√=6+8=+64=62+82=6+8=14
36+64−−−−−−√=−−−√=+64==10
olmak üzere; 14 ≠ 10 olduğundan,
36−−√+64−−√36+64
≠
36+64−−−−−−√36+64
olur.
43–√+23–√(4+2)3√+75–√+85–√(7+8)5√=63–√+–√43+23⏟(4+2)3+75+85⏟(7+8)5=63+
Kareköklü sayılar çıkarılırken, kat sayıların farkı ortak kareköke kat sayı olarak yazılır.
ax−−√−bx−−√=(a−b).x−−√ax−bx=(a−b).x
–√−42–√=(10−4).2–√=62–√−42=(10−4).2=62
–√−37–√=(13−3).7–√=–√−37=(13−3).7=
−−√−10−−√=(4−1)−−√=−−√−10=(4−1)=
15−−√−−−√=(1−7)−−√=−−−√15−=(1−7)=−
52–√−32–√−2–√52−32−2
işleminin sonucu kaçtır?
A)
32–√32
B)
22–√22
C)
2–√2
D)
22
Yandaki sorunun videolu çözümü:
Şekildeki; büyük çarkın çapı
–√
br, en küçük çarkın çapı ise
43–√43
br dir.
Buna göre bu iki çarkın çapları arasındaki farkı bulalım:
Çözüm:
Büyük çarkın çapından küçük çarkın çapını çıkardığımızda istenilen durum bulunur. Buna göre,
–√−43–√=(10−4).3–√=63–√−43=(10−4).3=63
br olur.
a.b ≠ 0 ve a ≠ b olmak üzere;
a−−√−b√≠a−b−−−−√a−b≠a−b
25−−√−16−−√25−16
sayısının
25−16−−−−−−√25−16
sayısına eşit olup olmadığını inceleyelim:
25−−√−16−−√=52−−√−42−−√=5−4=−16=52−42=5−4=1
25−16−−−−−−√=9–√=−16=9=3
olmak üzere; 1 ≠ 3 olduğundan,
25−−√−16−−√25−16
≠
25−16−−−−−−√25−16
olur.
82–√−2–√(8−1)2√+–√−37–√(12−3)7√=72–√+97–√82−2⏟(8−1)2+−37⏟(12−3)7=72+97
nest...
Karekök Challenging Questions in Precalculus - Calculus For High School Students
Ana SayfaKitapDers ve EğitimDers KitaplarıÜniversiteye HazırlıkÜniversiteye Hazırlık Konu ve SoruKarekök Challenging Questions in Precalculus - Calculus For High School Students
- ,71 TL x 3 Ay Taksit
- 59,85 TL x 6 Ay Taksit
- ,71 TL x 3 Ay Taksit
- 59,85 TL x 6 Ay Taksit
Kapıda Ödeme Seçeneği!
Dilerseniz Kapıda Ödeme seçeneğiyle alışverişlerinizi tamamlayabilirsiniz.
Kargo Bedava
Bu ürünün kargosundan ücret alınmayacak.
Kargomata Teslimat
Kargo beklemeyin paketlerinizi Kargomattan istediğiniz zaman alın.
Toptan Fiyat İste
Ürünü 10 adetten fazla alacaksanız bizimle iletişime geçin
- Ürün Açıklamaları
- Ürün Yorumları (0)
- Taksit Seçenekleri
Değerlendirme yapabilmek için bu ürünü satın almış olmanız gerekmektedir.
Taksit Seçenekleri
Kareköklü Sayılarda Çarpma İşlemi
Alanı 64 cm2 olan kare şeklindeki çini bir panonun bir kenarının uzunluğunu bulalım.
Çözüm:
Karenin alanı, bir kenar uzunluğunun kendisi ile çarpımına eşit olduğuna göre, acaba hangi sayının kendisi ile çarpımı 64 e eşittir?
Bu sorunun cevabı karenin bir kenar uzunluğunu verecektir.
64 = 82 = 8 x 8 eşitliğinden karenin bir kenar uzunluğunun 8 cm olduğu anlaşılır.
Alanı 64 cm2 olan bir karenin bir kenar uzunluğu için 64 ün karekökü bulunur:
64−−√==8
olur.
Verilen sayının, hangi sayının karesi olduğunu bulma işlemi, karekök almadır. Karekök √¯ sembolü ile gösterilir.
3–√3
ifadesi karekök üç,
16−−√16
ifadesi karekök onaltı olarak okunur.
25 sayısının hangi sayının karesi olduğunu bulalım.
Çözüm:
Kendisi ile çarpıldığında 25 elde edilen sayılar:
25 = 52 = ve
25 = (-5)2 = (-5).(-5) dir.
Ancak bir sayının karekökü pozitif bir sayı olabileceği için;
25−−√==5
olur.
√¯ sembolünü, bir sayının pozitif karekökünü bulmak için kullanırız. Yani bir sayının karekökü pozitif bir sayıdır.
Aşağıdaki tabloda karenin kenar uzunluğuna (br) karşılık alanının kaç br2 olduğu verilmiştir
Kenarlar
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Alanlar
1
4
9
16
25
36
49
64
81
Bu durumda alanını bildiğimiz bir karenin bir kenar uzunluğunu bulabilmek için karenin alanının karekökünü almalıyız.
Alanı 49 br2 olan karenin bir kenar uzunluğu
49−−√=7br,49=7br,
Alanı br2 olan karenin bir kenar uzunluğu
−−−√==10
Karekökleri tam sayı olan doğal sayılar (1,4,9,16,25,36,49,64,81,,,,,), tam kare sayılar olarak adlandırılır.
Aşağıda;
−−−√+−−−√64−−√−9–√+−9
işleminin sonucunu bulmak için yapılan işlemler verilmiştir.
Bu çözümde kaçıncı adımda hata yapılmıştır?
1. adım:
−−−√+−−−√64−−√−9–√+−9
2. adım:
25+−−√8−+−3
3. adım:
25++
4. adım:
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4
Yandaki sorunun videolu çözümü:
82+−−−−−−−√+
işleminin sonucu kaçtır?
A)
B)
13–√13
C)
−−√
D)
11
Yandaki sorunun videolu çözümü:
Ersin
3–√3
metre boyundadır. Ersin'in boyunu yaklaşık olarak tahmin edip sayı doğrusunda gösterelim.
Çözüm:
3–√3
sayısına en yakın tam kare sayılar 1 ve 4 tür. Bu sayıları
1 < 3 < 4 şeklinde sıralayabiliriz.
Sıraladığımız sayıların kareköklerini alalım:
1–√1
<
3–√3
<
4–√4
olur.
Buradan
1 <
3–√3
< 2 yazabiliriz.
3–√3
sayısının 1 ile 2 arasında bir sayı olduğunu tahmin edebiliriz. Ayrıca 3 sayısı 1 sayısına 4 sayısından daha uzak olduğu için
3–√3
sayısı 2 ye birden daha yakındır.
Yaptığımız tahmini, hesap makinesi kullanarak kontrol edelim:
Bunu için hesap makinesine 3 yazıp karekök tuşuna basmamız yeterlidir.
Bu durumda Ersin'in boyu,
3–√3
= 1, olur.
Şimdide
3–√3
sayısını sayı doğrusunda gösterelim:
Kareköklü sayılar çarpılırken (varsa), kat sayılar çarpılarakçarpıma kat sayı olarak yazılır. Kareköklü iki sayı ise tek bir karekök içerisine yazılarak çarpılır ve çarpıma yazılır.
a ≥ 0 ve b ≥ 0 olmak üzere;
xa−−√+yb√=(x.y).a.b−−−√xa+yb=(x.y).a.b
Kareköklü sayılarda toplama işleminde, farklı kareköklü sayıları aynı karekök içerisinde toplayamıyorduk. Oysa çarpma işleminde bu mümkündür.
Birbirinin aynısı olan iki kareköklü sayının sonucu, bu sayılardan birinin kareköksüz haline eşittir.
32–√–√=−−−√=−−√==
2–√.3–√=−−−√=26–√==26
2–√.3–√.5–√=−−−−√=30−−√==30
25–√.7–√=−−−√=−−√==
(−2–√).(−2–√)=−−−√=4–√=2(−2).(−2)==4=2
52–√–√
işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A)
B)
55–√55
C)
–√
D)
–√
Yandaki sorunun videolu çözümü:
Karekök içindeki bir sayıyı
ab√ab
şeklinde yazmak için aşağıdaki işlemler sırasıyla uygulanır.
- Karekök içindeki sayı, çarpanlarından birisi bir doğal sayının karesi olacak şekilde iki sayının çarpımı şeklinde yazılır.
- Tam kare olan çarpan karekök dışına çıkarılır. Yani, kareköklü sayının kat sayısı olur.
a > 0 olmak üzere;
a2.b−−−−√=a.b√a2.b=a.b
18−−√=−−−√=−−−√=32–√18===32
24−−√=−−−√=−−−√=26–√24===26
−−√=−−−−√=−−−√=–√=–√====
−38–√=−−−−√=−−−−√=−–√=−62–√−38=−=−=−=−62
8–√+−−√−−−−√8+−
işleminin sonucunu bulalım.
Çözüm:
8–√+−−√−−−−√=−−−√+−−−√−−−−−√=22–√+–√−–√=(2+15−10)2–√=72–√8+−=+−=22+−=(2+15−10)2=72
x−−−−√−x−−−−√−8.x−−−√=x−x−8.x=8
ise, x in değeri kaçtır?
A) 32 B) 16 C) 8 D) 4
Yandaki sorunun videolu çözümü:
ab√ab
şeklindeki bir ifadenin kat sayısını karekök içine almak için aşağıdaki işlemler sırasıyla uygulanır.
- Kat sayının karesi alınarak karekök içindeki sayının yanına çarpım olarak yazılır.
- Karekök içindeki sayıyla çarpılır ve çarpım karekök içine yazılır.
a > 0 olmak üzere;
ab√=a2.b−−−−√ab=a2.b
23–√=−−−√=−−−√=12−−√23===12
–√=−−−−√=−−−−√=−−−√===
–√=(12)−−−−−−−√=−−−√=54−−√=(12)==54
−57–√=−−−−√=−−−−−√=−−−−√−57=−=−=−
Pozitif kareköklü sayılarda, karekök içindeki sayıların büyüklüğüne göre sıralama yapılır. Şayet karekökün dışında karekökün katsayısı varsa ilk önce bu kat sayı içeri alınır, ondan sonra sıralama yapılır.
0 ≤ a < b < c ise,
a−−√<b√<c√a<b<c
35–√ , 43–√ , 52–√ ve , 43 , 52 ve 7
sayılarını küçükten büyüğe doğru sıralayalım.
Çözüm:
35–√=−−−√=−−−√=45−−√35===45
43–√=−−−√=−−−−√=48−−√43===48
52–√=−−−√=−−−−√=50−−√52===50
7=72−−√=49−−√7=72=49
45 < 48 < 49 < 50 olduğundan,
45−−√<48−−√<49−−√<50−−√45<48<49<50
dir. Yani,
35–√<43–√<7<52–√35<43<7<52
dir.
Kareköklü sayılarda sıralama yaparken ya bütün sayıları karekök içine almalı, ya da bütün sayıları karekök dışına çıkarmalı.
a=15−−√ , b=25–√ , c=4a=15 , b=25 , c=4
olduğuna göre,
a, b ve c nin doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?
A) a < b < c B) b < a < c
C) a < c < b D) c < a < b
Yandaki sorunun videolu çözümü:
a ≥ 0 ve b > 0 olmak üzere;
ab−−√=a−−√b√ab=ab
49−−√=4–√9–√==49=23
−−−√=25−−√36−−√===56
−−−√=81−−√49−−√===97
−−−√=1–√16−−√===14
3–√12−−√=−−−−−⎷=14−−√=1–√4–√===14=14=12
20−−√5–√
işleminin sonucu kaçtır?
A)
2–√2
B)
3–√3
C)
22
D)
5–√5
Yandaki sorunun videolu çözümü:
Kareköklü sayıların içerisinde toplama çıkarma işlemleri varsa önce bu işlemler tamamlanır. Daha sonra Bilgi Kutusundaki anlatılanlar uygulanır.
1−−−−−−−√+9–√25−−√1−+
işleminin sonucunu bulalım.
Çözüm:
1−−−−−−−√=11(25)−−−−−−−−−⎷=−−−−−−−−√=−−−√=16−−√25−−√=−=11(25)−=−===45
Öncelikle karekök içerisindeki işlemleri yaptık. Bunu unutmayın.
Bu durumda;
1−−−−−−−√+9–√25−−√=45+35=−+=45+35=75
olur.
+−−−−−−−−−−−−−√+−
işleminin sonucu kaçtır?
A)
B)
C)
D)
Yandaki sorunun videolu çözümü:
−−−−−−−−√−−−−−−−−√−−−
işleminin sonucu kaçtır?
A)
11
B)
2–√
C)
–√
D)
–√
Yandaki sorunun videolu çözümü:
Kareköklü sayılarda ondalık kesirlerle karşılaştığınızda bu ondalık kesirlerin, rasyonel sayıya çevrilebileceğini hatırlayınız.
0,01−−−−√=−−−−√=1–√−−−√=,01===
0,25−−−−√=−−−−√=25−−√−−−√==,25====12
53–√−–√63–√−–√+0,03−−−−√0,−−−−−√53−−+0,,
işleminin sonucunu bulalım.
Çözüm:
53–√−–√63–√−–√+0,03−−−−√0,−−−−−√=5.(3–√−22–√)6.(3–√−22–√)+0,,−−−−−√=56+−−−−−⎷=56+−−−√=56+16=66=−−+0,,=5.(3−22)6.(3−22)+0,,=56+=56+=56+16=66=1
Bu soruda sadeleştirme yapmak için ortak paranteze alma işlemi yaptık.
4 , 12–√ , 3–√24 , 12 , 32
sayılarını küçükten büyüğe doğru sıralayalım.
Çözüm:
Öncelikle verilen bütün sayıları karekök içerisine alalım.
4=42−−√=16−−√4=42=16
12–√=−−−√=12−−√12==12
3–√2=−−−√=34−−√32==34
Bu durumda
12<34<<34<16
olduğu için,
12–√<3–√2<<32<4
olur.
Kenar uzunluğu 1 br olan olan karenin köşegen uzunluğunun bir rasyonel sayı olmadığı anlaşıldıktan sonra, rasyonel sayıların oranları ve paylaşımları ölçmede yeterli olmasına rağmen, uzunlukları ifade etmek konusunda yetersiz olduğu ortaya çıktı. Bu yetersizliği gidermek için yeni sayılara ihtiyaç duyuldu.
Her rasyonel sayının bir ondalık açılımı vardır. Fakat, bazı ondalık açılımlara karşılık gelen bir rasyonel sayı olmayabilir.
Söz gelimi; 2, gibi virgülden sonrası tahmin edilemeyen ondalık açılımlara karşılık gelen rasyonel sayı bulunamaz. Bunun gibi sayılara, irrasyonel (rasyonel olmayan) sayılar denir.
4,3¯¯¯4,3¯
sayısının rasyonel olup olmadığını inceleyelim.
Çözüm:
Devirli ondalıklı sayıları;
Sayının Tamamı-Devretmeyen KısımVirgülden Sonra(Devreden Sayı Kadar 9 Devretmeyen Sayı Kadar 0)Sayının Tamamı-Devretmeyen KısımVirgülden Sonra(Devreden Sayı Kadar 9 Devretmeyen Sayı Kadar 0)
formülü ile kesirli sayılara çevirebildiğimizi hatırlayın. Bu durumda;
43−49=−49=
şeklinde yazılabildiğinden rasyonel sayıdır.
NOT: İki tam sayının oranı şeklinde yazılamayan sayı irrasyoneldir.
Sayma sayılar kümesi:
S= {1,2,3,4,}
Doğal sayılar kümesi:
N= {0,1,2,3,4,}
Tam sayılar kümesi:
Z= {,-3,-2,-1,0,1,2,3,}
Rasyonel sayılar kümesi:
Q={ab: a,b ∈Z ve b≠0}Q={ab: a,b ∈Z ve b≠0}
İrrasyonel sayılar kümesi:
I={abşeklinde yazılamayan sayılar a,b∈Z ve b≠0 }I={abşeklinde yazılamayan sayılar a,b∈Z ve b≠0 }
Gerçek sayılar kümesi:
Rasyonel sayılar ile irrasyonel sayılar kümesinin birleşimi Gerçek Sayılar kümesini oluşturur.
R = Q ∪ I
Π (pi) sayısının irrasyonel sayı olup olmadığını inceleyelim:
Π (pi) sayısı irrasyoneldir.
ve 3,14 sayıları Π nin yaklaşık değerleridir.
Gerçekte Π sayısı virgülden sonrası belli bir düzende devam etmeyen bir sayıdır.
Π = 3,
=3,¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯=3,¯
olduğundan Π sayısı ile
sayısı birbirine eşit değildir.
Kareköklü sayılar toplanırken, kat sayıların toplamı ortak kareköke kat sayı olarak yazılır.
ax−−√+bx−−√=(a+b).x−−√ax+bx=(a+b).x
32–√+72–√=(3+7).2–√=–√32+72=(3+7).2=
87–√+–√=(8+12).7–√=–√87+=(8+12).7=
10−−√+−−√=(1+5)−−√=−−√10+=(1+5)=
15−−√+15−−√=(1+1)−−√=−−√15+15=(1+1)=
Bir penguen birinci gün
25–√25
km, ikinci gün
45–√45
km yol gidiyor. Buna göre, penguenin bu iki günde gittiği toplam yolun kaç km olduğunu bulalım.
Çözüm:
İki günde gidilen toplam yol,
25–√+45–√=(2+4).5–√=65–√25+45=(2+4).5=65
km olur.
25–√+75–√+5–√25+75+5
işleminin sonucu kaçtır?
A)
–√
B)
95–√95
C)
85–√85
D)
−−√
Yandaki sorunun videolu çözümü:
a.b ≠ 0 ve a ≠ b olmak üzere;
a−−√+b√≠a+b−−−−√a+b≠a+b
36−−√+64−−√36+64
sayısının
36+64−−−−−−√36+64
sayısına eşit olup olmadığını inceleyelim:
36−−√+64−−√=62−−√+82−−√=6+8=+64=62+82=6+8=14
36+64−−−−−−√=−−−√=+64==10
olmak üzere; 14 ≠ 10 olduğundan,
36−−√+64−−√36+64
≠
36+64−−−−−−√36+64
olur.
43–√+23–√(4+2)3√+75–√+85–√(7+8)5√=63–√+–√43+23⏟(4+2)3+75+85⏟(7+8)5=63+
Kareköklü sayılar çıkarılırken, kat sayıların farkı ortak kareköke kat sayı olarak yazılır.
ax−−√−bx−−√=(a−b).x−−√ax−bx=(a−b).x
–√−42–√=(10−4).2–√=62–√−42=(10−4).2=62
–√−37–√=(13−3).7–√=–√−37=(13−3).7=
−−√−10−−√=(4−1)−−√=−−√−10=(4−1)=
15−−√−−−√=(1−7)−−√=−−−√15−=(1−7)=−
52–√−32–√−2–√52−32−2
işleminin sonucu kaçtır?
A)
32–√32
B)
22–√22
C)
2–√2
D)
22
Yandaki sorunun videolu çözümü:
Şekildeki; büyük çarkın çapı
–√
br, en küçük çarkın çapı ise
43–√43
br dir.
Buna göre bu iki çarkın çapları arasındaki farkı bulalım:
Çözüm:
Büyük çarkın çapından küçük çarkın çapını çıkardığımızda istenilen durum bulunur. Buna göre,
–√−43–√=(10−4).3–√=63–√−43=(10−4).3=63
br olur.
a.b ≠ 0 ve a ≠ b olmak üzere;
a−−√−b√≠a−b−−−−√a−b≠a−b
25−−√−16−−√25−16
sayısının
25−16−−−−−−√25−16
sayısına eşit olup olmadığını inceleyelim:
25−−√−16−−√=52−−√−42−−√=5−4=−16=52−42=5−4=1
25−16−−−−−−√=9–√=−16=9=3
olmak üzere; 1 ≠ 3 olduğundan,
25−−√−16−−√25−16
≠
25−16−−−−−−√25−16
olur.
82–√−2–√(8−1)2√+–√−37–√(12−3)7√=72–√+97–√82−2⏟(8−1)2+−37⏟(12−3)7=72+97