Köklü Sayılar Kök Içinde Kök

Seçeneklerdeki ifadelerin tümü \( m + 16\sqrt{3} \) şeklindedir. Buna göre aşağıdaki eşitliği yazabiliriz.

\( \sqrt{m + 16\sqrt{3}} = a + b\sqrt{3} \)

İki tarafın karesini alalım.

\( m + 16\sqrt{3} = (a + b\sqrt{3})^2 \)

\( = a^2 + 2ab\sqrt{3} + (b\sqrt{3})^2 \)

\( = a^2 + 2ab\sqrt{3} + 3b^2 \)

\( = a^2 + 3b^2 + 2ab\sqrt{3} \)

Eşitliğin iki tarafında \( \sqrt{3} \) ifadelerinin katsayıları için \( 16 = 2ab \) eşitliğini sağlayan tüm \( a \) ve \( b \) pozitif tam sayı değerlerini yazalım.

\( a = 1, \quad b = 8 \) için:

\( m = a^2 + 3b^2 = 1^2 + 3 \cdot 8^2 = 193 \)

Bu durumda cevap \( 193 + 16\sqrt{3} \) olur.

\( a = 2, \quad b = 4 \) için:

\( m = a^2 + 3b^2 = 2^2 + 3 \cdot 4^2 = 52 \)

Bu durumda cevap \( 52 + 16\sqrt{3} \) olur.

\( a = 4, \quad b = 2 \) için:

\( m = a^2 + 3b^2 = 4^2 + 3 \cdot 2^2 = 28 \)

Bu durumda cevap \( 28 + 16\sqrt{3} \) olur.

\( a = 8, \quad b = 1 \) için:

\( m = a^2 + 3b^2 = 8^2 + 3 \cdot 1^2 = 67 \)

Bu durumda cevap \( 67 + 16\sqrt{3} \) olur.

Buna göre karekökü \( a + b\sqrt{3} \) şeklinde olamayacak olan ifade (d) seçeneğidir.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

\( \sqrt[3]{x + 19} = b \)

İki tarafın küpünü alalım.

\( x + 19 = b^3 \)

\( x = b^3 - 19 \)

Buna göre küpünün 19 eksiği bir asal sayı olan en küçük \( x \) sayısını bulmalıyız. Farklı \( b \) sayıları için yukarıdaki ifadeyi hesaplayalım.

\( 3^3 - 19 = 8 \Longrightarrow \) Asal değil

\( 4^3 - 19 = 45 \Longrightarrow \) Asal değil

\( 5^3 - 19 = 106 \Longrightarrow \) Asal değil

\( 6^3 - 19 = 197 \Longrightarrow \) Asal

Buna göre \( x \)'in alabileceği en küçük değer 197 olur.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

\( \dfrac{\sqrt{1800} \cdot \frac{1}{2}}{5\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{1800}}{10\sqrt{2}} \)

\( = \dfrac{\sqrt{1800}}{\sqrt{200}} = \sqrt{\dfrac{1800}{200}} \)

\( = \sqrt{9} = 3 \) bulunur.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

Köklü ifadelerin hepsini kök dışına çıkaralım.

\( \dfrac{6 \cdot 9\sqrt{3}}{ \sqrt{7}} + \dfrac{6 \cdot 4\sqrt{7}}{\sqrt{3}} - \dfrac{89\sqrt{3}}{\sqrt{7}} \)

Tüm kesirlerin paydalarını \( \sqrt{21} \)'de eşitleyelim.

\( = \dfrac{54\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{21}} + \dfrac{24\sqrt{7} \cdot \sqrt{7}}{\sqrt{21}} - \dfrac{89\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{21}} \)

\( = \dfrac{162 + 168 - 267}{\sqrt{21}} = \dfrac{63}{\sqrt{21}} \)

Paydayı rasyonel yapmak için payı ve paydayı \( \sqrt{21} \) ile çarpalım.

\( = \dfrac{63 \cdot \sqrt{21}}{21} = 3\sqrt{21} \) olarak buluruz.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

Köklü ifadeleri üslü ifade biçiminde yazalım.

\( (\sqrt[8]{7^{\frac{8}{3}}})^9 \cdot (\sqrt[3]{7^{\frac{9}{8}}})^8 \)

\( = (7^{\frac{8}{3} \cdot \frac{1}{8}})^9 \cdot (7^{\frac{9}{8} \cdot \frac{1}{3}})^8 \)

\( = (7^{\frac{1}{3}})^9 \cdot (7^{\frac{3}{8}})^8 \)

\( = 7^3 \cdot 7^3 = 7^6 \) bulunur.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

Kök içindeki ifadeyi çarpanlarına ayıralım.

\( \sqrt[4]{(9! + 10 \cdot 9! + 11 \cdot 10 \cdot 9!) \cdot A} \)

\( = \sqrt[4]{9! \cdot (1 + 10 + 110) \cdot A} = \sqrt[4]{9! \cdot 121 \cdot A} \)

Kök içindeki ifadeyi asal çarpanlarına ayıralım.

\( = \sqrt[4]{2^7 \cdot 3^4 \cdot 5^1 \cdot 7^1 \cdot 11^2 \cdot A} \)

Köklü ifadenin derecesi 4 olduğu için, ifadenin rasyonel olabilmesi tüm asal çarpanların üsleri 4 ya da 4'ün bir tam sayı katı olmalıdır.

Buna göre bu ifadeyi rasyonel hale getirecek en küçük \( A \) sayısı içinde 2 çarpanı 1 kez, 5 ve 7 çarpanları 3'er kez, 11 çarpanı da 2 kez bulunmalıdır.

\( A = 2^1 \cdot 5^3 \cdot 7^3 \cdot 11^2 \)

Soru sorun   Soruda hata bildirin

İkinci çarpanın derecesini 2 ile çarpıp kök içinin karesini alalım.

\( \sqrt{\sqrt{3} - 1} \cdot \sqrt[6]{(\sqrt{3} + 1)^2} \cdot \sqrt[6]{\sqrt{3} + 1} \)

İkinci ve üçüncü çarpanların dereceleri eşit olduğu için kök içlerini birleştirebiliriz.

\( = \sqrt{\sqrt{3} - 1} \cdot \sqrt[6]{(\sqrt{3} + 1)^3} \)

İkinci çarpanın derecesini ve kök içinin üssünü 3'e bölelim.

\( = \sqrt{\sqrt{3} - 1} \cdot \sqrt{\sqrt{3} + 1} \)

İki çarpanın dereceleri eşit olduğu için kök içlerini birleştirebiliriz.

\( = \sqrt{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1}) \)

Kare farkı özdeşliğini kullanalım.

\( = \sqrt{(\sqrt{3})^2 - 1^2} = \sqrt{2} \) bulunur.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

Kök içindeki sayıları asal çarpanları cinsinden yazalım.

\( \sqrt{\sqrt{2^2 \cdot 5} + \sqrt{3^2 \cdot 5}} \cdot (\sqrt[4]{2^4 \cdot 5} - \sqrt[4]{5}) \)

\( = \sqrt{2\sqrt{5} + 3\sqrt{5}} \cdot (2\sqrt[4]{5} - \sqrt[4]{5}) \)

\( = \sqrt{5\sqrt{5}} \cdot \sqrt[4]{5} \)

Birinci çarpanın derecesini 2 ile çarpıp kök içinin karesini alalım.

\( = \sqrt[4]{(5\sqrt{5})^2} \cdot \sqrt[4]{5} = \sqrt[4]{5^2 \cdot 5} \cdot \sqrt[4]{5}\)

\( = \sqrt[4]{5^3} \cdot \sqrt[4]{5} \)

İki çarpanın dereceleri eşit olduğu için kök içlerini birleştirebiliriz.

\( = \sqrt[4]{5^3 \cdot 5} = \sqrt[4]{5^4} = 5 \) bulunur.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

\( A \) ve \( B \) eşitliklerini birbiri ile çarpalım.

\( A \cdot B = (\sqrt{7 + x} - \sqrt{x + 3})(\sqrt{7 + x} + \sqrt{x + 3}) \)

İki kare farkı özdeşliğini kullanalım.

\( = (\sqrt{7 + x})^2 - (\sqrt{x + 3})^2 \)

\( = (7 + x) - (x + 3) \)

\( A \cdot B = 4 \)

\( B = \dfrac{4}{A} \) bulunur.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

Küp farkı özdeşliği aşağıdaki gibidir.

\( a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) \)

\( B \) ifadesi ile \( A \) ifadesinin paydası bir küp farkı özdeşliğinin iki çarpanıdır.

\( A \) ifadesinin payını ve paydasını \( \sqrt[3]{3} - 1 \) ile çarpalım.

\( A = \dfrac{\sqrt[3]{3} - 1}{(\sqrt[3]{3} - 1)(\sqrt[3]{9} + \sqrt[3]{3} + 1)} \)

\( = \dfrac{\sqrt[3]{3} - 1}{(\sqrt[3]{3} - 1)((\sqrt[3]{3})^2 + \sqrt[3]{3} + 1)} \)

\( = \dfrac{\sqrt[3]{3} - 1}{(\sqrt[3]{3})^3 - 1} \)

\( = \dfrac{\sqrt[3]{3} - 1}{2} = \dfrac{B}{2} \)

\( B \)'yi yalnız bırakalım.

\( B = 2A \) bulunur.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

İki çarpanı birbiri ile çarpabilmek için önce derecelerini eşitleyelim.

İkinci çarpanın derecesini 2 ile çarpıp kök içinin karesini alalım.

\( \sqrt[4]{3 - \sqrt{5}} \cdot \sqrt[4]{(\sqrt{10} + \sqrt{2})^2} \)

\( = \sqrt[4]{3 - \sqrt{5}} \cdot \sqrt[4]{(\sqrt{10})^2 + 2\sqrt{20} + (\sqrt{2})^2} \)

\( = \sqrt[4]{3 - \sqrt{5}} \cdot \sqrt[4]{12 + 2\sqrt{20}} \)

\( = \sqrt[4]{3 - \sqrt{5}} \cdot \sqrt[4]{12 + 4\sqrt{5}} \)

Derecelerini eşitlediğimiz köklü ifadeleri çarpalım.

\( = \sqrt[4]{(3 - \sqrt{5}) \cdot (12 + 4\sqrt{5})} \)

\( = \sqrt[4]{36 + 12\sqrt{5} - 12\sqrt{5} - 20} \)

\( = \sqrt[4]{16} = 2 \) bulunur.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

Sorudaki ifadeyi asal çarpanları cinsinden yazalım.

\( \sqrt[4]{\dfrac{36}{1000}} = \sqrt[4]{\dfrac{2^2 \cdot 3^2}{10^3}} \)

\( = \sqrt[4]{\dfrac{2^2 \cdot 3^2}{2^3 \cdot 5^3}} = \sqrt[4]{\dfrac{3^2}{2 \cdot 5^3}} \)

\( = \dfrac{\sqrt[4]{3^2}}{\sqrt[4]{2} \cdot \sqrt[4]{5^3}} \)

Köklü ifadeleri üslü ifade şeklinde yazalım.

\( = \dfrac{3^\frac{1}{2}}{2^\frac{1}{4} \cdot 5^\frac{3}{4}} = \dfrac{3^\frac{1}{2}}{(2^\frac{1}{2})^\frac{1}{2} \cdot (5^\frac{1}{2})^\frac{3}{2}} \)

\( = \dfrac{\sqrt{3}}{(\sqrt{2})^\frac{1}{2} \cdot (\sqrt{5})^\frac{3}{2}} \)

Köklü ifadelerin yerlerine karşılıklarını yazalım.

\( = \dfrac{b}{a^\frac{1}{2} \cdot c^\frac{3}{2}} \)

Üslü ifadeleri köklü ifade şeklinde yazalım.

\( = \dfrac{b}{\sqrt{a} \cdot \sqrt{c^3}} \)

Soru sorun   Soruda hata bildirin

Sorunun çözümü için önce payı düzenleyelim.

Küp farkı özdeşliği aşağıdaki gibidir.

\( a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) \)

Paydaki ifadeyi bir küp farkının açılımı olarak düşünebiliriz.

\( (\sqrt[3]{9} - 1)(\sqrt[3]{81} + \sqrt[3]{9} + 1) \)

\( = (\sqrt[3]{9} - 1)((\sqrt[3]{9})^2 + \sqrt[3]{9} + 1) \)

\( = (\sqrt[3]{9})^3 - 1^3 = 8 \)

Şimdi paydayı düzenleyelim.

\( (\sqrt[4]{5} - 1)(\sqrt[4]{5} + 1)(\sqrt{5} + 1) \)

İlk iki çarpana kare farkı özdeşliğini uygulayalım.

\( = ((\sqrt[4]{5})^2 - 1^2)(\sqrt{5} + 1) \)

\( = (\sqrt{5} - 1)(\sqrt{5} + 1) \)

İki çarpana tekrar kare farkı özdeşliğini uygulayalım.

\( = (\sqrt{5})^2 - 1^1 = 4 \)

Pay ve paydanın sadeleştirilmiş hallerini birbirine bölelim.

\( \dfrac{8}{4} = 2 \) bulunur.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

İfadeyi düzenleyelim.

\( = \sqrt[4]{4 + 2\sqrt{3}} \cdot \sqrt{\sqrt{3} - 1} \)

İkinci çarpanın derecesini 2 ile çarpıp kök içinin karesini alalım.

\( = \sqrt[4]{4 + 2\sqrt{3}} \cdot \sqrt[4]{(\sqrt{3} - 1)^2} \)

\( = \sqrt[4]{4 + 2\sqrt{3}} \cdot \sqrt[4]{3 - 2\sqrt{3} + 1} \)

\( = \sqrt[4]{4 + 2\sqrt{3}} \cdot \sqrt[4]{4 - 2\sqrt{3}} \)

\( = \sqrt[4]{(4 + 2\sqrt{3})(4 - 2\sqrt{3})} \)

Kare farkı özdeşliğini kullanalım.

\( = \sqrt[4]{4^2 - (2\sqrt{3})^2} \)

\( = \sqrt[4]{16 - 12} = \sqrt[4]{4} = \sqrt{2} \) bulunur.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

Köklü ifadelerin içini düzenleyelim.

\( \sqrt[a]{4} = \sqrt[b]{4^3} \)

\( \sqrt[b]{3^3} = \sqrt[c]{3^4} \)

Köklü ifadeleri üslü ifadelere çevirelim.

\( 4^{\frac{1}{a}} = 4^{\frac{3}{b}} \)

\( 3^{\frac{3}{b}} = 3^{\frac{4}{c}} \)

Tabanları -1, 0, 1'den farklı ve birbirine eşit iki üslü ifade birbirine eşitse üsleri de eşittir.

\( \dfrac{1}{a} = \dfrac{3}{b} \)

\( \dfrac{3}{b} = \dfrac{4}{c} \)

Buna göre orantı sabiti \( \frac{1}{k} \) olacak şekilde aşağıdaki orantıyı yazabiliriz.

\( \dfrac{1}{a} = \dfrac{3}{b} = \dfrac{4}{c} = \dfrac{1}{k} \)

\( a = k, \quad b = 3k, \quad c = 4k \)

\( k \cdot 3k \cdot 4k = 12k^3 = 12 \)

\( k = 1 \)

\( a = k = 1, \quad b = 3k = 3, \quad c = 4k = 4 \)

\( a + b + c = 1 + 3 + 4 = 8 \) bulunur.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

\( \sqrt{x} = \sqrt{6} - 1 \)

\( (\sqrt{x})^2 = (\sqrt{6} - 1)^2 \)

\( x = 6 - 2\sqrt{6} + 1 = 7 - 2\sqrt{6} \)

Bu değeri sonucu istenen işlemde yerine koyalım.

\( x + \dfrac{10}{\sqrt{x}} = 7 - 2\sqrt{6} + \dfrac{10}{\sqrt{6} - 1} \)

İkinci terimin payını ve paydasını paydanın eşleniği ile çarpalım.

\( = 7 - 2\sqrt{6} + \dfrac{10(\sqrt{6} + 1)}{(\sqrt{6} - 1)(\sqrt{6} + 1) } \)

\( 7 - 2\sqrt{6} + \dfrac{10(\sqrt{6} + 1)}{5} \)

\( 7 - 2\sqrt{6} + 2(\sqrt{6} + 1) \)

\( 7 - 2\sqrt{6} + 2\sqrt{6} + 2 \)

\( = 9\) bulunur.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

Önce paydayı düzenleyelim.

Köklü ifadeden kurtulmak için kök içini bir ifadenin parantez karesi şeklinde yazalım.

\( \sqrt{7 - \sqrt{4 \cdot 10}} = \sqrt{7 - 2\sqrt{10}} \)

\( = \sqrt{(5 + 2) - 2\sqrt{5 \cdot 2}} \)

\( = \sqrt{(\sqrt{5} - \sqrt{2})^2} \)

\( = \sqrt{5} - \sqrt{2} \)

Soruda verilen işlem aşağıdaki şekilde olur.

\( \dfrac{\sqrt{10} - 2 + \sqrt{5} - \sqrt{2}}{\sqrt{5} - \sqrt{2}} \)

Paydaki ifadeyi çarpanlarına ayıralım.

\( = \dfrac{\sqrt{2} \cdot (\sqrt{5} - \sqrt{2}) + \sqrt{5} - \sqrt{2}}{\sqrt{5} - \sqrt{2}} \)

\( = \dfrac{(\sqrt{5} - \sqrt{2})(\sqrt{2} + 1)}{\sqrt{5} - \sqrt{2}} \)

\( = \sqrt{2} + 1 \) bulunur.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

İçteki köklü ifadeden kurtulmak için kök içini bir ifadenin parantez karesi şeklinde yazalım.

\( \sqrt{\sqrt{28 + (2 \cdot 4)\sqrt{12}}} \)

\( = \sqrt{\sqrt{(16 + 12) + 2\sqrt{16 \cdot 12}}} \)

\( = \sqrt{\sqrt{(\sqrt{16} + \sqrt{12})^2}} \)

\( = \sqrt{\sqrt{16} + \sqrt{12}} \)

\( = \sqrt{4 + 2\sqrt{3}} \)

Aynı işlemi tekrarlayalım.

\( = \sqrt{(3 + 1) + 2\sqrt{3 \cdot 1}} \)

\( = \sqrt{(\sqrt{3} + 1)^2} \)

\( = \sqrt{3} + 1 \) bulunur.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

Verilen ifadeyi düzenleyelim.

\( \sqrt{11 + 2\sqrt{6 \cdot 4}} - \sqrt{11 - 2\sqrt{6 \cdot 4}} \)

\( = \sqrt{11 + 2\sqrt{24}} - \sqrt{11 - 2\sqrt{24}} \)

Dıştaki köklü ifadelerden kurtulmak için kök içlerini bir ifadenin parantez karesi şeklinde yazalım.

\( = \sqrt{(8 + 3) + 2\sqrt{8 \cdot 3}} - \sqrt{(8 + 3) - 2\sqrt{8 \cdot 3}} \)

\( = \sqrt{(\sqrt{8} + \sqrt{3})^2} - \sqrt{(\sqrt{8} - \sqrt{3})^2} \)

\( = (\sqrt{8} + \sqrt{3}) - (\sqrt{8} - \sqrt{3}) \)

\( = 2\sqrt{3} \) bulunur.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

İkinci köklü ifadeyi \( \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \) ile çarpalım.

\( (\sqrt{28} - \sqrt{12}) \cdot \dfrac{(\sqrt{5 + \sqrt{21}}) \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2}} \)

\( = (\sqrt{28} - \sqrt{12}) \cdot \dfrac{\sqrt{10 + 2\sqrt{21}}}{\sqrt{2}} \)

\( \sqrt{10 + 2\sqrt{21}} \) ifadesini parantez karesi şeklinde yazalım.

\( = (\sqrt{28} - \sqrt{12}) \cdot \dfrac{\sqrt{(7 + 3) + 2\sqrt{7 \cdot 3}}}{\sqrt{2}} \)

\( = (\sqrt{28} - \sqrt{12}) \cdot \dfrac{\sqrt{(\sqrt{7} + \sqrt{3})^2}}{\sqrt{2}} \)

\( = (\sqrt{28} - \sqrt{12}) \cdot \dfrac{\sqrt{7} + \sqrt{3}}{\sqrt{2}} \)

Parantez içindeki köklü ifadeyi düzenleyelim.

\( = (2\sqrt{7} - 2\sqrt{3}) \cdot \dfrac{\sqrt{7} + \sqrt{3}}{\sqrt{2}} \)

\( = 2(\sqrt{7} - \sqrt{3}) \cdot \dfrac{\sqrt{7} + \sqrt{3}}{\sqrt{2}} \)

\( = \sqrt{2} \cdot (\sqrt{7} - \sqrt{3}) \cdot (\sqrt{7} + \sqrt{3}) \)

Kare farkı özdeşliğini kullanalım.

\( = \sqrt{2} \cdot ((\sqrt{7})^2 - (\sqrt{3})^2) = 4\sqrt{2} \) bulunur.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

Soruda verilen ilişkiyi eşitlik olarak yazalım.

\( \sqrt[4]{a^3} = a^{\frac{2}{3}} \cdot (1 + \dfrac{25}{100}) \)

\( a^{\frac{3}{4}} = a^{\frac{2}{3}} \cdot \dfrac{5}{4} \)

\( \dfrac{a^{\frac{3}{4}}}{a^{\frac{2}{3}}} = \dfrac{5}{4} \)

\( a^{\frac{3}{4} - \frac{2}{3}} = \dfrac{5}{4} \)

\( a^{\frac{1}{12}} = \dfrac{5}{4} \)

\( a = (\dfrac{5}{4})^{12} \) bulunur.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

x'i tam kare şeklinde yazalım.

\( x = 14 - 2\sqrt{45} \)

\( = (9 + 5) - 2\sqrt{9 \cdot 5} \)

\( = (\sqrt{9} - \sqrt{5})^2 \)

\( = (3 - \sqrt{5})^2 \)

Bulduğumuz \( x \) değerini sorudaki ifadede yerine koyalım.

\( \sqrt{x} + 4 \cdot x^{-\frac{1}{2}} \)

\( = \sqrt{(3 - \sqrt{5})^2} + 4 \cdot \dfrac{1}{\sqrt{(3 - \sqrt{5})^2}} \)

\( = 3 - \sqrt{5} + 4 \cdot \dfrac{1}{3 - \sqrt{5}} \)

Kesirli ifadenin payını ve paydasını paydanın eşleniği ile çarpalım.

\( = 3 - \sqrt{5} + 4 \cdot \dfrac{3 + \sqrt{5}}{3^2 - (\sqrt{5})^2} \)

\( = 3 - \sqrt{5} + 3 + \sqrt{5} \)

\( = 6 \) bulunur.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

\( 7 + \sqrt{40} = (5 + 2) + 2\sqrt{5 \cdot 2} \)

\( = (\sqrt{5} + \sqrt{2})^2 \)

\( 8 + \sqrt{48} = (6 + 2) + 2\sqrt{6 \cdot 2} \)

\( = (\sqrt{6} + \sqrt{2})^2 \)

\( 11 + \sqrt{120} = (6 + 5) + 2\sqrt{6 \cdot 5} \)

\( = (\sqrt{6} + \sqrt{5})^2 \)

Değeri istenen ifadeyi düzenleyelim.

\( \dfrac{3}{\sqrt{7 + \sqrt{40}}} - \dfrac{4}{\sqrt{8 + \sqrt{48}}} + \dfrac{1}{\sqrt{11 + \sqrt{120}}} \)

\( = \dfrac{3}{\sqrt{(\sqrt{5} + \sqrt{2})^2}} - \dfrac{4}{\sqrt{(\sqrt{6} + \sqrt{2})^2}} + \dfrac{1}{\sqrt{(\sqrt{6} + \sqrt{5})^2}} \)

\( = \dfrac{3}{\sqrt{5} + \sqrt{2}} - \dfrac{4}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} + \dfrac{1}{\sqrt{6} + \sqrt{5}} \)

Kesirlerin pay ve paydalarını paydaların eşlenikleri ile çarpalım.

\( = \dfrac{3(\sqrt{5} - \sqrt{2})}{(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{2})^2} - \dfrac{4(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{(\sqrt{6})^2 - (\sqrt{2})^2} + \dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{5}}{(\sqrt{6})^2 - (\sqrt{5})^2} \)

\( = \dfrac{3(\sqrt{5} - \sqrt{2})}{3} - \dfrac{4(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4} + \dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{5}}{1} \)

\( = \sqrt{5} - \sqrt{2} - \sqrt{6} + \sqrt{2} + \sqrt{6} - \sqrt{5} \)

\( = 0 \) bulunur.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

Paydadaki köklü ifadeden kurtulmak için paydayı eşleniği olan \( \sqrt{28} + 1 \) ile genişletelim.

\( \sqrt[3]{\dfrac{(2\sqrt{28} + 29)(\sqrt{28} + 1)}{(\sqrt{28} - 1)(\sqrt{28} + 1)}} \)

\( = \sqrt[3]{\dfrac{(2\sqrt{28} + 29)(\sqrt{28} + 1)}{(\sqrt{28})^2 - 1}} \)

\( = \sqrt[3]{\dfrac{(2\sqrt{28} + 29)(\sqrt{28} + 1)}{27}} \)

Paydaki ilk çarpanı parantez karesi şeklinde yazalım.

\( (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \)

\( 2\sqrt{28} + 29 = 2\sqrt{28 \cdot 1} + 28 + 1 \)

\( a = \sqrt{28}, \quad b = 1 \) olmak üzere,

\( = (\sqrt{28} + 1)^2 \)

Denklemde yerine yazalım.

\( x = \sqrt[3]{\dfrac{(\sqrt{28} + 1)^2(\sqrt{28} + 1)}{27}} \)

\( = \sqrt[3]{\dfrac{(\sqrt{28} + 1)^3}{27}} \)

\( = \dfrac{\sqrt{28} + 1}{3} \) bulunur.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

Değeri istenen ifadeyi tam kareye tamamlamak için \( -4 = 9 - 13 \) yazalım.

\( x^2 - 6x + 9 - 13 = (x - 3)^2 - 13 \)

\( x \)'i yerine koyalım.

\( (3 - \sqrt{2} + \sqrt{11} - 3)^2 - 13 \)

\( = (\sqrt{11} - \sqrt{2})^2 - 13 \)

\( = 11 - 2\sqrt{11}\sqrt{2} + 2 - 13 \)

\( = -2\sqrt{22} \) bulunur.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

En içteki köklü ifadeden başlayarak köklerden kurtulmaya çalışalım.

\( \sqrt{14 + 6\sqrt{5}} \) ifadesini bir ifadenin parantez karesi şeklinde yazalım.

\( \sqrt{9 + 5 + 2\sqrt{9 \cdot 5}} = \sqrt{(3 + \sqrt{5})^2} \)

\( = 3 + \sqrt{5} \)

Bu değeri sorudaki ifadede yerine koyalım.

\( \sqrt{-\sqrt{5} + \sqrt{-3 + 4 \cdot (3 + \sqrt{5})}} = \sqrt{-\sqrt{5} + \sqrt{-3 + 12 + 4\sqrt{5}}} \)

\( = \sqrt{-\sqrt{5} + \sqrt{9 + 4\sqrt{5}}} \)

\( \sqrt{9 + 4\sqrt{5}} \) ifadesini yine bir ifadenin parantez karesi şeklinde yazalım.

\( \sqrt{4 + 5 + 2\sqrt{4 \cdot 5}} = \sqrt{(2 + \sqrt{5})^2} \)

\( = 2 + \sqrt{5} \)

Bu değeri sorudaki ifadede yerine koyalım.

\( \sqrt{-\sqrt{5} + 2 + \sqrt{5}} \)

\( = \sqrt{2} \) bulunur.

Soru sorun   Soruda hata bildirin