Altıgen Köşegen

Karışıklıkları önlemek ve olayları daha doğru bir biçimde kavrayabilmek adına terimler hayatları kolaylaştırır ve bu bağlamda oldukça önemlidirler. Köşegen de geometri dersinde kullanılan, sınavlarda sorularda ve bazı meslek gruplarının günlük yaşamlarında karşılaşılan bir terimdir. Sıklıkla kullanılan bir terim olması nedeni ile de pek çok kişi tarafından arama motorlarında köşegen ile ilgili; köşegen nedir, köşegen sayısı nasıl bulunur gibi soruların yanıtları aranır.

Köşegen Nedir?

Üç veya daha fazla kenara sahip olan geometrik şekillerde ardışık olmayan kenarlar arasında çizilen doğrulara köşegen ismi verilir. Yapıları gereği bu köşegenler iç ve dış açıları hesaplama konusunda kolaylık sağlar. Ayrıca köşegenleri kullanmak problemlerin kolay bir şekilde çözülmesi için yardımcı olabilecek bir konudur.

Köşegenler iki boyutlu cisimlerde olduğu gibi aynı zamanda üç boyutlu geometrik cisimlerde de kendilerini gösterirler. Geometrik şekillerde boyut arttıkça elde edilecek olan köşegen sayısı da aritmetik olarak büyür.

Çokgenlerde Köşegen Sayısı Bulma Formülü Nedir, Nasıl Bulunur?

Kenar sayısı üç veya daha fazla olan geometrik şekillere çokgen denir. Çokgenlerin de ardışık olmayan iki köşesi arasında çizilen doğrulara köşegen ismi verilir. Köşegenleri bulmak pek çok problemin ve bununla ilgili soruların çözülmesine yardımcı olur. Çokgenlerin köşegen sayısının bulunması için bir formül bulunur.

"n" kenarı bulunan bir çokgenin, herhangi bir köşesinden "n-3" adet köşegen çizilebilir. Bu nedenle bu iki sayının çarpılması gerekir. Daha sonrasında da elde edilen sayıyı 2'ye bölerek köşegen sayısını elde ederiz.

• Köşegen Sayısı Bulma Formülü: n.(n-3)/2 şeklindedir. Burada "n" kenar sayısını temsil eder.

Örnek: Bir altıgenin köşegen sayısı nedir?

Altıgende kenar sayısı 6 olduğu için n yerine 6 yazarak köşegen sayısını rahat bir şekilde bulabiliriz.

• 6.()/2
• 6.(3)/2
• 18/2
• 9.

Yani altıgenin 9 adet köşegeni bulunur.

Üçgenin İç Açısı, Dış Açısı ve Köşegen Sayısı

Düzgün üçgenin bir dış açısı derecedir. Bir iç açısı ise 60 derecedir. Üçgenin köşegen sayısı yoktur. Aynı şekilde bir köşesinden çizilen köşegen sayısı da yoktur.

Dörtgenin İç Açısı, Dış Açısı ve Köşegen Sayısı

Dörtgen belki de en kolay açı ve köşegen tayini yapılabilen geometrik şekildir. Dörtgenin bir iç açısı 90 derecedir. Aynı şekilde bir dış açısı da 90 derecedir. Dörtgenin köşegen sayısı 2 dir. Bir köşesinden çizilen köşegen sayısı ise 1 dir.

Beşgenin İç Açısı, Dış Açısı ve Köşegen Sayısı

Beşgenin bir dış açısı 72 derecedir. Bir iç açısı ise derecedir. Beşgenin köşegen sayısı 5 tir. Bir köşesinden çizilen köşegen sayısı ise 2 dir. 

Altıgenin İç Açısı, Dış Açısı ve Köşegen Sayısı

Altıgenin bir dış açısı 60 derecedir. Bir iç açısı ise derecedir. Altıgenin köşegen sayısı 9 tanedir. Bir köşesinden çizilen köşegen sayısı ise 3 tanedir.

Yedigenin İç açısı, Dış Açısı ve Köşegen Sayısı

Yedigenin bir dış açısı yaklaşık 51 derecedir. Bir iç açısı ise yaklaşık derecedir. Yedigenin açı değerleri küsüratlı olduğu için genelde sorularda karşılaşılmaz. Yedigenin köşegen sayısı 14 tanedir.

Bir köşesinden çizilen köşegen sayısı ise 4 tanedir.

Sekizgenin İç Açısı, Dış Açısı ve Köşegen Sayısı

Sekizgenin bir dış açısı 45 derecedir. Bir iç açısı ise derecedir. Sekizgenin köşegen sayısı 20 tanedir. Bir köşesinden çizilen köşegen sayısı ise 5 tanedir.

Dokuzgenin İç Açısı, Dış Açısı ve Köşegen Sayısı

Dokuzgenin bir dış açısı 40 derecedir. Bir iç açısı ise derecedir. Dokuzgenin köşegen sayısı 27 tanedir. Bir köşesinden çizilen köşegen sayısı ise 6 tanedir.

Ongenin İç Açısı, Dış Açısı ve Köşegen Sayısı

Ongenin bir dış açısı 36 derecedir. Bir iç açısı ise derecedir. Ongenin köşegen sayısı 35 tanedir. Bir köşesinden çizilen köşegen sayısı 7 tanedir.

Share:

Tüm kenarlarının uzunlukları ve iç açılarının ölçüleri eşit olan çokgenlere düzgün çokgen denir.

Düzgün Çokgenlerin Açı Özellikleri

\( n \) kenarlı bir düzgün çokgenin bir açı açısının ölçüsü aşağıdaki formüller bulunabilir.

\( n \) kenarlı bir düzgün çokgenin bir dış açısının ölçüsü aşağıdaki formüller bulunabilir.

\( n \) çift sayı olmak üzere, \( n \) kenarlı bir düzgün çokgenin karşılıklı (uzak) köşeleri arasında çizilen köşegenler için aşağıdakiler doğrudur.

• Köşegenler düzgün çokgenin merkezinde tek bir noktada kesişirler.
• Her köşegen birleştirdiği köşelerin açıortayıdır.
• Köşegenler birbirini ortalar.
• Köşegenler düzgün çokgenin alanını \( n \) eşit bölgeye ayırır.
• Köşegenlerin kesişimi olan nokta, aynı zamanda düzgün çokgenin iç teğet ve çevrel çemberlerinin merkezidir.

En Sık Kullanılan Düzgün Çokgenler

Şekil	İç Açılar Toplamı	Bir İç Açı Ölçüsü	Dış Açılar Toplamı	Bir Dış Açı Ölçüsü
Düzgün Çokgen	\( (n - 2) \cdot ° \)	\( \dfrac{(n - 2) \cdot °}{n} \)	\( ° \)	\( \dfrac{°}{n} \)
Eşkenar Üçgen	\( ° \)	\( 60° \)	\( ° \)	\( ° \)
Kare	\( ° \)	\( 90° \)	\( ° \)	\( 90° \)
Düzgün Beşgen	\( ° \)	\( ° \)	\( ° \)	\( 72° \)
Düzgün Altıgen	\( ° \)	\( ° \)	\( ° \)	\( 60° \)
Düzgün Sekizgen	\( ° \)	\( ° \)	\( ° \)	\( 45° \)

Düzgün Altıgen

Düzgün altıgenin karşılıklı (uzak) köşeleri arası çizilen köşegenler aynı zamanda birleştirdikleri köşelerin açıortayı oldukları için, bu köşegenler 6 eşkenar üçgen oluştururlar.

Bir kenar uzunluğu \( a \) birim olan düzgün altıgenin alanını aşağıdaki formülle bulabiliriz.

Karşılıklı köşeler arası çizilen köşegenler, düzgün altıgenin alanını 6 eşit bölgeye ayırır.

Bir düzgün altıgenin farklı noktaları arasında çizilen doğru parçaları, düzgün altıgenin alanını aşağıdaki oranlarda böler.

İSPATI GÖSTER

Kosinüs teoremini kullanarak \( \abs{AC} \) uzunluğunu bulalım.

\( \abs{AB} = \abs{BC} = a \)

\( m(\widehat{ABC}) = ° \)

\( \abs{AC}^2 = a^2 + a^2 - 2a^2\cos{°} \)

\( \abs{AC} = \sqrt{3} a \)

\( [AK] \) doğru parçası, \( \overset{\triangle}{ABO} \) üçgeninin yüksekliği ise, bu yüksekliğin uzunluğunu aşağıdaki gibi bulmuştuk.

\( \abs{AK} = \dfrac{\sqrt{3}a}{2} \)

\( \abs{AC} \) uzunluğunun \( \abs{AK} \)'nin iki katı olduğunu görüyoruz, buna göre bu iki doğru parçası çakışıktır ve \( [AC] \) doğru parçası aynı zamanda \( \overset{\triangle}{ABO} \) ve \( \overset{\triangle}{BCO} \) üçgenlerinin yüksekliği ve kenarortayıdır ve alanlarını ikiye böler. Bu yüzden, \( \overset{\triangle}{ABC} \) üçgeninin alanı, köşegenlerin oluşturduğu eşkenar üçgenlerden birinin alanına eşittir.

\( A(\overset{\triangle}{ABK}) = \dfrac{A(\overset{\triangle}{ABO})}{2} \)

\( A(\overset{\triangle}{ABC}) = 2 \cdot A(\overset{\triangle}{ABK}) \)

\( A(\overset{\triangle}{ABC}) = A(\overset{\triangle}{ABO}) \)

İspatta hata bildirin

Düzgün Sekizgen

Düzgün sekizgende karşılıklı (uzak) köşeler arası çizilen köşegenlerin merkezde oluşturduğu açıların her biri \( \dfrac{°}{8} = 45° \)'dir. Buna göre, bu şekilde oluşan açılardan iki tanesi bir dik açı oluşturur.

Karşılıklı köşeler arası çizilen köşegenler, düzgün sekizgenin alanını 8 eşit bölgeye ayırır.

Bir düzgün sekizgenin farklı noktaları arasında çizilen doğru parçaları, düzgün sekizgenin alanını aşağıdaki oranlarda böler.