5 Bölü 0

5 bölü 0

Herhangi Bir Sayı Neden 0&#;a Bölünmez?

Matematik başlı başına ilginç bir bilim dalı, çünkü doğanın en kadim gizemlerine ışık tutuyor. Kimine göre zor kimine göre ise oldukça eğlenceli bir ders olan matematikte sıfır sayısının da özel bir yeri var. Zira akıldan çıkmayan matematik kurallardan biri de bir sayıyı sıfıra bölemeyeceğinizdir.

Reel sayılarda, yani sayı doğrusundaki bütün sayılar kümesinde bir sayının sıfır ile bölümü bize okullarda tanımsız diye öğretildi. Peki neden bir sayıyı sıfıra bölerseniz sonuç tanımsız olur hiç merak ettiniz mi? Gelin isterseniz bu sorunun cevabına birlikte bakalım.

Bir sayı neden 0'a bölünmez?

bir sayı neden sıfıra bölünmez

Herhangi bir reel sayının sıfıra bölümü tanımsızdır. Bölme işleminde sıfır ile bölüm tanımlı değildir. Ayrıca sonsuz da değildir. Bölümün sonucu pozitif sonsuz ya da negatif sonsuz olabilir. İki sonsuz da bir reel sayı belirtmez, dolayısıyla kesin olarak söyleyebiliriz ki, sayı bölü sıfır tanımsızdır.

Mesela 10 sayısını sıfıra böldüğünüzde elinize ne geçtiğini düşünmek için; 10’u 5’e bölmekle başlayalım. Bu işlemin cevabı 2 olur. Peki ya 10’u daha ufak bir rakamla, 2’yle bölseydiniz ne olurdu? Daha büyük bir sayı olan 5’i elde ederdiniz. Peki ya 10’un 1’e bölünmesi?

matematik

Yine daha büyük bir rakam çıkar. ½’ye bölünen 10, 20 eder. ¼’e bölündüğü zaman 40; 1/32’e bölündüğü zamansa yapar. Ne zaman daha ufak bir sayıya bölseniz, karşılığında daha büyük bir sayı elde edersiniz. Yani, bölen sayı 0’a ne kadar yaklaşırsa; cevabınız o kadar sonsuzluğa yaklaşır. Bu yüzden aslında 10’u 0’a bölseydiniz, sonsuzluk elde ederdiniz değil mi?

Bu işlemde bir sonuç almak adına yalnızca limit alabilirsiniz. (Sayı / X), x giderken sıfıra şeklinde ve bu fonksiyonun davranışını inceleyebilirsiniz. Ancak burada da karşımıza tek bir limit değeri çıkmaz, çünkü limitler sağdan ve soldan farklıdır.Sıfıra sağdan yaklaşırken, fonksiyonun değeri pozitif olarak sonsuza doğru gider. Sonsuz bir kısaltmadır, anlamı ise, sonucun herhangi bir X reel sayısından yüksek olduğu, sürekli büyüdüğü ve dolayısıyla hiçbir zaman belli olmadığıdır. Tek söyleyebileceğiniz, istediğiniz her reel sayıdan büyük bir sonuç elde edebileceğinizdir.

matematik sıfır ile limit

Sıfıra soldan yaklaşırken ise, durum negatif yönde aynıdır. Sayı mutlak değerce çok büyür ancak negatifdir, dolayısıyla küçülür. Belirleyebileceğiniz herhangi bir negatif reel sayıdan daha küçük bir sayıdır, dolayısıyla eksi sonsuzdur denir. Söylediğimiz gibi, X/0'ın hiçbir değeri yoktur, tanımlı bir işlem değildir. Sıfır ile asla bölme yapamazsınız.

Zaten sonsuz da reel sayılar kümesinde tanımlı bir sayı olmadığından, kesin olarak tanımsızdır. Sıfır bölü sıfır, bir üzeri sonsuz, sonsuz bölü sonsuz, sonsuz eksi sonsuz birer belirsizliktir. Tanımsız değildir. Bu işlemleri yapabilmek için belirsizliğe neden olan durumu ortadan kaldırıp sonucu bulabiliriz.

Sıfıra bölme işlemi, yanıtını bulamadığınız bir işlemdir, bu nedenle işlemin sonucu tanımsızdır. Bölme ve çarpmanın birbiriyle arasındaki ilişkiye bakacak olursak nedenini anlayabilirsiniz. 6'yı 3'e bölerseniz, cevap 2'dir, çünkü 2 çarpı 3 = 6 olur. 6'yı sıfıra bölerseniz, "Sıfır çarpı 6'yı hangi sayı verir?" Sorusunu sorarsınız. Bunun cevabı elbette bir sayı değildir, çünkü herhangi bir gerçek sayının sıfır çarpı sıfırın 6 olmadığını biliyoruz. Bu yüzden sıfıra bölmenin tanımsız olduğunu söylüyoruz, çünkü diğer sayılarla bölme tutarlı değildir.

Riemann Küresi ve Stereografik Yansıtma

riemann küresi

Düşünün ki, tüm yönlerde sonsuzluğa giden ve ortada bir merkezi bulunmayan iki boyutlu bir düzlem var. Şimdi bu düzlemi büküp küreye çevirdiğinizi ve sıfırın güney kutbu olduğunu, köşelerin de en tepede; kuzey kutbu olan yerde birleştiğini hayal edin. Şimdi, bir başka sonsuz iki boyutlu düzlem alın ve onu ekvatoru kesecek şekilde yerleştirin. Bu düzlem üzerinde seçtiğiniz herhangi bir nokta, kürenin Kuzey Kutbu’na düz bir çizgiyle bağlanabilir. Eğer seçtiğiniz nokta, kürenin dışındaysa; bağlantı çizgisi küreyle kuzey yarımkürede kesisecek. Eğer kürenin içerisindeyse, güney yarımkürede kesisecek.

Hayal ettiğiniz şey, bir Riemann Küresi. Düzlemdeki her noktayı, küredeki bir kesişim noktasıyla ilişkilendirmeyi kapsayan bu yönteme stereografik yansıtma deniyor. Temel olarak, düzlem üzerinde bulabileceğiniz herhangi bir noktayı küre üzerinde bulabilirsiniz. Buna sonsuzluk da dahil. Düzlemde sonsuzluğa ne kadar yaklaşırsanız, kürenin Kuzey Kutbu’na da o kadar yaklaşırsınız.

Başka bir örnekle açıklayacak olursak;

herhangi bir sayıyı sıfıra bölersek ne olur

Portakallara elma eklerseniz ne olur? Elbette bir anlam ifade etmiyor, bu yüzden en kolay şey, mantıklı olmadığını veya bir matematikçinin dediği gibi, "tanımsız" olduğunu söylemektir. Belki de ona bakmanın en iyi yolu budur. Matematikte, "XYZ işlemi tanımsız" gibi bir ifade gördüğünüzde, bunu kafanızda "XYZ işlemi bir anlam ifade etmiyor" şeklinde düşünebilirsiniz.

Bunu düşünmenin başka bir yolu da bir kutuyu elmalarla doldurmayı hayal etmektir. Bir kutuda elma olduğunu varsayalım. Şimdi bu elmaların yarısı büyüklüğündeki elmalarla doldurmayı deneyin. Kutuya tane elma koyabilirsiniz. Şimdi hiç yer kaplamayan özel, sihirli bir elma hayal edin. Kutuya kaç tane koyabilirsiniz?

Bu işlemin herhangi bir cevabı yok. Bu nedenle matematikçiler 0'a bölünen sayıları "tanımsız" olarak adlandırır. Bazı araştırmacılar bu işlemi sonsuz olarak görme eğilimindedir, ancak bu işlem tam olarak doğru değildir. Öncelikle bir sayının sıfıra bölümü ilk bakışta sonsuz gibi düşünülebilir. Çünkü bölen sayı küçüldükçe sonuç büyür. Örneğin 10 sayısını her adımda daha küçük sayılara bölersek sonucun büyüdüğünü görürüz.

10 / Bölen Sayı = Sonuç
10 / 1 = 10
10 / 0,1 =
10 / 0,01 =
10 / 0, =
10 / 0, =
10 / 0, =
10 / 0, =
Bağıntı = 10/x = y

Gördüğünüz gibi bölen sayı ne kadar küçük olursa sonuç o kadar büyük olmaktadır. Yani bölen sayı sıfıra yaklaştıkça sonuç da sonsuza yaklaşmaktadır. O halde bir sayının sıfıra bölümü sonsuz olmalıdır.

matematikte sıfıra bölme

Bu durumun neden doğru olmadığını anlamak için öncelikle bölme işleminin ne ifade ettiğini bilmemiz gerekir. Örneğin 10 sayısını 2 sayısına böldüğümüzde sonuç 5 çıkar. Bu işlem bize 10'un içinde kaç tane 2 olduğunu gösterir. Ayrıca bölme işlemi matematiksel olarak çarpma işleminin tersidir. Bölme ve çarpma işlemlerinin sonucunu birbirine eşit olacak şekilde düzenlersek çarpımsal ters kavramı ortaya çıkar.

10 / 5 = 2 = 10 x 1/5
10 / 2 = 5 = 10 x 1/2
10/a = 10 x 1/a

İşlemlerdeki 1/a sayısına çarpımsal ters denir. ilk işlemde 5'in çarpımsal tersi 1/5, ikinci işlemde 2'nin çarpımsal tersi 1/2'dir. Yani bir sayının çarpımsal tersi 1'in bu sayıya bölümüdür (a'nın çarpımsal tersi 1/a 'dır). Peki çarpımsal ters ne işimize yarayacak? Bir sayının çarpımsal tersi ile çarpımı daima 1 sonucunu verir.

Sayı x Çarpımsal Ters = 1
5 x 1/5 =1
2 x 1/2 = 1
x 1/ = 1
a x 1/a = 1

Bu durumda sıfırın çarpımsal tersi 1/0 olmalı ve çarpımsal tersi ile çarpımı da 1'i vermelidir (0 x 1/0 = 1). İşte sorun burada ortaya çıkar. Çünkü bir sayının sıfır ile çarpımı sıfırdır. Bu nedenle sıfırın çarpımsal tersi yoktur. Yani 1/0 tanımsızdır. Sayıların sıfıra bölüm işlemlerini çarpım olarak yazarsak

5/0 = 5 x 1/0
10/0 = 10 x 1/0
-3/0 = -3 x 1/0

1/0 tanımsız olduğu için bütün sonuçlar tanımsızdır. Yani bir sayının sıfıra bölümü tanımsızdır. İlk kısımda bahsettiğim ve mantıklı gibi görünen 1/0 = Sonsuz düşüncesi hala mantıklı gibi gelebilir. Fakat bu durum negatif sayılar için de aynı sonucu vermektedir. Bir sayıyı sıfıra yaklaşan negatif sayılara böldüğümüzde sonuç eksi sonsuza yaklaşır.

matematikte limit

10 / Negatif Bölen Sayı = Sonuç
10 / -1 =
10 / -0,1 =
10 / -0,01 =
10 / -0, =
10 / -0, =
10 /- 0, =
10 /- 0, =
Bağıntı = 10/-x = -y

Bu nedenle 1/0 sonucu sonsuz ise 1/-0 sonucu da eksi sonsuz olmalıdır. Sıfır nötr bir sayı olduğundan 1/0 için hem artı sonsuz hem de eksi sonsuz sonuçları ortaya çıkar. Artı sonsuz ile eksi sonsuz birbirine eşit olmadığından bu düşüncenin yanlış olduğu görülür.

Bütün bu işlemler kafanızı karıştırdıysa basit bir mantık üzerinden gidelim. Önceki kısımlarda bahsettiğim gibi örneğin 10/5 işlemi 10'un içinde kaç tane 5 olduğunu gösterir. Buna göre 10/0 işlemi 10'nun içinde kaç tane sıfır olduğunu göstermelidir. 10'un içinde kaç tane sıfır vardır? 1, 10, sonsuz bilmiyoruz çünkü sonuç matematiksel olarak tanımlanmamıştır. Bu nedenle bir sayıyı sıfıra bölersek sonuç tanımsızdır.

Bu yazımızda sizlerle bir sayının neden sıfıra bölünemediğini tüm detaylarıyla açıklamaya çalıştık. Meraklıları için faydalı olduğunu düşündüğümüz bu yazıda, bir sayıyı sıfıra böldüğümüzde neler olur, sonuç tanımsız mı yoksa sonsuz mu sorularına yanıt aradık. Bir sonraki yazımızda buluşuncaya dek sağlıcakla kalın.

Emoji İle Tepki Ver

0/0 Belirsizliği

\( \frac{0}{0} \) belirsizliği ayrı ayrı limitleri 0 olan iki ifadenin bölümünün limiti alındığında oluşur.

\( \lim_{x \to a} \dfrac{f(x)}{g(x)} \) limitinde,

\( \lim_{x \to a} f(x) = 0 \) ve \( \lim_{x \to a} g(x) = 0 \) değerleri elde ediliyorsa,

bu limit için \( \frac{0}{0} \) belirsizliği vardır.

ÖRNEK:

\( \lim_{x \to 2} \dfrac{x^2 - 4}{x - 2} \) limitinde,

\( \lim_{x \to 2} (x^2 - 4) = 0 \) ve \( \lim_{x \to 2} (x - 2) = 0 \) olduğu için, \( \frac{0}{0} \) belirsizliği vardır.

\( \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin{x}}{x} \) limitinde,

\( \lim_{x \to 0} \sin{x} = 0 \) ve \( \lim_{x \to 0} x = 0 \) olduğu için, \( \frac{0}{0} \) belirsizliği vardır.

Tüm belirsizliklerde olduğu gibi, bir fonksiyonun limitini hesaplarken \( \frac{0}{0} \) belirsizliği elde etmemiz fonksiyonun bu noktada limitinin tanımsız ya da sıfır olduğu anlamına gelmez. Fonksiyonun bu noktada limiti tanımlı olabilir ve bu limit değerini bulmak için kullanabileceğimiz bazı yöntemler aşağıdaki gibidir.

Çarpanlara Ayırma ve Sadeleştirme

\( \frac{0}{0} \) belirsizliği olan bir ifadede pay ve paydanın ortak bir çarpanı varsa ve limitini aldığımız değer bu çarpanı sıfır yapıyorsa payı ve paydayı çarpanlarına ayırarak ve bu ortak çarpanı sadeleştirerek belirsizliği giderebiliriz. Belirsizlik ortadan kalktıktan sonra ifadenin bu sadeleşmiş haliyle limit değerini tekrar hesaplayabiliriz.

ÖRNEK 1:

\( \lim_{x \to 2} \dfrac{x^3 - 4x^2 + 6x - 4}{x - 2} \) limitinin değerini bulalım.

\( \lim_{x \to 2} \dfrac{x^3 - 4x^2 + 6x - 4}{x - 2} \) limitinde,

\( \lim_{x \to 2} (x^3 - 4x^2 + 6x - 4) \) \( = 2^3 - 4(2)^2 + 6(2) - 4 = 0 \)

\( \lim_{x \to 2} (x - 2) = 2 - 2 = 0 \)

olduğu için, \( \dfrac{0}{0} \) belirsizliği vardır.

Bu belirsizlik bize fonksiyonun \( x = 2 \) noktasında tanımsız olduğunu gösterir, ama bu noktada limitin olmadığı sonucuna varamayız.

2 değeri pay ve paydadaki ifadelerin ikisini de sıfır yaptığı için iki ifadenin de bir kökü olmalıdır. Paydaki üçüncü dereceden ifadeyi çarpanlarına ayırmak için elimizde kolay bir yöntem olmadığı için polinom bölmesi ile bu ifadeyi \( x - 2 \)'ye bölerek diğer çarpanını bulalım.

\( x^3 - 4x^2 + 6x - 4 = (x - 2)(x^2 - 2x + 2) \)

Pay ve paydadaki ifadeleri yukarıdaki şekilde çarpanlarına ayırıp ortak çarpanları sadeleştirelim.

\( \lim_{x \to 2} \dfrac{x^3 - 4x^2 + 6x - 4}{x - 2} \) \( = \lim_{x \to 2} \dfrac{(x - 2)(x^2 - 2x + 2)}{x - 2} \)

\( = \lim_{x \to 2} (x^2 - 2x + 2) \)

Pay ve paydayı sıfır yapan çarpanları sadeleştirmiş olduk. Kalan ifadede direkt yerine koyma yöntemiyle limit değerini bulabiliriz.

\( = 2^2 - 2(2) + 2 = 2 \)

Yukarıdaki örnekte pay ve paydadaki ortak çarpanları sadeleştirdiğimizde \( \frac{0}{0} \) belirsizliğinin ortadan kalktığını ve ifadenin sadeleşmiş halinde \( x \) değerini yerine koyarak limit değerini elde edebileceğimizi gördük. Peki ortak çarpanları sadeleştirdiğimizde elde ettiğimiz yeni fonksiyonun bu noktadaki limitinin orijinal fonksiyonun aynı noktadaki limitine eşit olduğundan nasıl emin olabiliriz? Aşağıda bu soruyu cevaplamaya çalışacağız.

Sorudaki orijinal fonksiyonun (birinci grafik) ve sadeleşmiş halinin (ikinci grafik) grafikleri aşağıda verilmiştir.

Bu grafiklerle ilgili şu yorumları yapabiliriz.

Bir rasyonel fonksiyon ve o fonksiyonun pay ve paydasındaki ortak bir çarpanın sadeleşmiş şekli bir nokta dışında aynı fonksiyonlardır ve grafikleri özdeştir.
O nokta pay ve paydadaki bu çarpanı sıfır yapan ve belirsizliğe yol açan \( x \) değerinin karşılık geldiği noktadır.
Bu nokta orijinal fonksiyonun grafiğinde tanımsız, sadeleşmiş fonksiyonda ise tanımlıdır.
Limit bir noktadaki fonksiyon değeri ile değil, o noktanın civarındaki davranışla ilgilendiği için, iki fonksiyon arasındaki bu ayrımın limit hesaplamasına bir etkisi yoktur, dolayısıyla her ne kadar bu çarpanın sadeleşmesi yeni bir fonksiyon üretse de, bu noktadaki limit değeri açısından iki fonksiyon özdeştir.

\( \frac{0}{0} \) belirsizliğinde pay ve payda birer polinom ise ve ifadeyi çarpanlarına ayıramıyorsak pay ve paydadan daha yüksek dereceli olan ifadeyi diğerine polinom bölmesi ile bölmeyi deneyebiliriz. Bu polinom bölmesi işleminin sonucu bize ortak çarpanların sadeleşmiş halini verecektir.

SORU 1:

\( \lim_{x \to 1} \dfrac{x^{40} - 1}{x^{20} - 1} \) limitinin değerini bulalım.

Çözümü Göster

\( \lim_{x \to 1} \dfrac{x^{40} - 1}{x^{20} - 1} \) limitinde,

\( \lim_{x \to 1} (x^{40} - 1) = 1^{40} - 1 = 0 \)

\( \lim_{x \to 1} (x^{20} - 1) = 1^{20} - 1 = 0 \)

olduğu için, \( \dfrac{0}{0} \) belirsizliği vardır.

Payı kare farkı şeklinde çarpanlarına ayırdığımızda paydadaki ifadeyi bir çarpan olarak elde ederiz.

\( x^{40} - 1 \) \( = (x^{20})^2 - 1^2 \) \( = (x^{20} - 1)(x^{20} + 1) \)

Paydaki ifadeyi yukarıdaki şekilde çarpanlarına ayırıp ortak çarpanları sadeleştirelim.

\( \lim_{x \to 1} \dfrac{x^{40} - 1}{x^{20} - 1} \) \( = \lim_{x \to 1} \dfrac{(x^{20} - 1)(x^{20} + 1)}{x^{20} - 1} \)

\( = \lim_{x \to 1} (x^{20} + 1) \)

Pay ve paydayı sıfır yapan çarpanları sadeleştirmiş olduk. Kalan ifadede direkt yerine koyma yöntemiyle limit değerini bulabiliriz.

\( = 1^{20} + 1 = 2 \) buluruz.

Soru sorun Soruda hata bildirin

SORU 2:

\( \lim_{x \to 8} \dfrac{\sqrt[3]{x} - 2}{x - 8} \) limitinin değerini bulalım.

Çözümü Göster

\( \lim_{x \to 8} \dfrac{\sqrt[3]{x} - 2}{x - 8} \) limitinde,

\( \lim_{x \to 8} (\sqrt[3]{x} - 2) = \sqrt[3]{8} - 2 = 0 \)

\( \lim_{x \to 8} (x - 8) = 8 - 8 = 0 \)

olduğu için, \( \dfrac{0}{0} \) belirsizliği vardır.

Paydayı küp farkı şeklinde çarpanlarına ayırdığımızda paydaki ifadeyi bir çarpan olarak elde ederiz.

\( x - 8 = \sqrt[3]{x}^3 - 2^3 = (\sqrt[3]{x} - 2)(\sqrt[3]{x}^2 + 2\sqrt[3]{x} + 2^2) \)

Paydadaki ifadeyi yukarıdaki şekilde çarpanlarına ayırıp ortak çarpanları sadeleştirelim.

\( \lim_{x \to 8} \dfrac{\sqrt[3]{x} - 2}{x - 8} \) \( = \lim_{x \to 8} \dfrac{\sqrt[3]{x} - 2}{(\sqrt[3]{x} - 2)(\sqrt[3]{x}^2 + 2\sqrt[3]{x} + 2^2)} \)

\( = \lim_{x \to 8} \dfrac{1}{\sqrt[3]{x}^2 + 2\sqrt[3]{x} + 2^2} \)

Pay ve paydayı sıfır yapan çarpanları sadeleştirmiş olduk. Kalan ifadede direkt yerine koyma yöntemiyle limit değerini bulabiliriz.

\( = \dfrac{1}{\sqrt[3]{8}^2 + 2\sqrt[3]{8} + 2^2} \)

\( = \dfrac{1}{2^2 + 2 \cdot 2 + 2^2} \)

\( = \dfrac{1}{12} \) bulunur.

Soru sorun Soruda hata bildirin

SORU 3:

\( \lim_{x \to -3} \dfrac{2x^2 + 5x - 3}{x^2 + 5x + 6} \) limitinin değerini bulalım.

Çözümü Göster

\( \lim_{x \to -3} \dfrac{2x^2 + 5x - 3}{x^2 + 5x + 6} \) limitinde,

\( \lim_{x \to -3} (2x^2 + 5x - 3) = 2(-3)^2 + 5(-3) - 3 = 0 \)

\( \lim_{x \to -3} (x^2 + 5x + 6) = (-3)^2 + 5(-3) + 6 = 0 \)

olduğu için, \( \dfrac{0}{0} \) belirsizliği vardır.

-3 pay ve paydadaki ikinci derece ifadelerin ikisini de sıfır yaptığı için iki ifadenin de bir kökü olmalıdır, bu yüzden iki ifadeyi de çarpanlarına ayıralım.

\( 2x^2 + 5x - 3 = (2x - 1)(x + 3) \)

\( x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3) \)

Pay ve paydadaki ifadeleri yukarıdaki şekilde çarpanlarına ayırıp ortak çarpanları sadeleştirelim.

\( \lim_{x \to -3} \dfrac{2x^2 + 5x - 3}{x^2 + 5x + 6} \) \( = \lim_{x \to -3} \dfrac{(2x - 1)(x + 3)}{(x + 2)(x + 3)} \)

\( = \lim_{x \to -3} \dfrac{2x - 1}{x + 2} \)

Pay ve paydayı sıfır yapan çarpanları sadeleştirmiş olduk. Kalan ifadede direkt yerine koyma yöntemiyle limit değerini bulabiliriz.

\( = \dfrac{2(-3) - 1}{-3 + 2} \)

\( = \dfrac{-7}{-1} = 7 \) bulunur.

Soru sorun Soruda hata bildirin

SORU 4:

\( \lim_{x \to 4} \dfrac{x^3 - 6x^2 + 5x + 12}{x - 4} \) limitinin değerini bulalım.

Çözümü Göster

\( \lim_{x \to 4} \dfrac{x^3 - 6x^2 + 5x + 12}{x - 4} \) limitinde,

\( \lim_{x \to 4} (x^3 - 6x^2 + 5x + 12) = 4^3 - 6(4)^2 + 5(4) + 12 = 0 \)

\( \lim_{x \to 4} (x - 4) = 4 - 4 = 0 \)

olduğu için, \( \dfrac{0}{0} \) belirsizliği vardır.

4 pay ve paydadaki ifadelerin ikisini de sıfır yaptığı için iki ifadenin de bir kökü olmalıdır. Paydaki üçüncü dereceden ifadeyi çarpanlarına ayırmak için elimizde kolay bir yöntem olmadığı için polinom bölmesi ile bu ifadeyi \( x - 4 \)'e bölerek diğer çarpanını bulalım (polinom bölme işleminin detaylarını burada vermeyeceğiz).

\( x^3 - 6x^2 + 5x + 12 = (x - 4)(x^2 - 2x - 3) \)

Pay ve paydadaki ifadeleri yukarıdaki şekilde çarpanlarına ayırıp ortak çarpanları sadeleştirelim.

\( lim_{x \to 4} \dfrac{x^3 - 6x^2 + 5x + 12}{x - 4} \) \( = lim_{x \to 4} \dfrac{(x - 4)(x^2 - 2x - 3)}{x - 4} \)

\( = lim_{x \to 4} (x^2 - 2x - 3) \)

Pay ve paydayı sıfır yapan çarpanları sadeleştirmiş olduk. Kalan ifadede direkt yerine koyma yöntemiyle limit değerini bulabiliriz.

\( = 4^2 - 2(4) - 3 \)

\( = 16 - 8 - 3 = 5 \) bulunur.

Soru sorun Soruda hata bildirin

SORU 5:

\( a, b \in \mathbb{R} \) olmak üzere,

\( \lim_{x \to 3} \dfrac{ax^2 - 18}{x - 3} = b \) eşitliği verilmektedir.

Buna göre, \( a + b \) toplamını bulalım.

Çözümü Göster

Verilen limit ifadesinin reel sayı bir sonucu olduğuna göre limitin tanımlı olduğu sonucuna varabiliriz.

\( \lim_{x \to 3} \dfrac{ax^2 - 18}{x - 3} \) limitinde,

\( \lim_{x \to 3} (x - 3) = 3 - 3 = 0 \)

olduğunu görüyoruz. Buna göre payın limitinin de sıfır olması ve ifadede giderilebilir bir \( \dfrac{0}{0} \) belirsizliği olması gerekir, aksi takdirde ifade \( c \ne 0 \) olacak şekilde \( \dfrac{c}{0} \) tanımsızlığına dönüşür. Buna göre payın limitini sıfıra eşitleyerek \( a \) değerini bulalım.

\( \lim_{x \to 3} (ax^2 - 18) = a3^2 - 18 = 0 \)

\( a = 2 \)

\( a \) değerini limit ifadesinde yerine koyalım ve çarpanlara ayırma yöntemiyle ifadeyi sadeleştirelim.

\( \lim_{x \to 3} \dfrac{2x^2 - 18}{x - 3} \)

\( = \lim_{x \to 3} \dfrac{2(x^2 - 9)}{x - 3} \)

\( = \lim_{x \to 3} \dfrac{2(x - 3)(x + 3)}{x - 3} \)

\( = \lim_{x \to 3} 2(x + 3) \)

Pay ve paydayı sıfır yapan çarpanları sadeleştirmiş olduk. Kalan ifadede direkt yerine koyma yöntemiyle limit değerini bulabiliriz.

\( = 2(3 + 3) = 12 = b \)

Buna göre, \( a + b = 2 + 12 = 14 \) bulunur.

Soru sorun Soruda hata bildirin

Eşlenik ile Çarpma

Pay ve payda belirsizliği ortadan kaldıracak şekilde ortak bir çarpana ayrılmıyorsa ve pay ya da payda köklü bir ifade içeriyorsa payı ve paydayı bu köklü ifadenin eşleniği ile çarparak ve oluşan ifadeyi sadeleştirerek belirsizliği gidermeyi deneyebiliriz. Belirsizlik ortadan kalktıktan sonra ifadenin bu sadeleşmiş haliyle limit değerini tekrar hesaplayabiliriz.

ÖRNEK 2:

\( \lim_{x \to 1} \dfrac{\sqrt{x + 3} - 2}{x - 1} \) limitinin değerini bulalım.

\( \lim_{x \to 1} \dfrac{\sqrt{x + 3} - 2}{x - 1} \) limitinde,

\( \lim_{x \to 1} (\sqrt{x + 3} - 2) = \sqrt{1 + 3} - 2 = 0 \)

\( \lim_{x \to 1} (x - 1) = 1 - 1 = 0 \)

olduğu için, \( \dfrac{0}{0} \) belirsizliği vardır.

Bu belirsizliği gidermek için payı ve paydayı paydaki köklü ifadenin eşleniği ile çarpalım.

\( \lim_{x \to 1} [ \dfrac{\sqrt{x + 3} - 2}{x - 1} \cdot \dfrac{\sqrt{x + 3} + 2}{\sqrt{x + 3} + 2}] \)

\( = \lim_{x \to 1} \dfrac{(\sqrt{x + 3})^2 - 2^2}{(x - 1)(\sqrt{x + 3} + 2)} \)

\( = \lim_{x \to 1} \dfrac{x - 1}{(x - 1)(\sqrt{x + 3} + 2)} \)

\( (x - 1) \) çarpanının pay ve paydada ortak olduğunu görüyoruz, bu iki çarpanı sadeleştirdiğimizde aşağıdaki ifadeyi elde ederiz.

\( = \lim_{x \to 1} \dfrac{1}{(\sqrt{x + 3} + 2)} \)

Elde ettiğimiz ifadede \( x = 1 \) koyduğumuzda belirsizliğin ortadan kalktığını görüyoruz. Kalan ifadede direkt yerine koyma yöntemiyle limit değerini bulabiliriz.

\( = \dfrac{1}{(\sqrt{1 + 3} + 2)} = \dfrac{1}{4} \)

SORU 6:

\( \lim_{x \to 2} \dfrac{\sqrt{x + 7} - 3}{\sqrt{x - 1} - 1} \) limitinin değerini bulalım.

Çözümü Göster

\( \lim_{x \to 2} \dfrac{\sqrt{x + 7} - 3}{\sqrt{x - 1} - 1} \) limitinde,

\( \lim_{x \to 2} (\sqrt{x + 7} - 3) = \sqrt{2 + 7} - 3 = 0 \)

\( \lim_{x \to 2} (\sqrt{x - 1} - 1) = \sqrt{2 - 1} - 1 = 0 \)

olduğu için, \( \dfrac{0}{0} \) belirsizliği vardır.

Hem pay hem de payda köklü ifade içerdiği için, bu belirsizliği gidermek için payı ve paydayı bu iki köklü ifadenin eşlenikleri ile çarpalım.

\( \lim_{x \to 2} [ \dfrac{\sqrt{x + 7} - 3}{\sqrt{x - 1} - 1} \cdot \) \( \dfrac{(\sqrt{x + 7} + 3)(\sqrt{x - 1} + 1)}{(\sqrt{x + 7} + 3)(\sqrt{x - 1} + 1)} ] \)

\( = \lim_{x \to 2} \dfrac{(\sqrt{x + 7}^2 - 3^2)(\sqrt{x - 1} + 1)}{(\sqrt{x - 1}^2 - 1^2)(\sqrt{x + 7} + 3)} \)

\( = \lim_{x \to 2} \dfrac{(x + 7 - 9)(\sqrt{x - 1} + 1)}{(x - 1 - 1)(\sqrt{x + 7} + 3)} \)

\( = \lim_{x \to 2} \dfrac{(x - 2)(\sqrt{x - 1} + 1)}{(x - 2)(\sqrt{x + 7} + 3)} \)

Pay ve paydadaki ortak \( (x - 2) \) çarpanını sadeleştirelim.

\( = \lim_{x \to 2} \dfrac{\sqrt{x - 1} + 1}{\sqrt{x + 7} + 3} \)

Pay ve paydayı sıfır yapan çarpanları sadeleştirmiş olduk. Kalan ifadede direkt yerine koyma yöntemiyle limit değerini bulabiliriz.

\( = \dfrac{\sqrt{2 - 1} + 1}{\sqrt{2 + 7} + 3} \)

\( = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3} \) bulunur.

Soru sorun Soruda hata bildirin

Özel Trigonometrik Limitler

İspatlarını trigonometrik fonksiyonların limiti bölümünde verdiğimiz bazı trigonometrik ifadelerin limit değerlerini kullanarak da \( \frac{0}{0} \) belirsizliğini giderebiliriz.

\( \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin{x}}{x} = 1 \)

\( \lim_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos{x}}{x} = 0 \)

\( \lim_{x \to 0} \dfrac{\tan{x}}{x} = 1 \)

L'Hospital Kuralı

Tüm belirsizlikleri gidermek için kullanabileceğimiz bir yöntem olan L'Hospital kuralını önümüzdeki bölümde inceleyeceğiz.

SORU 7:

\( \lim_{x \to -3} \dfrac{x^2 + 5x + 6}{x + 3} \) limitinin değeri kaçtır?

Çözümü Göster

Önce pay ve paydadaki ifadelerin ayrı ayrı limitini bulalım.

İki ifade de birer polinom fonksiyonudur. Polinom fonksiyonunun bir noktadaki limit değeri o noktadaki fonksiyon değerine eşittir.

\( \lim_{x \to -3} (x^2 + 5x + 6) = (-3)^2 + 5(-3) + 6 = 0 \)

\( \lim_{x \to -3} (x + 3) = -3 + 3 = 0 \)

Payın ve paydanın bu noktadaki limitleri ayrı ayrı sıfır olduğu için limit ifadesinde \( \frac{0}{0} \) belirsizliği vardır.

İfadenin payının ve paydasının ortak bir çarpanı varsa ve limitini aldığımız değer bu çarpanı sıfır yapıyorsa payı ve paydayı çarpanlarına ayırarak ve bu ortak çarpanı sadeleştirerek belirsizliği giderebiliriz. Belirsizlik ortadan kalktıktan sonra ifadenin bu sadeleşmiş haliyle limit değerini tekrar hesaplayabiliriz.

\( \lim_{x \to -3} \dfrac{x^2 + 5x + 6}{x + 3} \)

\( = \lim_{x \to -3} \dfrac{(x + 2)(x + 3)}{x + 3} \)

\( = \lim_{x \to -3} (x + 2) \)

\( = -3 + 2 = -1 \) bulunur.

Soru sorun Soruda hata bildirin

SORU 8:

\( \lim_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos(2x)}{\sin{x} \cdot \cos{x}} \) limitinin değeri kaçtır?

Çözümü Göster

Önce pay ve paydadaki ifadelerin ayrı ayrı limitini bulalım.

Sinüs ve kosinüs fonksiyonları tüm reel sayılarda süreklidir. Sürekli fonksiyonlar arasındaki toplama, çıkarma, çarpma ve (payda sıfırdan farklı olmak koşuluyla) bölme işlemleri sonucunda oluşan fonksiyonlar da süreklidir.

Buna göre pay ve paydadaki ifadeler tüm reel sayılarda süreklidir ve doğrudan yerine koyma yöntemi ile limit değerlerini bulabiliriz.

\( \lim_{x \to 0} (1 - \cos(2x)) = 1 - 1 = 0 \)

\( \lim_{x \to 0} (\sin{x} \cdot \cos{x}) = 0 \cdot 1 = 0 \)

Payın ve paydanın bu noktadaki limitleri ayrı ayrı sıfır olduğu için limit ifadesinde \( \frac{0}{0} \) belirsizliği vardır.

Trigonometrik özdeşlikleri kullanarak payı ve paydayı sadeleştirelim.

Kosinüs iki kat açı formülü aşağıdaki gibidir.

\( \cos(2x) = 1 - 2\sin^2{x} \)

\( \lim_{x \to 0} \dfrac{1 - (1 - 2\sin^2{x})}{\sin{x} \cdot \cos{x}} \)

\( = \lim_{x \to 0} \dfrac{2\sin^2{x}}{\sin{x} \cdot \cos{x}} \)

\( = \lim_{x \to 0} \dfrac{2\sin{x}}{\cos{x}} = \lim_{x \to 0} (2\tan{x}) \)

Tanjant fonksiyonu \( x = 0 \) noktasında sürekli olduğu için doğrudan yerine koyma yöntemi ile limit değerini bulabiliriz.

\( = 2\tan{0} = 0 \) bulunur.

Soru sorun Soruda hata bildirin

SORU 9:

\( \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin(2x)}{x \cdot \cos{x}} \) limitinin değeri kaçtır?

Çözümü Göster

Önce pay ve paydadaki ifadelerin ayrı ayrı limitini bulalım.

Buna göre pay ve paydadaki ifadeler tüm reel sayılarda süreklidir ve doğrudan yerine koyma yöntemi ile limit değerlerini bulabiliriz.

\( \lim_{x \to 0} \sin(2x) = 0 \)

\( \lim_{x \to 0} (x \cdot \cos{x}) = 0 \cdot 1 = 0 \)

Payın ve paydanın bu noktadaki limitleri ayrı ayrı sıfır olduğu için limit ifadesinde \( \frac{0}{0} \) belirsizliği vardır.

Trigonometrik özdeşlikleri kullanarak payı ve paydayı sadeleştirelim.

Sinüs iki kat açı formülü aşağıdaki gibidir.

\( \sin(2x) = 2\sin{x} \cdot \cos{x} \)

\( \lim_{x \to 0} \dfrac{2\sin{x} \cdot \cos{x}}{x \cdot \cos{x}} \)

\( = \lim_{x \to 0} \dfrac{2\sin{x}}{x} = 2 \cdot \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin{x}}{x} \)

\( \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin{x}}{x} = 1 \) olduğunu ispatıyla birlikte göstermiştik.

\( = 2 \cdot 1 = 2 \) bulunur.

Soru sorun Soruda hata bildirin

SORU

\( \lim_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos(2x)}{x \cdot (1 + \cos{x})} \) limitinin değeri kaçtır?

Çözümü Göster

Önce pay ve paydadaki ifadelerin ayrı ayrı limitini bulalım.

Birim fonksiyon ve kosinüs fonksiyonu tüm reel sayılarda süreklidir. Sürekli fonksiyonlar arasındaki toplama, çıkarma, çarpma ve (payda sıfırdan farklı olmak koşuluyla) bölme işlemleri sonucunda oluşan fonksiyonlar da süreklidir.

Buna göre pay ve paydadaki ifadeler tüm reel sayılarda süreklidir ve doğrudan yerine koyma yöntemi ile limit değerlerini bulabiliriz.

\( \lim_{x \to 0} (1 - \cos(2x)) = 1 - 1 = 0 \)

\( \lim_{x \to 0} (x \cdot (1 + \cos{x}) = 0 \cdot 2 = 0 \)

Payın ve paydanın bu noktadaki limitleri ayrı ayrı sıfır olduğu için limit ifadesinde \( \frac{0}{0} \) belirsizliği vardır.

Trigonometrik özdeşlikleri kullanarak payı ve paydayı sadeleştirelim.

Kosinüs iki kat açı formülü aşağıdaki gibidir.

\( \cos(2x) = 2\cos^2{x} - 1 \)

\( \lim_{x \to 0} \dfrac{1 - (2\cos^2{x} - 1)}{x \cdot (1 + \cos{x})} \)

\( = \lim_{x \to 0} \dfrac{2 - 2\cos^2{x}}{x \cdot (1 + \cos{x})} \)

\( = \lim_{x \to 0} \dfrac{2(1 - \cos^2{x})}{x \cdot (1 + \cos{x})} \)

Kare farkı özdeşliğini kullanalım.

\( = \lim_{x \to 0} \dfrac{2(1 - \cos{x})(1 + \cos{x})}{x \cdot (1 + \cos{x})} \)

\( = \lim_{x \to 0} \dfrac{2(1 - \cos{x})}{x} \)

\( = 2 \cdot \lim_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos{x}}{x} \)

\( \lim_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos{x}}{x} = 0 \) olduğunu ispatıyla birlikte göstermiştik.

\( = 2 \cdot 0 = 0 \) bulunur.

Soru sorun Soruda hata bildirin

SORU

\( \lim_{x \to 0} \dfrac{\tan(2x) \cdot \cos(2x)}{x \cdot \cos^2{x}} \) limitinin değeri kaçtır?

Çözümü Göster

Önce pay ve paydadaki ifadelerin ayrı ayrı limitini bulalım.

Birim fonksiyon ve kosinüs fonksiyonu tüm reel sayılarda, tanjant fonksiyonu \( \{ \frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z} \} \) hariç tüm noktalarda süreklidir. Sürekli fonksiyonlar arasındaki toplama, çıkarma, çarpma ve (payda sıfırdan farklı olmak koşuluyla) bölme işlemleri sonucunda oluşan fonksiyonlar da süreklidir.

Buna göre pay ve paydadaki ifadeler tüm reel sayılarda süreklidir ve doğrudan yerine koyma yöntemi ile limit değerlerini bulabiliriz.

\( \lim_{x \to 0} (\tan(2x) \cdot \cos(2x)) = 0 \cdot 1 = 0 \)

\( \lim_{x \to 0} (x \cdot \cos^2{x}) = 0 \cdot 1 = 0 \)

Payın ve paydanın bu noktadaki limitleri ayrı ayrı sıfır olduğu için limit ifadesinde \( \frac{0}{0} \) belirsizliği vardır.

Trigonometrik özdeşlikleri kullanarak payı ve paydayı sadeleştirelim.

Tanjant iki kat açı formülü aşağıdaki gibidir.

\( \tan(2x) = \dfrac{2 \cdot \tan{x}}{1 - \tan^2{x}} \)

\( \lim_{x \to 0} \dfrac{\frac{2 \cdot \tan{x}}{1 - \tan^2{x}} \cdot \cos(2x)}{x \cdot \cos^2{x}} \)

\( = \lim_{x \to 0} \dfrac{\frac{2 \cdot \tan{x}}{1 - \frac{\sin^2{x}}{\cos^2{x}}} \cdot \cos(2x)}{x \cdot \cos^2{x}} \)

\( = \lim_{x \to 0} \dfrac{\frac{2 \cdot \tan{x} \cdot \cos^2{x}}{\cos^2{x} - \sin^2{x}} \cdot \cos(2x)}{x \cdot \cos^2{x}} \)

Kosinüs iki kat açı formülü aşağıdaki gibidir.

\( \cos(2x) = \cos^2{x} - \sin^2{x} \)

\( = \lim_{x \to 0} \dfrac{\frac{2 \cdot \tan{x} \cdot \cos^2{x}}{\cos(2x)} \cdot \cos(2x)}{x \cdot \cos^2{x}} \)

\( = \lim_{x \to 0} \dfrac{2 \cdot \tan{x} \cdot \cos^2{x}}{x \cdot \cos^2{x}} \)

\( = \lim_{x \to 0} \dfrac{2 \cdot \tan{x}}{x} = 2 \cdot \lim_{x \to 0} \dfrac{\tan{x}}{x} \)

\( \lim_{x \to 0} \dfrac{\tan{x}}{x} = 1 \) olduğunu ispatıyla birlikte göstermiştik.

\( = 2 \cdot 1 = 2 \) bulunur.

Soru sorun Soruda hata bildirin

nest...

118882 118883 118884 118885 118886