9 Sınıf 1 Dereceden 2 Bilinmeyenli Denklemler

Birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem ve eşitsizlikleri önceki yazılarda tanımlamıştık. Bu yazıda ise denklem sistemlerini, çözüm yöntemlerini ve grafik çizimini ele alacağız.

Birinci Dereceden İki Bilinmeyenli Denklem Sistemleri

x ve y bilinmeyen, a ve b reel sayı, a₁, a₂, b₁ ve b₂ sıfırdan farklı olmak üzere

denklemlerinden oluşan sisteme birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemi denir. Bu denklemleri sağlayan x ve y gerçek sayılar ise (x, y) sıralı ikilisi olarak yazılır ve bu sıralı ikiliye denklemin çözüm kümesi denir. ax+by+c=0 birinci dereceden iki bilinmeyenli denklemlerinin grafikleri analitik düzlemde doğru belirtir. Bu denklemleri çözmek için yok etme, yerine koyma ve grafik çizimi gibi yöntemler kullanılır

Yok Etme Yöntemi

Denklem sisteminde aynı bilinmeyenlere sahip terimlerin katsayıları eşit ve ters işaretli olacak şekilde düzenlenir. Daha sonra taraf tarafa toplama yapılarak sadeleşmesi sağlanır.

Yerine Koyma Yöntemi

Denklem sistemindeki bilinmeyenlerden herhangi biri yalnız bırakılır ve diğer denklemde yerine yazılır. Bu yöntem ile çözüm kümesi elde edilebilir.

Grafik Yorumu

Birinci dereceden iki bilinmeyenli bir denklemin çözüm kümesinin oluşturduğu sıralı ikililer analitik düzlemde bir doğru belirtir. Denklem sisteminin oluşturduğu doğruların kesişim noktası veya noktaları bu denklem sisteminin çözüm kümesini oluşturur.

Başka bir örnek olarak

denklem sisteminin çözüm kümesini bulup grafikte yorumlayalım.

İlk denklemde y bilinmeyenini yalnız bırakırsak y=x olur ve ikinci denklemde y yerine bu değer yazılır ise x+3(x)=9 elde edilir. 5x=15 ve x=3 olur. ÇK={(3, 2)} olur.

Denklemlerin eksenleri kestiği noktaları bulmak için sırasıyla x ve y yerine 0 yazılır.

İlk denklem de x=0 dersek y=8, y=0 dersek x=4 olur. Bu durumda ilk denklemin belirttiği d₁ doğrusu (0, 8) ve (4, 0) noktalarından geçer (yeşil doğru).

İkinci denklem için de aynı yöntem uygulanır ise d₂ doğrusu (9,0) ve (0, 3) noktalarında eksenleri keser (mavi doğru).

Şekilde de görüldüğü gibi kesişim noktası aynı zamanda çözüm kümesi olan A(3, 2) noktasıdır.

ax+by+m=0 ve cx+dy+n=0 denklem sisteminin belirttiği doğrular ile ilgili aşağıdaki yorumlar yapılabilir.

1. ise doğrular çakışıktır ve çözüm kümesinde sonsuz eleman vardır.
2. ise doğrular paraleldir ve çözüm kümesi boş kümedir.
3. ise doğrular tek noktada kesişir ve çözüm kümesi bir elemanlıdır.

Birinci Dereceden İki Bilinmeyenli Eşitsizlik Sistemleri

a, b, c birer gerçek sayı, a, b sıfırdan farklı olmak üzere

şeklindeki ifadelere birinci dereceden iki bilinmeyenli eşitsizlik denir. Birinci dereceden iki bilinmeyenli denklemlerde olduğu gibi bu eşitsizliğin çözüm kümesi de(x, y) şeklinde sıralı ikiliden oluşur. Eşitsizliği doğru yapan sonsuz sayıda sıralı ikili bulanacağı için çözüm kümesi analitik düzlemde boyalı bölgeler çizilerek gösterilir.

bulunan eşitsizliklerde doğru kesiksiz (düz) çizgi olarak çizilir. < veya > olması durumunda kesikli çizgi olarak çizilir. Eşitsizlik analitik düzlemde çizildiğinde düzlem iki bölgeye ayrılır. Ayrılan bu bölgelerden hangisinin çözüm kümesi olduğunu bulmak için bölgelerden herhangi bir nokta seçilir ve eşitsizlikte yazılır. Eşitsizliği sağlayan noktanın olduğu bölge taranır.

Aşağıdaki örnekte bir çözüm anlatılmıştır.

2x-5y<20 ve eşitsizlik sisteminin çözümünü analitik düzlemde gösteriniz.

2x-5y<20 için x ve y değerlerine sırasıyla 0 verilerek eksenleri kestiği noktalar bulunur. x=0 için y=-4 ve y=0 için x=10 olur. Sonuç olarak ilk eşitsizlik eksenleri (0,-4) ve (10,0) noktalarında keser. 2x-5y<20 ifadesinde (0,0) noktası yazılırsa 0<20 olur ve eşitsizliği sağladığı görülür. Bu durumda çözüm kümesi olarak doğrunun üst bölgesi alınır fakat eşitlik olmadığı için doğru çözüm kümesine dahil olmaz ve kesikli çizgi ile gösterilir.

için yine aynı yöntem uygulanır ise eşitsizlik (0,-5) ve (5,0) noktalarında eksenleri keser. ifadesinde (0,0) noktası yazılır ise olur ve nokta eşitsizliğin çözüm kümesine dahil değildir. Bu durumda doğrunun alt bölgesi çözüm kümesi olarak alınır ve doğru da çözüm kümesine dahil olduğu için düz çizgi olarak çizilir..

İki eşitsizliğin çözüm kümelerini temsil eden mavi ve kahverengi bölgelerin kesişimi yeşil bölgedir ve eşitsizlik sisteminin çözüm kümesidir.

Merhaba arkadaşlar size bu yazımızda Matematik Konuları hakkında bilgi vereceğiz. Yazımızı okuyarak  bilgi sahibi olabilirsiniz. Birinci Dereceden İki Bilinmeyenli Denklemler konusu ile ilgili bütün soruların cevabı sizleri bekliyor&#;

Kavramlar

a, b ve c sabit gerçek sayılar, a ve b sıfırdan farklı olmak üzere, x ve y değişkenleri için ax + by = c şeklinde yazılan ifadelere birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem denir.

Değişkenleri birinci dereceden ve aynı olan birden fazla denklem grubuna ise birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemi denir. Bir denklem sisteminin çözüm kümesi, bu iki denklemi aynı anda sağlayan (x, y) sıralı ikilileridir.

Birinci Dereceden İki Bilinmeyenli Denklemlerin Grafikleri

Birinci dereceden iki bilinmeyenli denklemlerin grafikleri koordinat sisteminde bir doğru belirtir. Bu doğru, denklemi sağlayan (x, y) sıralı ikililerinin temsil ettiği noktalardan geçer.

Örnek

2x − 4y = 8 denkleminin grafiğini çizelim.

Doğrunun eksenleri kestiği noktaları buluruz. Bu noktaları koordinat sisteminde işaretleyerek grafiği çizeriz.

Örnek

y = −2x denkleminin grafiğini çizelim.

Bu doğru orijinden geçer. Geçtiği ikinci noktayı isteğimize göre belirleyebiliriz. Bu noktaları koordinat sisteminde işaretleyerek grafiği çizeriz.

Denklem Sistemi Çözümü

Bir denklem sisteminin çözüm kümesini sıralı ikilileri tek tek yerine koyarak belirlemek her zaman mümkün olmayabilir. Denklem sistemlerinin çözümlerini bulmak için yerine koyma, yok etme, grafik çizme gibi matematiksel yöntemler kullanılır.

Yerine Koyma Yöntemi
ax + by = c
dx + ey = f

denklem sisteminin yerine koyma yöntemi ile çözümünde; birinci ya da ikinci denklemde x ya da y değişkeni yalnız bırakılarak, elde edilen ifade diğer denklemde yerine yazılır.

Yerine Koyma Yöntemiyle denklem sistemini çözerken genellikle katsayısı 1 olan değişken diğer değişken türünden ifade edilir.

Yok Etme Yöntemi
ax + by = c
dx + ey = f

denklem sisteminin yok etme yönteminde her iki denklem taraf tarafa toplanarak bilinmeyenlerden birisi yok edilir. Verilen denklem sisteminde taraf tarafa toplama işlemi ile bilinmeyenlerden birisi yok olmuyorsa, çarpma işlemi ile bilinmeyenlerden birisinin katsayıları eşit ve zıt işaretli olacak şekilde düzenlenir.

Çözüm Kümesi – Katsayı İlişkisi

9. Sınıf Matematik Konuları için Tıklayınız

9. Sınıfta Yer Alan Diğer Ders ve Konuları için Tıklayınız

Bu yazımızda 9. sınıf müfredatında bulunan Birinci Dereceden iki Bilinmeyenli Denklemler konu anlatımı yer almaktadır. Konuyu bitirdikten sonra Birinci Dereceden iki Bilinmeyenli Denklemler soruları ve çözümleri yazımıza da bakabilirsiniz.

Birinci Dereceden iki Bilinmeyenli Denklemler Ders Notu

a, b ve c sabit gerçek sayılar, a ve b sıfırdan farklı olmak üzere, x ve y değişkenleri için ax + by = c şeklinde yazılan ifadelere birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem denir.

Değişkenleri birinci dereceden ve aynı olan birden fazla denklem grubuna ise birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemi denir. Bir denklem sisteminin çözüm kümesi, bu iki denklemi aynı anda sağlayan (x, y) sıralı ikilileridir.

Birinci Dereceden iki Bilinmeyenli Denklem Sistemleri Soru ve Çözümleri

Denklem Sistemlerinin Çözüm Kümesini Bulma

Bir denklem sisteminin çözüm kümesini sıralı ikilileri tek tek yerine koyarak belirlemek her zaman mümkün olmayabilir. Denklem sistemlerinin çözümlerini bulmak için yerine koyma, yok etme, grafik çizme gibi matematiksel yöntemler kullanılır.

Yerine Koyma Yöntemi

ax + by = c
dx + ey = f

denklem sisteminin yerine koyma yöntemi ile çözümünde; birinci ya da ikinci denklemde x ya da y değişkeni yalnız bırakılarak, elde edilen ifade diğer denklemde yerine yazılır.

Yerine Koyma Yöntemiyle denklem sistemini çözerken genellikle katsayısı 1 olan değişken diğer değişken türünden ifade edilir.

Yok Etme Yöntemi

ax + by = c
dx + ey = f

denklem sisteminin yok etme yönteminde her iki denklem taraf tarafa toplanarak bilinmeyenlerden birisi yok edilir. Verilen denklem sisteminde taraf tarafa toplama işlemi ile bilinmeyenlerden birisi yok olmuyorsa, çarpma işlemi ile bilinmeyenlerden birisinin katsayıları eşit ve zıt işaretli olacak şekilde düzenlenir.

Birinci Dereceden iki Bilinmeyenli Denklem Sistemleri Soru ve Çözümleri

Grafik Çizme Yöntemi

y = mx + n şeklindeki bir ifadenin koordinat düzleminde eğimi m, y eksenini kestiği nokta n dir.

y = mx + n ve ax + by = c denklemlerin grafikleri koordinat düzleminde bir doğru belirtir. Denklem sistemlerinin grafiksel yorumunu yaparken denklem sisteminde bulunan her iki denklem y = mx + n şeklinde yazılır. Grafik çiziminde kolaylık olması için x yerine 0 yazıp y değeri ve y yerine 0 yazıp x değeri bulunur.

Bir denklem sisteminde;

• Doğrular kesişiyor ise çözüm kümesi (x, y) sıralı ikilisi şeklinde tek bir noktadan oluşur.
• Doğrular paralel ise çözüm kümesi boş kümedir.
• Doğrular çakışık ise sistemdeki her iki denklem de aynıdır. Denklemlerden birini sağlayan bütün sıralı ikililer çözüm kümesidir ve çözüm kümesi sonsuz elemanlıdır.

ax + by +c = 0
dx + ey + f = 0
denklem sisteminde;

Birinci Dereceden iki Bilinmeyenli Denklem Sistemleri Soru ve Çözümleri

Birinci Dereceden İki Bilinmeyenli Denklemler Tonguç Akademi Video