Yamuğun Iç Açıları
Yamukta açı nasıl bulunur?
İçindekiler:
- Yamukta açı nasıl bulunur?
- Yamuğun hangi açıları birbirine eşittir?
- Bir yamuğun kaç kenarı vardır?
- Yamuğun tanımı nedir?
- Yamuğun karşılıklı kenarları birbirine paraleldir doğru mu yanlış mı?
- Yamuk kaç kenarlıdır?
- Yamuk nasıl bir şey?
- Yamuğun en az iki kenarı birbirine paraleldir doğru mu yanlış mı?
- Yamuğun kenar çiftlerinden en az biri nedir?
- Yamuk formülü nedir?
- Yamuğun orta noktası nasıl bulunur?
Yamukta açı nasıl bulunur?
Bu da şöyle formüle edilir = Bunun anlamı bir yamuğuniç açılarıtoplamının derece olduğudur. Yamuktakarşı durumlu açıların toplamı derecedir. Yamuğuntüm açılarının toplamı ise derecedir.Yamuğun hangi açıları birbirine eşittir?
Bütün kenarları birbirine eşittirve iç açılarıtoplamı derecedir.Bir yamuğun kaç kenarı vardır?
Bazen ise iki kenarıeşit uzunluğa sahip olabilir. Böyle üçgenleri ise ikizkenar üçgen denir. Bazı zamanlar ise üçgenlerin her üç kenarıda farklı uzunluklara sahip olabilir. Yamuk: Yamukşeklinin de 4 tane kenarı vardırve 4 tane köşesi bulunur.Yamuğun tanımı nedir?
Yamuk, iki kenarı paralel olan dörtgen. Paralel olan kenarlarına "yamuğuntabanları", paralel olmayan kenarlarına ise "yanal kenarlar" adı verilir.Yamuğun karşılıklı kenarları birbirine paraleldir doğru mu yanlış mı?
ParalelDoğrulara Sahip Geometrik Şekiller Bu şekiller içerisinde yamukharicinde diğer tüm dörtgenlerin karşılıklı kenarlarınhepsi birbirine paraleldir. Ancak sadece yamukalt ve üst kenarları birbirine paralelolarak çizilir.Yamuk kaç kenarlıdır?
Bazen ise iki kenarı eşit uzunluğa sahip olabilir. Böyle üçgenleri ise ikizkenar üçgen denir. Bazı zamanlar ise üçgenlerin her üç kenarı da farklı uzunluklara sahip olabilir. Yamuk: Yamukşeklinin de 4 tane kenarı vardır ve 4 tane köşesi bulunur.Yamuk nasıl bir şey?
İki kenarı paralel olan dörtgene yamukdenir. biryamuğun paralel olan kenarlarına yamuğun tabanları adı verilir. Biryamukta tabanlar arasındaki, tabanlara dik doğru parçasına yamuğun yüksekliği adı verilir. Alt ve üst kenarları paralel olan dörtgenlere yamukdenir.Yamuğun en az iki kenarı birbirine paraleldir doğru mu yanlış mı?
ParalelDoğrulara Sahip Geometrik Şekiller Bu şekillerin hepsi karşılıklı en az iki doğruparçası birbirine paralelolarak çizilir. Bu şekiller içerisinde yamukharicinde diğer tüm dörtgenlerin karşılıklı kenarların hepsi birbirine paraleldir. Ancak sadece yamukalt ve üst kenarları birbirine paralelolarak çizilir.Yamuğun kenar çiftlerinden en az biri nedir?
Cevap: Yamuktakarşılıklı kenar çiftlerinden en az biribirbirine paraleldir.Yamuk formülü nedir?
Bu formülise şu şekildedir: [(Alt taban uzunluğu + Üst taban uzunluğu) / 2] * h formülünden yararlanılarak dik yamukalanı bulunur. Bu formülde yazılanların ne olduğunun açıklanması konun anlaşılır olması bakımından önemlidir.Yamuğun orta noktası nasıl bulunur?
- Yamuğun, yanal kenarları üzerindeki açılar bütünlerdir. m(A) + m(D) = ° , m(B) + m(C) = °
- Yan kenarların orta noktalarını birleştiren doğru parçasına, orta taban denir. Orta taban uzunluğu, alt ve üst tabanlarının uzunluklarının toplamının yarısı kadardır.
Yamuk
En az iki kenarı birbirine paralel olan dörtgene yamuk denir.
İkinci bir tanıma göre, yamuk sadece iki kenarı birbirine paralel olan dörtgendir. Yukarıda yaptığımız tanıma göre, "karşılıklı kenarları paralel olan" paralelkenarlar aynı zamanda birer yamuk olmaktayken, bu ikinci tanıma göre olmamaktadır.
Biz bu sitede daha kapsayıcı olan ve tüm dörtgenlerin hiyerarşik şekilde tanımlanmasına imkan sağlayan "en az iki paralel kenar" tanımını tercih edeceğiz.
Yamuk bir dörtgen olduğu için, dörtgen bölümünde bahsettiğimiz özellikler yamuk için de geçerlidir.
Yamuğun Kenar ve Köşegen Özellikleri
Yamuğun alt ve üst tabanları birbirine paraleldir.
\( \abs{AB} \parallel \abs{DC} \)
Yamuğun yan kenarlarının orta noktalarını birleştiren doğru parçasına orta taban denir. Orta taban uzunluğu alt ve üst taban uzunluklarının yarısına eşittir.
\( d = \dfrac{\abs{AB} + \abs{DC}}{2} \)
İSPATI GÖSTER
\( \dfrac{[DE]}{[EA]} = \dfrac{[CF]}{[FB]} \) olduğundan,
\( [DC] \parallel [EF] \parallel [AB] \) olur.
\( ABCD \) yamuğunun \( DB \) köşegenini çizelim (mavi kesikli çizgi).
\( ABD \) üçgenine temel orantı teoremini uygulayalım.
\( \dfrac{\abs{DE}}{\abs{DA}} = \dfrac{\abs{EH}}{\abs{AB}} = \dfrac{1}{2} \)
\( \abs{EH} = \dfrac{\abs{AB}}{2} \)
\( BCD \) üçgenine temel orantı teoremini uygulayalım.
\( \dfrac{\abs{BF}}{\abs{BC}} = \dfrac{\abs{HF}}{\abs{DC}} = \dfrac{1}{2} \)
\( \abs{HF} = \dfrac{\abs{DC}}{2} \)
Orta taban uzunluğunu yazalım.
\( \abs{EF} = d = \abs{EH} + \abs{HF} \)
\( = \dfrac{\abs{AB}}{2} + \dfrac{\abs{DC}}{2} = \dfrac{\abs{AB} + \abs{DC}}{2} \)
İspatta hata bildirin
Orta taban yamuğun yükseklik ve köşegenlerini de iki eşit parçaya ayırır.
Bir yamuğun köşegenlerinin orta tabanı kestiği noktalar arasındaki doğru parçasının uzunluğunun formülü aşağıdaki gibidir.
\( \abs{KL} = \dfrac{b - a}{2} \)
İSPATI GÖSTER
\( [EL] \) doğru parçası \( DAB \) üçgeninin orta tabanı olduğu için uzunluğu taban uzunluğunun yarısıdır.
\( \abs{EL} = \dfrac{b}{2} \)
\( [EK] \) doğru parçası \( DAC \) üçgeninin orta tabanı olduğu için uzunluğu taban uzunluğunun yarısıdır.
\( \abs{EK} = \dfrac{a}{2} \)
Köşegenlerin orta tabanı kestiği noktalar arasındaki doğru parçasının uzunluğunu yazalım.
\( \abs{KL} = \abs{EL} - \abs{EK} \)
\( = \dfrac{b}{2} - \dfrac{a}{2} \)
\( = \dfrac{b - a}{2} \)
İspatta hata bildirin
Yamuğun Açı Özellikleri
Yamuğun yan kenarları üzerindeki karşı durumlu açılarının toplamı °'dir.
\( a + d = ° \)
\( b + c = ° \)
İSPATI GÖSTER
\( ABCD \) yamuğunun üst kenarını uzatalım (mavi kesikli çizgi).
\( D \) köşesinin komşu bütünler açısı ve \( A \) köşesinin açısı iç ters açılar olduğu için ölçüleri birbirine eşittir ve \( a \)'dır.
\( C \) köşesinin komşu bütünler açısı ve \( B \) köşesinin açısı iç ters açılar olduğu için ölçüleri birbirine eşittir ve \( b \)'dir.
Buna göre yamuğun yan kenarları üzerindeki karşı durumlu açılarının toplamı ° olur.
\( a + d = ° \)
\( b + c = ° \)
İspatta hata bildirin
Yamuğun Çevresi ve Alanı
Yamuğun dört kenarının uzunluğu da farklı olabileceği için, çevre uzunluğu dört kenarının uzunluklarının toplamıdır.
\( Ç(ABCD) = \abs{AB} + \abs{BC} + \abs{CD} \) \( + \abs{DA} \)
Yamuğun alanı alt ve üst tabanları toplamının yarısı ile yüksekliğinin çarpımına eşittir.
\( A(ABCD) = \dfrac{a + b}{2} \cdot h \)
İSPATI GÖSTER
\( ABCD \) yamuğunun \( DB \) köşegenini çizelim (mavi kesikli çizgi).
\( ABCD \) yamuğunun alanı köşegenin ayırdığı iki üçgenin alanları toplamına eşittir.
\( A(ABCD) = A(\overset{\triangle}{ABD}) + A(\overset{\triangle}{BCD}) \)
\( A(\overset{\triangle}{ABD}) = \dfrac{b \cdot h}{2} \)
\( A(\overset{\triangle}{BCD}) = \dfrac{a \cdot h}{2} \)
\( A(ABCD) = \dfrac{b \cdot h}{2} + \dfrac{a \cdot h}{2} \)
\( = \dfrac{(a + b)}{2} \cdot h \)
İspatta hata bildirin
Yamuğun bir yan kenarına ait iki köşeden diğer yan kenarının orta noktasına çizilen doğru parçalarının oluşturduğu üçgenin alanı, yamuğun alanının yarısına eşittir.
\( A(BKC) = \dfrac{A(ABCD)}{2} \)
İSPATI GÖSTER
Yamuğun orta tabanını ve yüksekliğini çizelim (mavi kesikli çizgiler).
\( A(ABCD) = \dfrac{a + b}{2} \cdot h \)
\( KBC \) üçgeninin alanı \( KMB \) ve \( KMC \) üçgenlerinin alanları toplamına eşittir.
\( A(\overset{\triangle}{KBC}) = A(\overset{\triangle}{KMB}) + A(\overset{\triangle}{KMC}) \)
\( A(\overset{\triangle}{KMB}) = \dfrac{\abs{KM} \cdot \frac{h}{2}}{2} \)
\( A(\overset{\triangle}{KMC}) = \dfrac{\abs{KM} \cdot \frac{h}{2}}{2} \)
\( A(\overset{\triangle}{KBC}) = \dfrac{\abs{KM} \cdot \frac{h}{2}}{2} + \dfrac{\abs{KM} \cdot \frac{h}{2}}{2} \)
\( = \dfrac{\abs{KM} \cdot h}{2} \)
\( \abs{KM} \) orta taban olduğu için, uzunluğu alt ve üst taban uzunluk toplamlarının yarısına eşittir.
\( \abs{KM} = \dfrac{a + b}{2} \)
Alan formülünde yerine koyalım.
\( A(\overset{\triangle}{KBC}) = \dfrac{\frac{a + b}{2} \cdot h}{2} \)
\( = \dfrac{(a + b) \cdot h}{4} \)
Bu formülü yamuk alan formülü ile karşılaştırırsak üçgenin alanının yamuğun alanının yarısı olduğu görürüz.
\( A(\overset{\triangle}{KBC}) = \dfrac{A(ABCD)}{2} \)
İspatta hata bildirin
Tüm dörtgenlerde olduğu gibi, yamuğun kenar orta noktalarını birleştiren doğru parçalarının oluşturduğu paralelkenarın alanı, yamuğun alanının yarısına eşittir.
\( A(KLMN) = \dfrac{A(ABCD)}{2} \)
İkizkenar Yamuk
Paralel olmayan kenarları eşit uzunlukta olan yamuğa ikizkenar yamuk denir.
Normal yamuğa ek olarak, ikizkenar yamuğun aşağıdaki özellikleri vardır.
İkizkenar yamuğun köşegenlerinin uzunlukları birbirine eşittir. Benzer şekilde, bir yamuğun köşegenlerinin uzunlukları eşitse bu yamuk bir ikizkenar yamuktur.
\( \abs{AC} = \abs{BD} \)
İkizkenar yamuğun taban açıları ve üst açıları kendi aralarında birbirine eşittir. Benzer şekilde, bir yamuğun taban ya da üst açılarının eşit olduğu biliniyorsa bu yamuk bir ikizkenar yamuktur.
\( m(\widehat{A}) = m(\widehat{B}) \)
\( m(\widehat{D}) = m(\widehat{C}) \)
Dik Yamuk
Yan kenarlarından biri tabanlara dik olan yamuğa dik yamuk denir.
Dik yamuk normal yamuğun sahip olduğu tüm özelliklere sahiptir.
SORU 1:
Şekilde verilenlere göre \( ABCD \) dik yamuğunun alanı kaç \( \text{ br}^2 \) olur?
Çözümü GösterDik yamuğun \( B \) ve \( D \) köşelerini birleştirelim ve \( D \) köşesinden \( [BC] \) kenarına bir dik indirelim (mavi kesikli çizgiler).
Pisagor teoremini kullanarak \( \abs{BD} \) uzunluğunu bulalım.
\( \abs{BD}^2 = 5^2 + 12^2 \)
\( \abs{BD} = 13 \) br
\( ABED \) bir dikdörtgen olduğu için karşılıklı kenar uzunlukları birbirine eşittir.
\( \abs{DE} = \abs{AB} = 12 \) br
\( \abs{BE} = \abs{AD} = 5 \) br
Pisagor teoremini kullanarak \( \abs{EC} \) uzunluğunu bulalım.
\(15^2 = 12^2 + \abs{EC}^2 \)
\( \abs{EC} = 9 \) br
Bu noktada dik yamuğun alanını \( [BD] \) doğru parçasının oluşturduğu iki üçgenin alanlarını toplayarak bulabiliriz.
\( A(ABCD) = A(\overset{\triangle}{ABD}) + A(\overset{\triangle}{BCD}) \)
\( = \dfrac{5 \cdot 12}{2} + \dfrac{(9 + 5) \cdot 12}{2} \)
\( = 30 + 84 = \text{ br}^2 \) bulunur.
Alternatif olarak alanı yamuk alan formülü ile de bulabiliriz.
\( A(ABCD) = \dfrac{(5 + 5 + 9) \cdot 12}{2} \)
\( = \text{ br}^2 \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
Çokgende Açılar ve Köşegenler
Ali Emirkan Kalaycıoğlu İlköğretim Matematik Öğretmenliği
Etkinliğin Adı : Çokgenlerin Açıları ve Köşegenleri Sınıf : 7 Kazanımlar : a) Kenarların oluşturduğu açılarla birlikte eşkenar dörtgen, kare ve dikdörtgende köşegenlerin oluşturduğu açılar da incelenir. b) Kare, dikdörtgenin ve eşkenar dörtgenin özel bir durumu olarak ele alınır. Bunun yanı sıra dikdörtgen ve eşkenar dörtgen, paralelkenarın özel hâlleri olarak ele alınır. Ayrıca dikdörtgen, eşkenar dörtgen ve paralelkenar da yamuğun özel durumları olarak ele alınır. Öğrenci Sayısı : Tüm Sınıf Süre : 40 Dakika Ortam : Sınıf Araç-Gereç : Kareli Defter, Kalem, Geogebra Etkinliği Etkinliğin Uygulanma Süreci : 1) Öğrencilere bu dersteki kazanımlar hakkında bilgi verilir. 2) Hazırlanan geogebra etkinliği açılır ve öğretmen öncülüğünde kazanımın üstünden geçilir.Örnek soru beraber çözülür. 3) Etkinlik sonundaki sorular öğrenciler tarafından çözülür ve öğretmen son kontrolü yaparak çözülmekte zorlanılan soruları çözer.
Paralelkenar
Karşılıklı kenarları eş ve paralel olan dörtgenlere “paralelkenar” denir. lADl = lBCl , lABl= lDCl lADl // lBCl, lABl //lDCl *Paralelkenarın karşılıklı kenar uzunlukları birbirine eşit ve karşılıklı kenarları paraleldir. *Paralelkenarın karşılıklı açıları eştir. *Paralelkenarda ardışık açılar bütünlerdir yani ardışık açıların toplamı derecedir. m(A)+ m(B) =, m(C)+m(D)= m(A)+m(D)= ,m(C)+m(B)= *Paralelkenarda köşegenler ait olduğu köşelerdeki açıların açıortayı değildir. *Paralelkenarın köşegenleri birbirini ortalar.
Dikdörtgen
Karşılıklı kenarları paralel ve eş olup tüm iç açıları 90 derece olan dörtgene “dikdörtgen” denir. Dikdörtgenin: *Karşılıklı kenarları paralel ve eşit uzunluktadır. lADl , lBCl, lABl , lDCl; AD = BC , AB = DC *İç açılarının ölçüsü 90derecedir. m( A)=m(B)=m(C)=m(D) =90 *Köşegen uzunlukları birbirine eşittir ve bu köşegenler birbirini ortalar. lAOl =lOCl= lBOl = lODl
Kare
Karşılıklı kenarları paralel, tüm kenar uzunlukları eşit olup tüm iç açıları 90 derece olan dörtgene “kare” denir. Karenin: * Karşılıklı kenarları paraleldir. Tüm kenar uzunlukları birbirine eşittir. lADl // lBCl, lABl // lDCl ve lABl = lBCl= lCDl = lDAl * İç açılarının ölçüsü 90 derecedir. m(A) =m(B)= m(C)= m(D)= 90derece * Köşegen uzunlukları birbirine eşittir. Köşegenler birbirini ortalar ve dik kesişir. * Köşegenler açıortaydır.
Eşkenar Dörtgen
Tüm kenar uzunlukları eşit ve karşılıklı kenarları paralel olan dörtgene “eşkenar dörtgen” denir. *Eşkenar dörtgenin karşılıklı açılarının ölçüleri eşittir. lABl=lCDl=lBCl=lDAl lABl//lDCl ve lADl=lBCl *Eşkenar dörtgende ardışık açılar bütünlerdir. m(A)+ m(B)= m(B)+m(C)= m(C )+m(D)= m(D)+m(A)= *Eşkenar dörtgenin köşegenleri birbirini dik ortalar. *Eşkenar dörtgende köşegenler ait olduğu köşelerdeki açıların açıortaylarıdır.
PARALELKENAR,EŞKENAR DÖRTGEN, KARE İLİŞKİSİ
Yamuk
Karşılıklı kenar çiftlerinden en az biri paralel olan dörtgene “yamuk” denir. *Yamukta paralel olmayan kenarlara ait taban ve tepe açılarının toplamı derecedir. a+b= c+d=
Yukarıdaki şekilde ABCD eşkenar dörtgendir. m(ACG)=55 derece, m(DBE)=15 derece olduğuna göre m(EBG)=x'in kaç derece olduğunu bulalım.
1)
Görselde gördüğünüz tüm dörtgenlerin özelliklerini öğrenmiştik. Tavşanla hareket ettiğiniz her dörtgenin özelliğini belirtiniz.
2)
Sınıfınızda tartıştığınız özellikleri değerlendiriniz. Ve şekilde boşta bırakılmış açıları doldurunuz. Açıları neye göre yazdığınızı belirtiniz.
3)
Tavşanımız gittiği yol hangi çokgendir? Önceki sorularda doldurduğunuz açılara göre m(NEL)=x değeri kaçtır?
DEĞERLENDİRME SORULARI
1) Aşağıdaki ifadelerin yanına doğruysa “D”, yanlışsa “Y” yazınız. Karenin köşegen uzunlukları birbirine eşittir. () Eşkenar dörtgenin köşegen uzunlukları birbirine eşittir. () Dikdörtgenin köşegenleri açıortaydır. () Eşkenar dörtgenin köşegenleri açıortaydır. () Yamuğun köşegenleri birbirine diktir. () Paralelkenarın köşegenleri birbirine diktir.()
Yukarıda eşkenar dörtgen şeklinde verilen uçurtmanın üzerindeki a ve b açılarını bulunuz.
Yukarıdaki yamukta CD//AB'dir. m(C)=3x+40, m(A)=2x+20 olduğuna göre m(D) değeri kaçtır?